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第八节 数学与逻辑合一之理论
以上各种数学逻辑之理论，皆为欲于数学与逻辑之知识本身外，求其中观念之来源；并说明其所以能对经验世界有效应用之故。但今吾人试问：若数学逻辑之知识本身全不应用，或将其与一切客观存在、主观心理、及时空等之关联，完全截断，是否其本身即不能为真，或不能成立?我们又试假定，我们所经验之世界，表面全变为不合逻辑数学者，是否逻辑数学中之规律，即可被否定?
譬如吾人今试假想：我们将二苹果加二苹果，由经验得者乃为五苹果或三苹果，又试假想一苹果方是绿，又忽是红，或方是苹果，再看即成一条金蛇，又看则成一美女。吾人于此是否即必怀疑数学逻辑之知识之真，而谓二加二不等于四，或A不是A?
但我们一细想，便知吾人即在此情形下，仍不能怀疑数学逻辑知识之真。因如吾人将二苹果加二苹果而得五苹果或三苹果时，我们通常可不怀疑二加二等于四，而可想此由于另一苹果自他处出来，或一苹果被人偷去，亦可想此乃我们之视觉看错，亦可想我们计数时，少计了一个，或多计了一个 [72] 。此外，我们还可以想，苹果是如人之能生殖，由二人可生出第三人者；或苹果是能合并的，如一体积水之透入另一体积之物，仍成一体积。总之我们不愿怀疑二加二之等于四。而此数学中之二加二等于四之意义，亦实并不全等于我们通常所谓把二个物与另二个物置于一处之意义。因将二个物与另二个物置于一处，依其相互之因果关系，其最后之结果，可等于任何数。如二狼与二羊，置于一处，则最后只有二狼。一国之二战士与敌国之二战士，置于一处，可互相斗杀，最后无一战士。二阿米巴与二阿米巴置于一处，最后之结果为无数之阿米巴。吾人如知“二加二等于四”之意义，并不等于“二物与二物置于一处必有四物”之意义，则任何经验界之二物与二物置于一处所生之结果，其数如何，即无一能否证二加二等于四者。而无论此结果是什么，我们都可以经验界之物与物之因果关系等，加以解释；并在此解释中应用到数学。如二狼与二羊置于一处成二狼。则吾人说二加二再减二等于二。如二战士与二战士相斗而皆死，则我们说：二减二等于零。如二阿米巴与二阿米巴自己分裂成无限，则我们说二乘二乘二……成无限。由是而无论二事物与二事物置于一处其所生之结果变如何数，永有其他数学知识可应用。
其次，在几何学中，其知识之不能由经验世界事物之存在状态之变化加以否证，其情形亦相同。如在欧克里得几何学中，吾人说三角形之三角，等于百八十度。今试设有三角板，才量是百八十度，再量似只有百七十九度。吾人亦必不说三角形之三角之和，可少于百八十度，而只说此三角板上之三角形，非几何学上之三角形；或说因其他物理原因，使原为三角板之三边之直线，由直成曲，成非三角形。因而不再将此三角板之形，当作三角形看，而当作非三角形看。于是对之不应用三角形之几何知识，而应用其他形之几何学知识。由是而几何学之知识，亦永不能为所经验事物之几何形状之变化所否定，而吾人亦永可有其他几何知识，可应用于变化后经验事物之上。
此外在逻辑上，吾人说A是A，A非非A，亦不能为经验事物所否定。即如一物才红又绿，才是苹果，又成一条金蛇，再成美人，此固可能。但只要变化后之物有其所是者可说，吾人仍可说红是红，而非非红。苹果是苹果，而非非苹果。说A是A，只是说是A者是A，或如是A则是A，并非说，是A者必须永远是A。则是A者之由是A而不是A，并不能否证是A者之是A。而若一是A者，由是A而是非A之B，则我们可转而对于B说“是B者是B”。而此即同于“是A者是A”，之为表示逻辑上之同一律者。由是而此逻辑上之同一律，亦永不能为经验事物之所否证。而无论事物之由是什么之变为什么，此同一律皆为对之可应用者。对矛盾律，排中律者，皆同可如此加以解释。
吾人如了解上述之数学与逻辑之知识应用于经验事物，乃永不能被否证，且无论经验事物之如何变化，皆可有可应用之数学逻辑知识；便知我们讨论数学逻辑之知识，所以有必然性及其根据，可全不从其与经验事物之关系上着想，而可纯从数学逻辑之知识本身，如何形成上着想。
