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然其不同于一般经验命题之可为未来经验所否证，而皆是表明一种共相之与其他共相之同时呈现，而不能相离者。
除此类表示共相与共相之必然同时呈现之命题外，则有表示一共相与另一种共相之必不同时呈现之命题。如
一、一片颜色不能同时在一空间面，又不在一空间面。
二、两片不同的颜色，不能同占一空间面。
三、相异的声音，不能在同一时间内，如其相异的被一听官所感觉。
四、听官不能看见颜色，视官不能听声音。
此类之命题，一些逻辑经验论者，亦以为只是依于语言意义之约定而后成为必然的。如第一命题之成为必然，即可说由我们之先约定一片颜色之意义之一片，即涵不在二空间面之意义。如我们不如是约定，则一片颜色，并不必然涵不在二空间面之意义。如我们称在二空间面者亦为一片颜色，如称一花之颜色与镜中之花之颜色，为一片颜色，则一片颜色亦未尝不可同在二空间面。
但是这种说法，明包涵观念之混淆。诚然，我们亦可只想一片颜色而不想其不在于二空间，而称在不同空间面之颜色，为一片颜色。但是在我们以一片颜色，只指一空间面之颜色时，此颜色之不在其他空间面之意义，却并非以我们之不想而不在。我们于此，只可不想其此意义，而不将此意义包涵于一片颜色之意义中，然而我们却并不能想其莫有此意义。我们要了解此中一片颜色一名，所指者之全幅意义，我们只能承认其有此意义，而不能加以否认。是即此命题之为必然之理由。
此外听官不能看见颜色，似亦可说纯由我们对听官、听、颜色意义等字之约定。因如我们约定听官之一语言指视官，则听官即能看颜色。或约定看之意义同于听，颜色之意义同于声音，则听官亦能看颜色。但对这种辩论，只须有一答复即：我们必须约定听官之语言以指视官，然后听官能看颜色，岂不正证明我们之以听官之语言指听官时，听官本涵有一不能见颜色之意义？对其余问题之答复，读者可自求而得之。
除上述两类命题之外，对于时间空间与形量关系，我们通常还承认下列一些命题是必真的：
一、A事在B事之先，B事在C事之先，则A事在C事之先。
二、A事在B事之后，B事在C事之后，则A事在C事之后。
三、A与B同时，C与B同时，则A与B同时。
四、A在B之上，B在C之上，则A在C之上。
五、如上述之上之关系换为下之关系，或之东、之南、之北、之西之关系，亦然。换为之内、之外、之关系亦然。
六、如A色B形同在一空间，B形与C位同在一空间，则A与C亦同在一空间。
七、时间为一进向。
八、空间为三进向。
九、一直线不能成角。
十、二直线不能围绕成一平面圆形。
十一、三直线不能围绕成一立体。
十二、全体大于部分，而等于其部分之和。
十三、两点之间只有一直线。
十四、平行线不相交。
对于这些命题，在常识皆以不能由经验否证之命题。然是否皆为只由语言意义之约定而建立，则亦有问题。
对上述之命题，如关于同时之意义，及时间为一进向，空间为三进向，在相对论之物理学，皆似不能成立。而同时之意义变，则先后之意义亦变。如空间与时间合为四度空间，则宇宙可视为四度空间之球面，则第四点，第五点皆成问题。而同在一空间者，如时间不同，即亦非同在一空间。又如空间为球面形，则其上所绘之直线，皆可相交，亦即平行线可相交，而二直线即可围绕成一平面圆形，三直线可围绕成一立体，一直线即成一圆周角，两点之间之直线皆成曲线，则直线非最短。又在一无限数之系列中，抽取其中之一部分之数，亦可构成一无限数之系列，而其中之项与原来之一无限数系列中之项，皆可有一与一之对应，则部分可等于全体 [82] 。于是此上各点，皆成问题。然吾人是否即能因此而谓常识中之此类命题，皆无一意义之先验之必然性，或此一切命题之为真与否，纯由人对于时空形量之语言名词意义之如何约定而定?
