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之根源，或能综合诸“一”以成他数，而倒说之之名也。此当作别论。)
吾人能循此思路以论数，则数可不必待外在对象之存在而成立。其所以在日常经验中，似必待外在之对象而成立，亦唯由一外在之对象，可引发吾人之一理性活动，而使吾人得置定一如何如何之存在而言。然吾人之任何主观之观念，及任何认识判断之活动，在被反省自觉时，吾人亦皆可置定此观念之存在及此认识判断之活动之存在。此乃与吾人之置定一如何如何之外物存在，同为完成吾人之一理性活动，亦同可使吾人有“一”之数之概念，及综合诸“一”所成之其他数之概念者。故吾人在常识中，亦承认吾人于有三对象如三马在前时，吾人如一次数之，则谓之为一堆马。二次数之则为二堆。而再重复数之，则马之堆数可为三四五六……以至无尽。而此事之所以可能，其理由正在吾人之可直接由吾人之“观念及认识判断活动之存在”之分别置定上，建立数之观念也。
由是而吾人可改造罗素之数学理论，以谓吾人无论对外界之一如何如何之存在加以置定，或对吾人之任何观念之存在，任何认识判断之活动之存在，加以置定，同所以完成吾人之一理性活动，吾人皆可依之而有“一”之概念，及由其综合而成之二三四五之基数，及第一第二第三……之序数。由此而数之可成无尽，其根源即可在吾人之理性活动之生起，可相续无尽上说。而吾人亦即无须假定无穷个体事物之存在，以说明数之数之可无穷；而又不必谓实有无穷之数，独立于吾人之认识活动理性活动，而悬空外在的存在也。
吾人如自理性活动上言数之根源，则所谓数之可分为诸分数，及数之可相乘为乘数，皆不必如上章第五节之从量上说，亦不必如罗素之自二类之分子之配列成对上说。因吾人之理性活动原能综合诸“一”以成数，如二、三。综合之事毕后，吾人亦知此综合活动之为一，如二为“一”个二，三为“一”个三，而此二又原为二个“一”，三原为三个“一”；此处即见分者之可合，与合者之可分。而此即已可作为分数乘数及其串系之根源。
譬如吾人在说有一个三，而此中之三即三个一时；则吾人认识一个三之理性活动，与认识三个一之理性活动，即有一贯通或同一之处。今吾人假定“一”个三中之“一”为大一，则三个“一”中之“一”为小一，此三个“一”中之每“一”，为三个“一”中之一，亦即所谓“一”个三中之“一”之三分之一，此即为分数。而“一”个三中之“一”为三个“一”之综合，亦即所谓“一”之三倍，而此所谓三个“一”，其本身即为倍数乘数。又此中每“一”既为“一”之三分之一，则“一”即三个“三分之一”之综合，亦即为“三分之一”之三倍，或三乘“三分之一”，而此“一”个三，亦为倍数乘数。此上之“一”之可分为三，三之可视为三个“一”，三个“一”之可综合为“一”个三之关键，唯在认识“一”个三之理性活动，与认识三个“一”之理性活动之贯通与同一而已。
至于所谓分数乘数之串系，如由三分之一，再三分之，为九分之一，更三分之，为廿七分之一……由三乘一为三，至再乘以三为九，九再乘以三为廿七……则其根源不外由于吾人依理性以继续其分合之事之所成。因吾人既可于“一”分之为三个“一”，则吾人自可普遍化“此分为三之事”于“一”之中，而将此“一”再分为三……以成三个更小之“小一”。又吾人既可综合三个“一”，三倍“一”，以为“一”个三，则吾人亦可普遍化此综合三个“一”而三倍“一”之事，而将“一”亦三倍之，综合此三个“一”以成更大之“一”个“三”……。而吾人由此以产生之九分之一或九，廿七分之一或廿七……之串系中之项目，因其可无尽的增加，于是，总觉其前另有数，而此数之串系亦若为自行伸展而可视一如外在客观之存在之串系。然自其本源而观之，此串系之继续，其根据唯在吾人之继续依理性之运用，以普遍化此“分一为三个一”，或“合三为一个三”之活动。唯吾人有依理性之运用，以普遍化此分合之活动之趋向在后、在内，乃有此似向前伸展而似为外在之数之串系也。