如自数学本身着想，我们如要问为什么二加二等于四，则我们尽可不问一二三四是什么，“加”是什么。但是我们可说一加一叫做二，二加一叫做三，三加一叫做四。或说二之定义即一加一，三之定义即二加一，四之定义即三加一。则我们可以纯从此定义推演，以证明二加二等于四。
2=（1+1)A
3=（2+1)B
4=（3+1)C
依B以（2+1)代3
4=（（2+1)+1))D
移动括弧
4=（2+（1+1))E
依A以2代（1+1)
4=（2+2)F
移项
（2+2=4)G
此即来布尼兹对于2+2=4之一证法。
依此种说法，我们可不问一二三四是什么，而只须知我们对一二三四之定义，即可证明二加二等于四。此亦如我们可不知道唏唏，呵呵，哈哈是什么，但我们如说呵呵之定义是“唏唏加唏唏”（A)，哈哈之定义是呵呵加唏唏（B)，则我们即可说：哈哈是“唏唏加唏唏”加唏唏（C)，哈哈是唏唏加“唏唏加唏唏”（D)，哈哈是唏唏加呵呵（E)，唏唏加呵呵是哈哈（F)。由此而数学之推理之原则，即可与逻辑之原则若完全相同。
我们上述之依定义而作之数学推理，其中亦实假定某种律则。如ABCD纯依定义而立，可无问题。但E中之=2+（1+1)与D中之=（2+1)+1，二者之形式，仍然不同。E乃由将D之括弧拆开，而将其中之“1”与其外之“1”，联合在一括弧中而成。此种将一数学公式中括弧拆开，而将其中之数之项，另与其他数之项联合之规则，此称为数学中之联合律。联合律之形式，可以（A+B)+C=A+（B+C)表之。又F与G之形式亦不同，而吾人之可将一数学公式之=号两旁之数项，加以移项，则为数学中之交换律。交换律之形式可以A+B=B+A表之。
此二律则在逻辑中亦同样有之，如上所举之唏唏哈哈之例中由C至D，即依于联合律，由E至F即依于交换律。
但是我们可以不知一二三四是什么，而纯依诸数之定义以推论；与我们不知唏唏哈哈等是什么，而可依对之之定义以推论，在逻辑形式上之相同，仍只是一方面的说法。因我们在常识中，仍觉我们是知道一二三四是什么的，至少我们知其是数。我们又知由数一二三四，可数至五六七八九十……以造一无穷尽的数之系列，我们知其中后之一数，皆可由不断的加一于以前之数而成，又知由不断加一，我们即不断有一新数。然在唏唏哈哈之例中，我们并不能由唏唏加唏唏，以生出哈哈。我们必须先有“唏唏”“哈哈”等名词，并对之先加以定义，乃能有上述之推论。但我们却可不必先有一一之数之名，先有一一数之名之定义；而可由加一于以前之数以生一数后，再与以一名；并可即以一数之所由生，为一数之名之定义。而我们之由加一于以前之数以生数时，我们必须有一起点之数。比起点之数即为零之数，故“零为一数”。而对零加一所成之数，即可称为，继零之数而起之继数，继数亦为一数。如0+1成1。此1即0之继数，而亦为一数。而此1之定义亦即0+1。继数复有其继数，如1+1成2，2即为一之继数。此2之定义，即1+1，亦即0+1+1。此处吾人如假定：吾人之不断加一以产生数，乃一直前进之历程，或假定“无两数有同一继数”，即一数只有一继数，一继数亦只为一数之继数，又“零不能成任何数之继数”，又假定“由零而次第产生之一切继数，有其共同之性质”；则吾人即可造成一自然数（Natural number)之系列。而此数之系列中之一切数，因皆具有共同之性质，以属于一系列，吾人遂可以同一之方式，加以运算 [73] 。依上述之思路以说明数之产生，吾人可只须有若干之基本观念如○、数、继数等，若干基本命题，如上述之“零为一数”“无两数有同一之继数”等，即可构造出自然数之系列，而此数之系列中之一切数，又皆为具有共同之性质，并可依一定方式加以运算者。然吾人于此却可不须先知此基本观念之意义，及诸基本命题之其他根据，而只说有此诸基本观念及诸基本命题，便可构成自然数之系列，其中一一之数，皆为可依一定方式加以运算者。此即为将求数学之基础，建立于吾人所自觉的设定之基本观念、基本命题上；而求化数学为纯粹的逻辑的演绎系统之一种现代数理哲学之路向，而可由符芮格（Frege)之说以代表者。
