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第一节 数学与逻辑知识及经验事物之知识
吾人在上章已提及，实事间之因果关系，与抽象之形数之理及逻辑之理之关系之不同。而数学与逻辑之知识，在一般观念中，亦明不同于一般之经验事物之知识。此种不同，最显著处有三：
（一)吾人对一般经验事物之知识，皆由扩大吾人经验性之观察实验之范围而增加。而数学逻辑之知识，则似惟待吾人之理性之推演与反省而求得。
（二)吾人对一般经验事物之知识，皆原于吾人对经验事物之为如何如何，预先作某种猜想或假设，此猜想或假设，乃可用后来之经验加以证实或否证者。然此一切证实，又皆不能为绝对完全之证实。因而此一切猜想或假设，亦皆可修正，或为其他假设所代替而被放弃者。然在数学或逻辑之知识之本身中，则可无关于经验事物之为如何如何之猜想或假设之成分。而数学逻辑之知识，亦似无待于经验之证实，同时亦不能为经验所否证者。
（三)由一般经验事物之知识，待于经验之证实而后真，故其真，非本身自明而必然的，亦非只由演绎推理可证明其为必然者。而数学逻辑之知识之若干，则似为本身自明而必然的，而其余者，则皆可由演绎以证明其为必然者。
数学及逻辑之知识，与一般经验事物之知识之性质固不同，然二者亦同为人之知识。且人由数学逻辑所得之知识，亦实可应用于吾人对一般经验事物之求知历程中。唯其如此应用，又并不能使吾人一般经验之知识，同于数学逻辑知识之不待经验与假设而成就者，更不能使前者同于后者之必然而确定。由是而数学逻辑之知识之根据毕竟何在，即成一严重之哲学问题。
第二节 数学逻辑知识之根据于客观存在事物性质之说
第一种数学逻辑之知识根据之理论，是从数学逻辑知识与其他经验事物之知识，皆同对客观之存在事物有效着眼，而以数学逻辑之知识中之根本观念，皆为客观事物之存在的性质之反映，或代表某种客观之存在者。而数学逻辑知识之根据，亦即在客观存在之自身。依此理论，人之所以有数学之知识，唯因客观事物本身有二三四等数。人之所以有几何学，唯因客观事物本身有方圆等形。如西方最早之数学家辟萨各拉斯对于形数之观念，即以每一形数，皆代表一客观存在事物之某种性质。如一代表事物之统一性，二代表事物之对偶性，四、九、方、表示正义等。而中国《易》学中对于数学之观念，亦以奇数代表宇宙之阳性，偶数代表宇宙之阴性。后来人之以河图洛书之数，代表宇宙之一种构造之图像，亦为类似之主张。
至于在逻辑中，则西方逻辑上之思想三律，照亚里士多德所说，亦为代表客观事物之普遍的共同性质者。如在亚里士多德之逻辑思想中，三律之意义如下：
同一律之意义为：对于同一之主辞，以一宾辞表之，即以一宾辞表之。
矛盾律之意义为：同一宾辞，不能同时在同一意义下，表一主辞，而又不表一主辞。
排中律之意义为：对于一主辞，或以一宾辞表之，或不以一宾辞表之，此外无其他可能 [67] 。
然亚氏论此三律之根据，则归于任一主辞所指之任一存在事物之性质，是为如何即如何，而非非如何等。
同一律矛盾律，在西方哲学史中最早之提出者，乃巴门尼德斯。彼以有是有，不是非有，即一同一律之提出。然此同一律即为一方在思想中，亦一方为宇宙之真实存在之律者。
此外西方之讲辩证逻辑者，远溯至赫雷克利泰，近至黑格尔与马克思恩格斯等，皆以思想之律，即存在事物之律，乃兼反映客观事物之存在之律者。
第三节 数学之观念知识根据于客观存在事物性质之说之疑难
上述此种理论，为一种数学逻辑之形上学理论。如从数学思想逻辑思想，为一种存在于人之思想看，则此思想既存在，即亦应有其存在之根据，而可在形上学中加以讨论。然在知识论中，则吾人之问题唯在问：吾人之如何有此数学逻辑之思想与知识。吾人似不能先设定，此思想与知识内容本身，皆为在思想知识外之存在事物之内容。而若其果兼为存在事物之内容，吾人尚须问：吾人如何知之？
于此，吾人若说数学逻辑之思想中之内容，皆存在事物之内容，吾人当先证明吾人之数学逻辑观念，皆由吾人对存在事物之观念而来，或数学逻辑中之语言，皆所以指示存在事物之性质或状态者。然事实上似明不如此。如方圆之观念，固可说由方圆之物而来，然柏拉图已指出：世间并无绝对方与绝对圆之物。而数学中则可有此绝对方与绝对圆之概念，可由其他之数学概念，加以规定者。又如世间之物固有数，吾人亦可将一物与一物之数，相加成一总数。如一加一成二。吾人固可说，一物有一之数，二物有二之数，此皆为属客观存在之外物者。吾人可说一为奇数，二为偶数，亦可说：凡能以二除尽之数，皆偶数，反之皆奇数。然吾人可否说奇数偶数之观念，亦为由客观存在之外物来?如有一物在此，则其中有一奇数；再一物在此，其中亦有一奇数。然将二物相加为二，则其中即有一偶数，而无奇数。然则最初之奇数何往?偶数又由何而来?如说物之自身中之奇数忽不在，则存在者如何能忽不在?如其在，则偶数岂能来于二奇数之中？是知奇偶之数之观念，不能说直由客观存在外物来。此亦为柏拉图所已提出之论点 [68] 。而柏拉图所归至之说，则以数之自身，乃在理念世界中自己存在者，而非依于通常所谓客观外物之存在而存在者。
此外吾人今可复试思，在几何学中有无厚薄之面，无宽窄之线，无长短之点，此类之物又岂能实际存在?