依吾人之意，吾人之不能说常识中此类命题，无一意义之先验必然性者，即吾人无论如何不能否认此类命题，与一般经验命题之不同。至少对常识中所了解之时空及一般之形量言，此类之命题，为普遍而必然的真者。吾人可谓当吾人将时空合为一四度空间，或将同时之意义改变后，则常识中之此类命题，皆成非必真者。然此并不碍在此四度空间之观念下，及改变后之同时观念下，仍另有对之为必真或普遍必然真之命题，或必不真之命题。试想吾人之假定空间为球面，则其上之直线皆成曲线且相交，此岂不同于谓将一平面之纸，摺成球形，则其上之直线，皆成曲线且相交?然在平面成球形时，其上之直线，即成曲线，此本身岂亦非一普遍必然之真理？岂此等等真理，纯由人对直线曲线之意义自由约定而来，而不由于在平面上之直线与平面原有一定之关系，及平面成为球形时，与其上之直线所成之曲线亦有一定之关系而来？
第五节 非欧里得几何学之解释
由此以论非欧克里得几何学所引起之问题，则吾人以为对非欧克里得几何学之存在，至少有下列数种，加以解释之方式：
（一)为纯视每一种几何之基本观念皆为无意义之符号，其基本命题，唯是表示符号间之可彼此代替之关系者。依此种解释，则吾人可以任何符号，代替一种几何学中所谓直线与点等原始观念，而使一几何学之系统，不失其为真。则一几何学之系统之构造成为一纯逻辑之构造，而由各种几何学之原始观念之互相代替，我们亦不难将一几何学之语言翻译为另一几何学之语言。然在此情形下，则人不当对一种几何学中之直线曲线等，有任何具体想象，亦不能以之指任何想象中之空间或物理空间 [83] 。则吾人于此有何理由称之为几何学系统，而非如吾人前章所举唏唏哈哈呵呵一类之纯逻辑的构造之系统?至此种纯逻辑之系统之仍不能只依名词之约定而形成，吾人将另论之。
（二)为谓欧克里得几何与非欧克里得几何学之差异，乃由于所设定之空间关系、空间性质之有根本差异。如一设定线外一点上只有一平行线，一设定其无，另一设定其多。则人至少在设定此不同之空间关系、空间性质时，必须对于空间先有一不同想象。而于此不同空间中，分别直觉此设定之空间关系空间性质之意义。然在此情形下，则此不同几何学，乃各对所想象之不同之空间而真，因而亦受其所想象之空间中，所可能有之空间关系空间性质之决定。则一几何学之名词指何意义，虽可由人任定，然其所指意义如何相关联于一想象空间中，却非可由人任定者。此下为吾人想象三种不同空间之一方式。
吾人可想象：依常识中所谓直线，而向上下四方伸展之空间为欧克里得之空间。吾人亦可想象，此空间中之平行之直线与平面，皆覆于-球面上。于是在其伸展之途程中，一切平行线与平面，乃逐渐皆趋于相交。是即成无平行线之李曼几何学之空间。
吾人又可想象，一空间之二平行直线，其一为静止之直线，其二乃在另一平面上之旋转之直线，由其旋转而所成之直线无穷。然此无穷直线既皆为此直线所生，即皆可说与原一直线成平行；则吾人可想象过直线外之一点有无数平行线之罗伯求斯基之几何学。
此为吾人想象三种不同之空间之一种方式。此外尚可有其他方式，以想象各种不同之空间。然因吾人常识中，所想象之空间为欧克里得式，故吾人之想象其他之几何学，必须以欧克里得之几何之空间为根据，再改变其中之若干性质关系，乃能形成。因吾人所根据之欧克里得之空间，有其一定之空间性质、空间关系，则吾人改变其若干性质、若干关系，而想象出之不同空间，仍必有其一定之性质关系，因而亦即各有对之为真之几何命题，非可由人自由约定者。