但是在知识论上，我们总不能完全满足于任何未加以说明观念及基本命题。故人总想知道○是什么，数是什么，继数是什么，并由此以确知运用此诸基本观念，所成之基本命题之根据何在。此在现代哲学中一条道路，即罗素之以类说明数之理论。此可配合以前他家之数学理论，略加介绍。
罗素这种理论，其目标在欲自符芮格（Frege)进一步，以求连系数学与逻辑。因“类”乃是逻辑中之概念。我们要定一类，只须某一性质，具有某性质之一切个体，即合成一类。如具有人性之一切个体成人类。依罗素说，性质与类之概念，皆初可不假定数之概念。一类中有许多个体，每一个体皆可各予以单独之名字，亦可不用到数。但一类中之各个体，与另一类之各个体，可有一与一之相当One to one correspondence。如一类中有三个体者，其三个体，即可与其他类有三个体者，有一与一之相当。而诸有三个体之类，又可合为一类。此类所合成之类，即名为类之类Class of Classes。而此处之三，即所以标别此类之类之异于其他之类之类（如有四个体之类之类)者。此三即数。此三之为数，在其为诸有三个体之各类，被视为一类之共同根据。依常识，吾人似可直就某一类中有三个体，以说其为三。但实则吾人在说其为三时，并非只在此一类中有三个体之事实上说其为三，而是从其与有一切有三个体之类，有相类似处，而可合为一类之类处，说其为三。依此，每一数可定一类之类，而数之概念乃可指一切数者，则“数”为一切“类之类”合成之类。
依以类言数之思路，每一基数皆为一类之类。一类之类中，其分子为类；而一类中之分子，则为个体。吾人以某性质规定一类，一类中可有多个体或一个体为分子。（如圣人之类可只有孔子)或无个体为其分子。无个体为分子之类，如龟毛兔角，即为空类。由此可导出零为一数之说。
以类言数，则所谓数之相乘，亦以类之观念界定。即吾人可以一性质定一类，又可合并二性质以上以定类，或合二类以上以一成类，如人而神之类。今设有二类AB于此，吾人可设定一类中之一项，各能与另一类中一项，分别配列成对，则吾人即定一类，即“二类之各项相互配列成对”所成之类。而此类中分子之数，即为二类中之分子数之相乘所成之数。而此即可成为乘法之基础。
此种以类言数之理论，其归根在一类中个体之存在。如一切类中皆无个体，则类皆为空类而除零外无数。因有一个体之类，故有一，又有二个体之类，故有二，以至有千个体之类，故有千。然吾人在数学中，明可于任何数皆加一以成另一数，而异于前之数。由此而“数”之数，应为无穷而各各不同者。欲使此一切之数，皆能各定一类，则世间应有无穷之个体事物。因若世间之个体事物为有穷，如止于千，则千零一及千零二以上之数，皆为空类，而所定之类遂无分别可言。今欲使其分别成可能，使一切之数，皆能各定一类，则必待于世间之有无穷个体。然此为不可证者，吾人只能如此设定。此在罗素称之为无穷公理之设定Axiom of Infinity。
此外一类之所涵，为其中个体之全部；类之类之所涵，为诸类之全部。类之数可多于个体之数，因一个体可属于多类，而类与类集合成之类之数，又可多于类之数。如设色有五类，形有三类，五色与三形分别集合成之类之数，即有十五类。类本身不能视为一个体，类之类本身亦非类中之一，此中有层次之不同。然类之所指，只为其中之各个体。而类之类之所指，初为各类，最后仍为各类之各个体。依各个体而有类，依类而有类所集合成之类之类。而集合成之类之类还指类，再还指个体，即为数有意义之必须条件。而设定此事之可能之公理，为还原公理Axiom of Reducibility。
此外又有相乘公理Axiom of Multiplication，为上文所谓“二数中之分子配列成对之事为可能”之设定。如无此设定，则乘法无根据。此与前二公理，皆为所以使数学之基础，得建立于逻辑中之类与个体之概念之上者。
第九节 依类言数之理论在知识论中之价值
罗素这种数学理论之全部系统，自非我们之所能详论。但即上之所述，我们已可说其以类论数之说之价值，在指出一般之认识历程中，数之观念并非最先生起，而为后起。同时确定数为普遍的概念；而并非直接依于外在之存在事物，或主观观念或直觉以起者。