吾人于此，可不将吾人之如何依理性之运用以构成一切分数乘数之串系之全部次第，以严格之形式，加以说出，亦不能于此穷尽“以理性之运用所产生之活动，说数”之说之涵义，以说明一切数之所以产生，与数学知识之形成。吾人之意，唯在指出数之可分为分数，与可合为乘数，及分数乘数之串系，皆不须直接依物之量之可分可合而成立，亦不须依一类之分子与他类之分子可配列成对而成立；而可直接如上述之由吾人之理性活动之相续施于其自身之成果之数，而贯彻于其成果之数之中以成立，另无待于外，至于其他之问题，则可不多及。
第十一节 逻辑中所谓思想律之问题与各可能之答案
至于对逻辑中所谓思想律之问题，则现代哲学之趋向，亦皆不自所经验之事物观念之同异上，或事物之有某性质或无性质上，说所谓思想律之根据。而多喜由判断、命题、句子之真妄之值或符号意义之约定上，说所谓思想律之所由生。或则迳将所谓思想律，视作一种逻辑命题。亦有欲取消思想律中之不矛盾律、排中律；并有以吾人可对逻辑名词之意义，另作约定，以任意造成不同逻辑系统者 [74] 。
关于以思想律之根据，在吾人对事物之观念之同异，或存在事物之有无某性质之说，其不当之处，在不知思想律中之是非，或肯定否定之概念，与有无同异之概念，似可相对应，而涵义又不同。诚然，我们可以说因甲与乙相同，故说甲是乙。甲与乙相异，故甲非乙。亦可因甲有某性质，如白，故甲是白。甲无某性质，如无白，故说甲非白。然事物之同异，是自二事物之关系上说，性质之有无，是自一一事物与某性质之关系上说。此皆是就对象方面说。而是非或肯定否定，则唯是吾人之判断活动之形态。一为对象之事物，与其他为对象之事物，可由同而异，由异而同。一事物可由有某性质而无某性质，亦可由无某性质而有某性质。事物自身并不能保证其同不能异，有不能无，因而亦不永自有其所有，或永同其所同。然吾人之思想事物与陈述事物，而说其是如何或肯定其如何时，吾人同时即自求确定吾人之是如何说，是如何肯定。故吾人于一定之事物对象，肯定其是如何，即确定的肯定其是如何，同时否定其不是如何，或否定否定其是如何。唯依此而后有思想律。故思想律只可说为吾人思想时所自定之是是而非非之律，不可说其直接依事物对象之同异有无之关系而建立者。
我们说或肯定：一事物是如何或是什么，即成一命题。谓一事物是什么，亦即表示吾人肯定什么于一事物。吾人肯定什么于一事物，是肯定什么于一事物，此即同一律。吾人肯定什么于一事物，非否定什么于一事物，即不矛盾律。吾人“肯定甚么于一事物，或否定什么于一事物”，而非“既不肯定什么于一事物，又不否定什么于一事物”亦非“既肯定什么于一事物，又否定什么于一事物”，为排中律。但吾人之肯定什么于一事物，即说所肯定之什么，对一事物为真；亦即说，一事物成为：是什么之“x”中之一项，或可代入“x是什么”之命题函值中，以造成一真命题者。由是而吾人可说，肯定什么于一事物，即同于说一命题为真。而否定什么于一事物，即同于说一命题为假。于是所谓同一律，即等于“说一命题为真，即说一命题为真”。不矛盾律等于“说一命题为真，即说“说一命题为假”。排中律等于“说一命题为真，或说一命题为假”。故“若P则P”为同一律之表示。“若P则非～P”为不矛盾律之表示。而“P或～P”，则为排中律之表示。此可为现代逻辑家所共认。然现代逻辑中所发生之问题，则为如所谓思想律必须联系于命题之真假而说，则一命题如无真假，或吾人不知其真假，又当如何?如吾人肯定什么于一事物时，吾人有时固确知吾人之能如是肯定者，有时确知吾人之不能如是肯定，然有时亦可不确知吾人之能与不能。如吾人肯定前面之一对象是人时，有时吾人确知能如是肯定，而“彼为人”之命题为真。有时确知不能如是肯定，则“彼为人”之命题为假。然如吾人在夜间遥望一物，不能决定其为人与否，即似既不能有所肯定，亦不能否定吾人试作之肯定。又吾人通常对未来之事物作一肯定时，亦恒不能决定吾人之肯定之是与否，为真或为假。于是吾人即可说于肯定或否定一命题之外，或以一命题之为真或为假之外，另有第三种态度。即既不确定的肯定，亦不确定的否定，或只抱一疑问之态度。此疑问之态度，亦为一认识态度。在此认识态度中，似无排中律之存在。而于此，肯定否定之活动，既皆不能确定，则自吾人主观思想方面言，此中亦似根本无思想律之存在。