又吾人有可任意增大之数。如由十百千万至亿兆京垓以至无限，此岂皆有实际事物之数与之相应？实际事物之数，岂必为无限?又无论事物之数为有限或无限，吾人岂不可总事物之数而思之之后再加一数，以成一数?则谓数之观念皆由实际事物之数来，即不应理。
又吾人之数中有负数，是否负数乃负性之存在之数?世间能否有负性之存在?负性之存在岂能是存在?
此外吾人有分数，小数。此分数小数是否即与一物所能剖分成之分子原子电子之数相当者?一分数一小数，可再分以成更小之分数小数，以至无穷。岂每一小数分数，皆可同时分别各指一具定量之存在之物之量?存在之物，是否真成一由大至小至无穷小之串系?吾人又何由知其有此串系？则吾人岂能说每一小数分数，皆同时分别指一定量之存在事物?
又吾人以数指一存在事物时，恒是用以规定存在事物之量之多少。此量本身是否亦为一存在?而吾人以数规定量时，明可以不同之数，对同一之量作规定。如以十寸与一尺或十分之一丈，规定同一之量。此中之存在事物之量为一，而数为多。如数原于存在事物之量，则何以有多种数皆同可规定一量?
此外数中又有无理数。无理数之为数，乃不能实求得其数值之数。吾人如何有无理数之观念?此岂能是先由用无理数所表存在事物之量之计算而来?然一存在事物之量，可以无理数表之者，亦可以有理数表之；反之亦然。如一直角之二等边三角形，其二边各为二尺，则弦之量为八尺之平方根，而为无理数。然吾人如试将此三角形之弦之二分之一，定之为一尺，另造一种尺，则此弦为二尺，勾股之量皆成二尺之平方根，遂皆成一无理数所表之量。如无理数之观念，由存在之物之量来，则何以同一之量，可以无理数表之，又可不以无理数表之?
此外吾人尚有序数。如第一第二第三之数。对若干存在之物，吾人明可以不同之标准，以定其序数。吾人可说某甲之智慧第一，某乙之智慧第二。亦可说某乙之德性第一，某甲之德性第二。此序数岂皆由存在事物本身之性质所决定?吾人岂不亦可任意思想事物，而以先思想者为第一，次者为第二?此第一第二之分，与存在事物之性质又何关?
此外数学中尚有种种抽象复杂之数之观念，皆难说其直接由存在事物之量与性质抽撰而成，而亦无待于数学家对存在事物之新经验方能构成此种种之数之观念者。则谓此种种观念，皆由存在之事物之性质反映而来，更决难应理。
第四节 逻辑之观念知识根据于客观存在事物之性质之说之疑难
其次关于逻辑上之观念，说其为存在事物之普遍性质而来，亦难应理。
譬如依亚里士多德之说，同一律及矛盾律之根据应为一物之是什么者即是什么，而不能不是什么。
吾人试设此为逻辑上之同一律矛盾律之根据，则吾人当问：此中所谓“不能”与“是”“不是”，果何所指?是否存在事物中有“不能”或“是”“不是”，为一存在事物之性质?吾人说人不是犬，不是马，不是神，是否在人之存在中，同时有此无穷之“不是什么”亦存在于其中?吾人今可谓，人不是机器人。但在未造机器人之先，是否已有一人之“不是机器人”，已存在于人中：此岂不同于谓机器人未存在，而人之“不是机器人”已先存在。然此“机器人”既未存在，人之不是机器人如何能先已存在？则谓一物之“不是什么”本身，直接为一吾人所知之存在事物内部之性质，终为难于成立者。而是之为是，是否即直接为存在事物之性质亦难说。如吾人说此花是红，此红为花之性质。但吾人是否可说此“是红”本身亦为花之性质？若然，则花应先有“是红”之性质，然后乃有红之性质。然吾人如何说花有“是红”之性质?是否吾人当先说花是“是红”。若然，则在吾人未说花是“是红”之先，花又应先有“是是红”之性质。如有，则吾人又如何说其有“是是红”之性质?岂非又须说花是“是是红”……?如吾人之所说皆本于存在事物之性质，吾人势必谓花在有红之性质时，已有是红、是是红……等无限之性质之串系，同时客观存在着。然若非因吾人之原有可能说其是红、是是红……之思想语言之串系，吾人又岂能说其有无限之性质之串系之客观存在着?则吾人岂能说吾人之思想语言之串系，乃依于先已客观存在的无限之性质之串系?而谓吾人之思想语言之串系中之能说“是”，其根据唯在存在事物之性质?