在常识之见，恒以为吾人一看世界，即能直觉数之存在。如一见而知这里有二个人，那里有三个马。然又奇怪何以有当前一二十人以上时，吾人可一眼望尽此一二十人，而不能直下即知其数?实则吾人之认识世界，最初只有一片感觉、感相、或现象呈于目前。此感觉、感相或现象呈于目前，我们可并不觉其数。对于三个马，我们可一次看尽，或分二次看，三次看，然亦尽可不注意其类，亦不知其数。而我们在对世界有所感觉后，我们如要对世界有知识，我们首先一步，乃以我们之所感觉之内容，而对外物作一判断。如见马形，则谓这是马；见人形，则谓这是人。此判断在日常经验中，亦常有误。如判断草人为人，判断牛为马之类。而我们之说我们直见一人、一马、一花、一草，乃唯因我们自信所判断者之无误，而在日常经验中亦大皆不误之故。于是忘此中之判断与感觉之俱起。实则，凡我们有所感觉而知其是什么，或谓之为什么时，无不有判断俱起。而在此判断中，我们最少是以一普遍之性质，论谓对象，而施于对象。如谓其是人，即谓其有人之性质，谓其是马，即谓有马之性质。故我们在日常经验中，实持种种性质之概念之套子，以施于对象之上。此时因对象本身是什么，尚未决定，我们可称凡能合此性质概念之对象为x。于是吾人可说，在我们之认识事物之历程中，吾人乃先想种种之“x是有马性”，“x是有人性”之套子，套于种种对象之上，而俟以后之决定。在决定时，吾人乃可说，彼物是有马性，此物有人性，以成真正之命题。依此命题，乃知彼属于马类，此属于人类，而谓彼是马，此是人。在此命题未形成之先，“x是有马性”，“x是有人性”之套子，则只可称为一命题函值Propositional function。对此命题函值之x之变项，以常项加以决定后，乃有种种之命题。而吾人在日常经验中，所谓直接经验之这是花，这是草，对山上者是树，在池中者是影，实则皆依吾人之判断而有，亦即依吾人之将种种命题函值，加以初步之决定后，以成之种种命题。
依此以看，吾人之常识中所谓这里有三个马，便不当说之为吾人一次之直觉之认识所成。而当说吾人对这些对象，一一将“x是有马性”之命题函值之套子套上去，而一一皆发现其真而成：甲是马，乙是马，丙是马之诸命题。此即吾人对这些对象之第一步的知识。在此知识中，吾人发现有甲乙丙之个体对象，皆能满足“是有马性”之条件，而为“x是有马性”之命题函值中x之值。至吾人之说这些个体对象之数为“三”，则不只是就这些个体对象本身上说。因“三”亦可指三人（亦即指能满足“x是有人性”命题函值中之条件之个体对象之数目)三牛等，故三之数为一普遍者，而可成一类名者。即指“三个体对象之类之类”之名。
依此，便知吾人在常识中之直说三个马，三个人，此数字排列之次序，乃并不与吾人之认识次序相应者。如要使之相应，我们可试说，马个个个三，人个个个三，此三乃又可通于三人、三牛、三光等者。如再以图形表之，则三在诸三马，三人，三牛之地位，可如图：
上述之三为一概念一类名之说，可应用于一切数，而视一切数皆为一概念、一类名。依上文所述，在认识之次序中，吾人乃先依种种之性质之概念，以判断对象，成种种命题后，乃有数之出现。故数又为后于上述之命题之形成，乃形成而被认识者。此种将数确定为概念为类名，并确定其在认识次序中后命题之形成而形成，乃罗素之理论之根本价值之存在。
第十节 数之产生与理性活动及依类言数之理论之改造
罗素之理论，除将数视为概念类名外，又将数之成立依附于个体之存在。于是有个体非无穷则数不能无穷之无穷公理之设定；又以数之概念依附于类，以类与类之分子配列成对之可能，为相乘数之根据，而有相乘公理之设定；再以类依附于个体，而有还原公理之设定。其说遂使数学之基础，建基于本身不能证实，亦无必然之理性基础之设定上。此中之根本问题，则唯在：数之在日常经验中，乃指个体之数者，是否即必然归于“数必依个体之存在而后能说”之论。