然就另一方面言，则无论吾人之是否能知一命题之真假，吾人总可说，对一事实言，一命题之非真即假。如吾说前面之物为人，此命题之真假，吾固可不知；然要必有真假，而不能同时皆真或皆假。此乃因前面之物是否为人，乃一客观之事实。此事实或是如此，或不如此，应为一定者。故吾人可知此命题之非真即假。而此即现代之逻辑家之或只就对一定事实而言，一命题之真假之不相容，以论排中律同一律之根据，而忽去其与思想中之肯定否定之关系之论所由生。
然吾人如以一命题不真则假之根据，唯自其与客观事实之关系说，则此是先假定客观事实本身之已存在而后能说。而未来事实之为如何，则不能谓为已存在者。吾人如何能谓一涉及未来之命题，其真或假，为已确定者？涉及未来之命题，似只能说其大概为真或假，而此大概为真或假，可有各种不同之程度。此即于一命题之真假二值外，再立一不定值，或无数之不定值之三值逻辑或多值逻辑之理论之所由生 [75] 。
涉及未来之命题之真假值，以未来事实之未存在，固可说为吾人所不能确定。然吾人仍可说未来之事物，总有所是。即不是如此，即如彼，或是如此，则非不如此，而终不能又是如此又是非如此。则吾人仍可对一命题有一确定，即确定其或真或假，不能既真且假。由此以知其不真即假，不假即真，而仍保持排中律，谓一命题之只有真假二值，无第三可能。
然吾人若欲建立排中律于事物之总有一定之所是上，此本身乃立逻辑之基础，于一本体论或形上学之上。因吾人如何能纯自吾人现有之经验与知识之立场，以断定未来事物之必有一定之所是。仍为难决之问题。未来事物岂即不可为一团混沌，而一无所是?吾人如建逻辑之基础，于事物之有一定之“所是”上，则于其“所是”之常在变化迁流中者，如辩证法逻辑之所重者，又将如何说？如吾人纯自事物有一定之所是处立逻辑，则事物之在变化迁流中，不断扬弃其一定之是，岂非即为逻辑之否定？
由此而另一更为正宗之逻辑家之说法，则谓逻辑既不以思想为基础，亦不以事物之有无其所是为基础，而唯以吾人所用之语言必有一定之意义为基础。
依此说则所谓同一律、不矛盾律、排中律，唯是所以规定，吾人用语言时，每一语言之有其一定之意义，而不能前后矛盾。故吾人以水是柔之语言，指某物之有某性质，而有何意义，水是柔之一语即有某意义。吾人在继续用水是柔之一语言时，亦当使其所指之意义，前后同一而一致。于是吾人之规定一语言之意义而谓：一语言之意义如是，则此语言之意义如是，如“说P即说P”，此便是同一律。谓一语言意义如是，则非不如是，如“说P即非说～P”，则为不矛盾律。谓一语言意义如是或不如是，“说P或说～P”，则为排中律。由是而传统之逻辑中之三律，仍可保存。
然吾人可问语言之意义，何由而定?此当只是由人而定。人何以必须规定某一语言意义为如何?此则无客观上之必然之理由可说。人亦未尝不可任定一语言之意义。唯吾人可说：如人已定一语言之意义，则人当自遵守其所定。然何以必当遵守?依此说，则最后归至：如语言之意义才定即改，则人对其所继续运用之语言之意义，永不能有一确定之了解。而人即不能达其运用语言之目标，使人了解其语言。故人若欲达其运用语言之目标，则必须确定语言之意义，并肯定逻辑上之同一律，不矛盾律及一切逻辑规律。由是而逻辑之学即成：为达吾人运用语言之目标，使语言之意义能一贯，而为语言之运用，语言之构造，语言之转变，指出种种规则，并将此规则，以逻辑命题表之者。