（三)以几何学中之空间，为兼指有物理事物关联而成之物理空间者，如吾人实际生活于其中之地面上物理空间，或天体间之物理空间，或原子核中之物理空间等。依此说，则每一几何学中之名项，皆兼指一实际事物之空间性质，空间关系，如以直线兼指一刚体上之线，或光之进行之方向等。但在此情形下，则吾人初视为一直线者，如刚体之线或光之进行之方向，缘于物理空间中之物理关系，乃随时可变曲，亦可本为不直者。由此而吾人肯定有某种直线之几何学，如欧克里得之几何学，即可成为不能应用于物理空间者。而能应用于物理空间者，即可为不肯定有此某种直线之其他几何学。然如一物理空间，真有其一定之空间关系空间性质可说，使某种几何学，能应用或不能应用，则其中之空间关系空间性质之相涵，仍为一定，非可由人任意约定者。而几何学之空间，若必须能兼指物理空间者，方为真正几何学，则几何学中之名项所指者之意义，亦即非由人任意约定者。
第六节 数学与逻辑之基本命题为兼综合与分析的
吾人最后之问题，为一切数学逻辑之基本命题，是否只为依于语言意义之约定，而无一先验必然性之命题？
表面观之，一切严格的数学逻辑之知识系统，其基本定义与基本命题，乃皆明白的标出者。而此种系统之构造，唯赖吾人之依此基本命题中所陈之推断原则，进行实际的演绎。于是此演绎之历程，唯是引申出基本定义、基本命题之所涵之历程。如谓此演绎所得者为知识，则此只能为一纯由符号意义之分析而得之知识。但吾人前章已论到，由一前提之语言，所以能引申出结论之语言，其关键不在吾人之先约定某一语言以何意义，而在某一语言所指之意义之能涵其他意义。而此意义之相涵，乃不只为分析的，而兼为综合的。吾人今即将重说明此义。
譬如吾人在数学中承认联合原则、交换原则、分配原则，在逻辑中承认代替原则、推断原则，承认双重否定原则（即否定之否定同于肯定)等，吾人可问：在吾人从事数学逻辑系统构造之始，即将这些原则，明白以若干语言符号之定义加以表示，是否即可使这些原则之全幅意义，皆被纳入于定义之中，并使诸原则全无先验之性质？吾人将说此明为不然者。
其所以为不然，是因此诸原则本身，是由吾人分析吾人已有之数学知识、逻辑知识，并反溯吾人实际作逻辑思维、数学思维时，实际所经之历程、规则、及所必然先已肯定之预设等而形成。故亦必至数学逻辑进步至今日之阶段，乃有此诸原则之自觉的提出，而纳之于定义之中。初并非人类自始即依此定义而思想，以产生逻辑与数学。则此诸严格定义之出现，明为人依其对于逻辑知识、数学知识等之反省之所发现，而后纳之于语言文字中者。则吾人今日之只能有如是如是之定义等，乃为吾人实际上已成之数学逻辑之知识与思想历程等之所制约，而明非由吾人之任意先赋给以某一语言符号，以一定之意义而来者。
吾人在数学中承认联合律（A+B)+C=A+（B+C)，交换律A+B=B+A，吾人试问，吾人何以必须承认此联合律、交换律？此岂非吾人在实际作数学演算时，吾人之曾先依此而演算?故吾人亦唯在数学性之思维中，对上列之ABC等代以一数时，然后此联合律交换律等，乃有意义。如以ABC皆指实际之人，“+”指实际之人与人之联合关系，则AB联合后再与C联合，明可不同于B与C联合后，再与A联合。而先有A再联合B，与先有B再联合A，亦彼此不同。则此交换律联合律等，岂能离吾人之数学演算之实际历程与数学思维，而由吾人之任意加以建立?若吾人将此诸律则加以否认，则吾人一般之数学演算与数学思维又岂可能?
此外在逻辑思维中，吾人所运用之各原则，岂不亦同样为吾人之实际的已有能有的逻辑思维所制约，而非由吾人任意加以建立?
复次，吾人在已肯定诸数学逻辑原则时，吾人之直接加以运用而思维其意义，固可说其只为分析其意义之事。然此中仍须辨明：吾人所运用之原则之本身之构成，是否只赖一分析的思维活动，或兼赖一综合的思维活动？吾人之或依原则而进行思维时，此思维活动是否同时为综合的思维活动?