吾人在日常经验中，数诚大皆为指个体之数者。如三指三马等。但吾人可试问三马之三，毕竟是初由外面之三个体，能满足为马之条件而来，或由吾人之三次发现有对象，能满足为马之条件而来？于此吾人固可说，唯因外有三马，故吾人有此三次发现。然吾人何以不说，唯依吾人有此三次发现，乃说有三马?吾人如取后一说法，则三马之三，即可不依外面之马而成立，而唯依吾人之认识马，判断马之认识判断之三次相继而成立。而吾人若欲说三之为类名，何不说之为：吾人对有三项之类，皆可同样有之“三次之认识判断之活动”之类名？若如此说，则吾人说有三马时，所说之三，虽似在马上与一切涵三项之物上，而其根源正在吾人之认识判断活动之为三次之上也。
吾人若能于此转念，求数之根源于吾人之认识判断之本身，则吾人可说，当吾人以任一概念，判断一对象时（即求一对象以决定“x有某性质”之命题函值中x之变项时)，因一概念为理，吾人即有“肯定对象为如何”之一理性之活动。此判断为真，则此肯定之活动，即完成其自身，而对对象之为如何，有一置定。此吾人对对象之为如何，有一置定，即可于对象说“一”。而此“一”之根源，则唯在吾人之有此判断，有此理性之活动。而对另一对象，如吾人又可以同一概念判断之，则吾人又可说一。而吾人由前一至后一，乃有一判断之更迭者。从客观方面说，即可说此由于前对象与后对象间，有一距离。此距离可为空间之距离，亦可为二对象之性质之除相同之处外，又有不同之处，所造成之距离。然如从吾人之理性活动之本身方面说，则此更迭，乃原于理性活动之生起，而消逝后，又再生起。由是而吾人之能说有一一之对象，其根源便唯在此理性活动之继续不断之生起，又再生起。而吾人之依自觉心，以综摄此生起至再生起，亦即同时综摄前一与后一，此岂不可即为二之所自来?更综摄此生起之一，再生起之后一，与再再生起之再后一，此岂不可即为三之所自来?此一二三等，即常言之基数。又吾人如于觉“后一”时，再回头望“前一”；觉“再后一”时，再回头望“后一”；则吾人即觉此诸一之相继而起之次序。而吾人既已于“前一”生起时说一，“后一”生起时，可回头望前一，而综摄之以说二，再后之“一”生起时，又可回头望前一与后一而综摄之以说三；则吾人为实表此诸“一”之相继而起之次序，岂不可即有第一第二第三之序数之名?
如依上文之说，则吾人仍可保留罗素之数为后起，及数为概念及类名之说。吾人不仅可承认，吾人之能说物之数，乃后于吾人之认识判断之理性活动之相继而起者；吾人亦可承认，在此理性活动正相继而起时，吾人亦初无其相继而起之自觉。此自觉，乃由吾人之心灵，升高一层，以反省吾人之认识判断之理性活动而来。则吾人此时应有一去置定吾人之认识判断之理性活动之存在之高一层的理性活动。吾人去置定一认识判断之活动之存在，则吾人可说有一认识判断之活动。再置定一认识判断之活动之存在，又可说有一认识判断之活动。而合此二者，则吾人亦即可说，吾人有二次之认识判断活动。缘是而吾人在认识判断外面某类物有三个体时，吾人亦应同时自觉吾人之有三次之认识判断之活动之存在。唯在常人因恒缺此反省，故在说外面某类物有三个体时，不能同时自觉吾人之有三次之认识判断活动，与之相应。因而亦即不能自觉的了解“此某类物有三个体”之“三”之根源，在吾人之三次之认识判断之理性活动也。
吾人方才说吾人有三次认识判断之理性活动时，吾人可不自觉其有三次。此自觉，必待于更高一层之理性活动。人如问：此高一层之理性活动本身，是否有数?则吾人之答案为：此数，仍必须待再高层之理性活动，以对之加以自觉的反省，即对此理性活动再加以置定，乃能说者。若无此再高一层之理性活动，对之加以自觉的反省，则此理性活动未被置定，其数乃仍不能说者。而即在其被反省置定而有数可说时，此反省置定之再高层之理性活动，仍无“数”而在“数”之上。如此逐渐翻上去看，则最高之理性活动，亦毕竟在数之上，而为数之根源之所在。故吾人说“一”与“一”之理性活动，与综合“一”与“一”成“二”，综合“一”与“一”与“一”成“三”之理性活动，同在此诸“一”及“二”“三”等之上，而亦初无所谓数者。（至吾人在形上学上之说，理性活动为一，乃自其为一切“一”之根源... -->>
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