依现代逻辑家之以语言之意义为约定之说，逻辑学中之逻辑语言之意义，亦或被视为由人约定者。如吾人之以～表否定，以·表“与”，以 表“如果——则”，以P表“命题”，以S表语句，即现代逻辑家共同约定者。而此诸符号之如何加以定义，则可由一逻辑家在其逻辑系统中自己规定，以符号之连结表之。如P Q=～Pvq.df.，再将若干符号，结成若干逻辑之基本命题。此基本命题与定义，恒亦为麦示吾人运用符号，或以符号代符号之规则者。依此规则，而吾人即可以基本命题为前题，而将其中所包涵之项代以其他，而施行逻辑上之演绎，以构成逻辑系统，其中可包括传统逻辑中之若干命题，及其他。于是在现代西方有种种新逻辑系统之出现。
第十二节 逻辑之约定主义与逻辑之理性主义
然吾人不论各种新逻辑系统之如何构造，其中同有一属于知识论上之根本问题。即：毕竟吾人之将若干逻辑上之符号，连结形成定义与若干基本命题，并定下运用符号之规则，是否其本身全为任意者?如其非任意，则其根据应求之于何处?此任意约定之是否可能，同可由同一律，不矛盾律，排中律之意，能否加以任意约定之问题，以论之。
譬如在一般逻辑系统中，皆承认同一律之表示，为如P则P，不矛盾律之表示，为若P则非非P。吾人试问：此是否只为一约定?如为一约定，则吾人可否另作约定，而谓若P则非P，以造成一逻辑系统而免于自相矛盾?吾人首当说，据若P则非P之约定，以另造之逻辑系统，而免于自相矛盾乃不可能者。因吾人若约定“若P则非P”，则吾人可以“非P”代入其中之P，而成“若‘非P’则非‘非P’”。而此非“非P”即同于P，则还证“若P则P”之同一律，遂与原约定相矛盾。如吾人说“若P则非P”之义，同于“若P是真则P是假”，则以“P是假”代入P即成：“若‘P是假’是真，则‘P是假’是假”，而“P是假”是假，同于P是真，则还证“若P是真则P是真”之同一律，仍与原约定相矛盾。
然人或以为此唯由吾人将真与假之意义，先依同一律而加以规定之故，乃有此矛盾 [76] 。若吾人自始不假定同一律，则真假之意义即无事先之一定之规定。而吾人之第一次用假字时之意义，与第二次用假字，即可为全然相反之另一意义。此假如以～表之，则吾人第一次用～之符号，与吾人第二次用此符号时，可有全然相反之义。真字亦然。吾人于是如以“P是假”代入“若P是真则P是假”之命题中之P时，固可成“若‘P是假’是真，则‘P是假’是假”之一新命题。然此中真假之意义，皆已改变至其反面。则新命题中之“P是假”是真，同于：“P是真”是假。“P是假”是假，同于：“P是真”是真，而新命题同于：“若‘P是真’是假，则‘P是真’是真”。在此中，如以“P是真”为P，则“P是真”是假，可以～P表示。“P是真”是真，仍以P表示，则整个之命题，应以～P P表示。再以～P代入此中之P，则成～～P ～P。如～～P即P，则成P ～P。是仍返证成原命题，而未尝自相矛盾。
依此上之说，则吾人如对于一逻辑名词之意义，如一一皆另作相反之约定，则吾人纵假定P ～P，而取消同一律不矛盾律等，仍可构成一不自相矛盾之逻辑系统。于是吾人所以以违背同一律不矛盾律之逻辑系统为不可能，其根据唯在吾人已依同一律等以规定诸逻辑名词之意义。如吾人自始未尝依同一律等以规定诸逻辑名词之意义，吾人未尝不可造成一违背同一律等之逻辑系统。由此而见吾人之造成何种逻辑系统，纯可由吾人之自由决定，唯视吾人之如何规定一逻辑上之符号语言之意义而定。而在吾人未依同一律等以一一规定逻辑语言之意义之先，吾人乃可使一符号语言之意义，同于其反面之意义，亦未尝不可使一符号语言之意义，在每次上之符号语言之运用时皆不同者。在此情形下，则吾人依同一律等而建立之逻辑系统，亦即整个无效。而其有效，乃吾人之逻辑语言已规定后之事，而非其以前之事。由此而逻辑上之同一律等，唯依符号语言意义之约定而成立之说遂立。
然吾人今日之问题，则为谁为约定或规定语言之意义者?吾人既可随意规定一语言之意义，并规定一语言涵其相反之意义，或使一语言之意义，每次用之皆不同；则吾人何以又不愿随意规定一语言意义，且必求一语言之意义之定而有常?此除为利便于人之相互了解之外，是否即别无理由或理性根据之可说?