即如吾人在数学之联合律中，吾人试问（A+B)+C=A+（B+C)之毕竟只为分析的或兼为综合的?吾人固可言其为分析的，因左项中亦只此三项，在此“＝”号之左右二端，即为同义语。但左端中之括弧，在A与B外，右端中之括弧在BC外。二者之意义，亦可不同一。则其间之“=”之符号所代表之意义，岂不可说为综合的?因此“=”号，实并非表示其左右二端之数项之全同，而是表示左右二端之数项，在数学之演算中为可相代者。然左右二端之数项既不全同，如何又可相代?此不能说由于人之任意约定，因人之实际的数学思维皆依此交换律联合律而进行。若此中之理由，不在人之任意的约定，则此中之理由，便只能由吾人之思维之本身中之理性求之。即唯有谓此“律”，乃兼依于吾人之分析的思维之理性与综合的思维之理性而立。而此二种理性，本身之如何统一，亦只能由吾人之理性自身中求之。
如吾人求之于吾人思维中之理性，则吾人可了解此联合律，唯依于吾人之直觉：如有二数项AC于此，B为可特与A相联合（A+B)+C，亦可特与C相联合A+（B+C)，此二联合同为可能，而皆与B之为B、A之为A、C之为C不生影响者。亦即与A是A，B是B，C是C之自同中，所表现逻辑上之同一律不相害者。无论B特与A联合或特与C联合，皆为一综合。然此二综合，皆与ABC之自同不相害；则吾人可说此二联合、二综合之方式，对A、B、C之价值，为同一。依此同一，吾人即可以一联合代另一联合，而（A+B)+C=A+（B+C)。由此而有联合律，故此联合律所表示者，即B特联A及A特联C之二综合方式之同一。则此律乃兼由分析与综合之思维之所成。
依同理，我们可说明交换律亦为兼综合与分析者。此即由于吾人之直觉一数项在另一数项之后与先，对一数项与另一数项之自身，为不生影响者。故其在一数项之先，与在一数项之后，即有一同一。
其次，吾人亦可说明，合二数以成一数时，如1+1=2，此不只可说为分析的，亦可说为综合的。因1+1与2二者之符号不同，意义即不能全同。则说其相等，即为综合之联结之之事。吾人何以可综合此二者，而说1+1=2？此唯由吾人直觉以数观对象时，分为二个一以观之，与合之为一个二以观之，乃吾人之二种活动，然此二活动可互相代替，而皆与对象之自身，不生影响者。因而吾人可直觉此“分之为二个一”，与“合之为一个二”乃同一，吾人遂可说1+1=2，即二个一等于一个二，其数值相同。
吾人能知二个一与一个二之同值，则知凡二个数，皆可合视为一个数，一个数皆可分为二个数；而吾人如以一数与一数相乘，再与另一数相乘，即同于一数之与后二者合成之数相乘；而一数与后二数合成之数相乘，亦同于与此二数之分别相乘，由此即有数学中之分配律。即A×（B+C)=（A×B)+（A×C)。而此分配律中之=之两端，仍非全同，乃异而同，即兼为分析的与综合的。
由此而吾人再进一步看，逻辑本身之定义规律，亦当为兼分析与综合者。如吾人说P真，等于说～P假或P假假。P真与P假假之意义，是否彼此全同一？至少此二者语言符号不同，则吾人如何可谓其意义为全同一？如非全同一，何以说P真又可同时说P假假?此只能归于：吾人之知一切肯定同于否定之否定。然何以肯定同于否定之否定?此二名岂非亦不同？此最后仍只有求之于吾人之思维之理性。此首因吾人可直觉：当吾人想一命题如草是绿时，与吾人之想草非绿再否定之，吾人所思想者仍为同一。由是而吾人知：无论吾人直接想此是绿，与由想此非绿再非此非绿，吾人思想之对象与内容，仍为同一。此为P真与P假假之同一之一外在之讲法。
另一内在之讲法，则为吾人自觉吾人兼有肯定与否定之活动，此二者同为吾人之活动，然二者又相异。此知其相异而肯定其相异，即为一综合的活动。然吾人一面知其相异，又知吾人肯定什么于一事物时，即不复有否定什么于一事物之活动。于是吾人知肯定之活动存在，否定之活动即不存在。反之亦然。吾人复知使否定之活动不存在，即同于使肯定之活动存在，而直觉：有一否定否定之活动，即同于有一肯定之活动。此为由主观之活动之存在与否，讲P真与P假假之同一。
再一种更深之讲法，为吾人肯定时，在吾人所自觉之肯定活动之上之后，有一自知肯定之为肯定，并任持此肯定之为肯定，而继续生起此肯定，亦即肯定此肯定之心之性。此即心之理性。吾人依此理性，一面生起此肯定，一面即遮拨否定活动之生起，以成就此肯定活动之生起。而此遮拨否定之事，与成就肯定之事，实一事之二面，亦一理性之二面。而此一理性即反反以显正（即正正)，否定否定以肯定肯定之一理性。此中离否定之否定，则肯定之肯定不成；离肯定之肯定，则否定之否定亦不成。遂显出一否定之否定与肯定之肯定，互不相离所成之全体。此全体为一综合肯定之肯定与否定之否定二者所成。而肯定之肯定与否定之否定，亦同依于此全体，并依此全体而俱成。此即二者之同一之处。此一全体之理性之二面，互异而又同一。由是而吾人可说P真与P假假之同一。P真则P真是同一律，P真则P假假，是不矛盾律。如P真与P假假，依于一全体之理性而为同一，即同一律与不矛盾律之同一，依于一全体之理性而同一。至于所谓排中律，则当兼自此全体中之理性之“肯定之肯定”之排斥或否定“对肯定之否定”，及“否定之否定”之排斥或否定“对否定之肯定”上说。此为其与单纯之肯定之肯定，及否定之否定之不同者。而排中律与同一律不矛盾律之意义之同一，亦唯有自其同依于此全体之理性处说。由此而所谓思想三律之成立，皆兼依于思维中综合性与分析性。综合是合异证同，分析是由同证同。三律之异而不相离，显出一理性之全体，为合异证同；三律之同依于此理性之全体，而可互证，则为以同证同。是皆待学者之深思，而自得之。
至于除此以外，其他之逻辑原则，如一般之代替原则，推断原则，之是否只为以同代同之分析活动，或兼为综合活动，亦二者皆可说。因吾人之以符号代一符号，此二符号即毕竟非同。以一符号代他符号后所成之命题，明为一新命题。则谓由代而成之命题，与原来被代之命题，有同无异，即毕竟不可说。因吾人如连逻辑之命题于思维中之理性言，则命题不同，意义皆不全同。如知上所谓P与～～P之不全同，则知由肯定P再经～～P而肯定之P，二者亦不全同。然吾人不经～～P不能再肯定P。故肯定P与再肯定P亦不全同。由此而一切所谓同语重复Tautology，皆非绝对之同语重复，皆非只是以同证同，而皆是通过异以证同。而人之任何推理之再进行一步，任何推断原则，再运用一次，吾人只须自其皆须经其否定之遮拨（即否定之否定)，而后可能之一点上说，即可谓其皆是通过“异”或“否定”以进行，亦即与此“异”或“否定”发生一综合性的遮拨关系以进行。而任何之演绎思维，或引申一前题或基本定义命题所涵之意义，以成结论或新命题之思维历程，皆为一兼分析与综合之思维历程。而即一切将绝无意义之符号，依规则而加以播弄之逻辑演算，数学演算，只在其必须依规则一点，即须自求去其不依规则之思维并依自然理性以遮拨不依规则之思维。而此即已为一兼分析与综合之思维历程。除非人之逻辑数学演算，真全同于计算机器之活动，则无任何无综合活动而只有分析活动之演算为可能者。
如吾人知人之思维活动理性活动，皆包涵分析与综合之成分，则谓先验命题皆为分析的或皆只依于语言符号之意义之约定而成立，乃无当于理者。亦即吾人绝不能依逻辑数学之先验知识之皆为分析的，遂谓此外更无先验的知识。因逻辑数学之知识之成立，至少在其所依基本规律上看，此规律之如何形成，即非只原于人之分析性之思维。而对各种几何学，对时间空间，对事物之共相与共相之同异关系，吾人皆明可觉有：非可由以后经验所否证，而与一般经验知识不同之先验必然之知识之存在。至于此种知识之种类内容，毕竟如何?及其先验必然性之依何条件而建立?其先验必然性，是否能离人之一切可能经验与理性而成立?此皆尚待人之再进而求之。
先验知识问题 参考书目
此下所举之书目，为本章之前四节所涉及者，至于本章之后二节之所陈，则多为我个人之意见，尚待于发挥引申并加以讨论者。
Kant：Prolegomena to Future Mataphysic，4，The General Questions of the Prolegomen .
H.Feigl & W.Sellars：Readings in Philosophical Analysis.PT.IV.Is There Synthetic Apriori Knowledge?M.Schlick，C.I.Lewis.二皆有文，可资参考。
A.J.Ayer：Language Truth and Logic，Ch.IV.The Apriori.
A.C.Ewing：The Fundamental Questions of Philosophy.Ⅱ.The Apriori and the Empirical.
B.Blanshard：The Nature of Thought.第三十二章Concrete Necessity and Internal Relations.
J.Hospers：Introduction to Philosophical Analysis，Ch.2.Necessary Knowledge，especially Sec.Ⅶ
M.G.White：The Analytic and the Synthetic，An Untenable Dualism.见Semantics and Philosophy of Language.ed.Linsky.University of Illinois Press.