由是而吾人之问题，即还至语言之意义如何被规定之问题。譬如吾人规定“方”之语言，指某一种形，规定人之语言，指某一种动物，吾人在如是规定一语言之意义时，吾人心中岂能无所思之对象?此对象岂能不表示一共相？此共相岂能无普遍呈现于不同时空之同类事物之性质?则吾人之认识此共相，岂非即本于吾人之理性?岂非以吾人之理性有对此共相之认识，而后有语言意义之规定?则语言之意义之规定，又岂能不本于吾人之理性?
又吾人规定一语言之意义，岂非同时规定吾人以后亦将以此语言，指同一之意义?而此规定，岂非即一超越吾人当下之用此语言之事，而对人之将来之如何用此语言，施以一规定?岂非规定吾人任何时用此语言，皆有共同而普遍呈现于吾人之不同时思想中的意义?此中又岂能不依于一理性之活动?
然吾人如承认吾人之能规定语言之意义，乃依于吾人之理性之活动，则吾人纵谓同一律不矛盾律等，唯在语言之意义之规定上表现，同一律不矛盾律之根源，仍不在已规定之语言之意义中，而在能规定语言之意义之理性活动上。
吾人规定语言之意义，如必以白之语言指白，是吾人理性活动之一种表现，吾人之对白物而自规定：必思之为白，亦是依于吾人之理性活动之一种规定。在吾人规定语言之意义，谓此语言之意义，是如此即是如此等处，可表现同一律，则吾人对白物思之为白，岂不亦表现同一律?吾人在自思此用语言之活动，或白物为白之判断活动时，而自谓“此用一语言之活动是用一语言之活动”，或“一判断之活动，是一判断之活动”，此中岂不亦表现一同一律?吾人在此诸活动中，自动规定语言之意义如此如此，即自肯定“语言意义如此如此”；自规定对白物思之为白，即自肯定“于白物思之为白”。自谓用一语言之活动是用一语言之活动，或一判断活动是一判断活动，即自肯定“用语言之活动，是用语言之活动”，“判断之活动是判断之活动”。此中皆同有同一律之表现。则吾人岂不可说：凡人有肯定其所肯定者处，皆同一律之表现？而吾人之肯定其所肯定者时，同时否定“吾人之否定其所肯定”，此岂非即不矛盾律之意义?至吾人“肯定吾人所肯定”，或“否定吾人之所肯定”，而否定“对此二者之皆加以否定”与“对此二者皆加以肯定”，则为排中律之意义。由此而吾人乃不复只是由吾人肯定或否定什么于一对象处，求同一律不矛盾律排中律之意义与根据；而可纯由吾人之理性活动之自肯定其所肯定，而否定对此肯定之否定等上，求同一律不矛盾律排中律之意义与根据。由是而传统逻辑中之思想三律，即重由理性之保证而建立。而吾人之所以不随意规定语言之意义，而必求语言意义定而有常，亦即有其理性上之必然理由；而不只是为利便他人之了解，以实现语言之目标者矣。
由此而吾人之论逻辑之基础即归于理性主义，而不止于约定主义。
至于现代哲学中之论几何学之基础之问题，则自非欧克里得几何学产生后，人大皆怀疑几何学中之基本命题，为先验知识之说。而欲将几何学化为一与数学及逻辑类似，而只依若干基本定义与基本命题而演绎所成之系统。然其中涉及先验综合命题之是否可能之基本问题，故只于下章中论先验综合命题中附及之。
数学与逻辑知识之性质 参考书目
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