复次，吾人在逻辑中之说“凡”all，说“有些”some，说“如果————则”if-then，说“或”or，说“与”and等，此一一之观念，岂皆有存在事物与之相对应?岂吾人一接触存在事物，即必能有此诸观念?若然，何以禽兽与人接触同一存在事物，而彼等皆不能说，“凡”与“有些”，“如果-则”等?
至吾人之可决定的证明此诸观念不能由所知之存在事物本身之存在状态而来，则在：吾人对同一堆之存在事物，可自由应用此诸观念及是或不是之观念于其上，而说出不同之命题。如当前之事物，为风吹皱一池春水，吾人明可依吾人以不同方式思维之，而说“凡风来水上，皆有波澜”或“有些池水，有风吹起波澜”，或“若果风静，则水将平静无波”，或“任凭风来或风去，同是一池春水”，或“风来又风去，波动再波平”，或“风来非风去，波动即非平”……种种命题，及由之推演出之种种命题。而此可能推演出之命题，即依一单纯之换质换位法，亦为一无穷之串系。如风来非风去，风去非风来。风来非非风来，风来是非非风来。风来非非非非风来……然在吾人当前存在之事物，实亦不过风吹皱一池春水之一事而已。此一事毕竟干卿底事，而可引出人之种种思想，在此思想中，应用种种逻辑之观念，以形成种种逻辑命题，此要非由此一事之存在本身决定，实为彰明较著之事。则吾人如何能说逻辑中之观念，皆直接反映存在事物之存在性，或直接代表客观存在事物之自身与其状态者。
第五节 数学逻辑之观念知识根据于经验之说
第二种数学逻辑之理论，为承认数学逻辑中种种复杂之观念与知识，并不直接表示客观存在事物之性质或状态，亦可无存在事物之性质或状态，直接与之相对应。但此说以一切知识观念，皆始于经验，一切具体之观念，皆由经验而来。至一切抽象之观念或概念，亦必根据由经验而来之具体观念，经层层之抽象而成。及其既成，虽若与原初之经验，渺不相涉，然探其最初之本源，仍在于经验，然后方可再应用于经验。此亦如万丈高楼，最初之必由地起，其最底层，乃直接于地上者。由是而此派论逻辑数学，遂从其最原始之观念与经验之关系处着眼。此即洛克、巴克莱、休谟、穆勒之经验主义之数学理论。
此理论并不以数学逻辑中之观念，皆反映客观存在事物。因吾人由对所谓客观存在事物之接触而得者，唯是种种具体之印象或观念。此中可并无数学与逻辑之观念。然则此类之观念何自来?答，由于对具体事物之印象观念之反省与抽象而来。
依洛克说，人初由反省所成之观念有“统一”与“继续”。如吾人直对某观念自身，加以反省，觉其为统一的，则产生“统一”之观念。如对若干观念之相续生起，加以反省，则有“继续”之观念。如吾人直对红之观念，加以反省，可有一统一之观念。对黄亦然；对任一声亦然。以及对复合之观念，如红而美丽之花，亦然。换言之，即吾人对任何观念加以反省，皆可生“统一”之观念。而此“统一”之观念，遂可自任何观念之内容中抽象而出，而为具普遍性之统一之观念，此统一之观念，即数之始之“一”之观念。吾人于是可以“一”之观念，指任何观念与任何引生观念之事物，或观念所指之事物。而一饮一啄，一颦一笑，一花一草，一家一国，皆是一。吾人对世界随意任划出一范围，皆是一。然此一之观念，则实唯在吾人之反省中，而初不在所反省之观念之自身，更不必在其所指之客观对象中也。
吾人有“一”之观念，再依于吾人之知何谓继续，便能将此一之观念，继续的加以重复。则由一，又一，对此“一又一”再加以反省，而视之若一，则成二。由此递展则成三，成四，成五。然无论由此以成何数后，吾人皆若可再加一，以再成一更大之数。而吾人于此“数皆有其更大数”再加反省，则知一切数之数为无限，而任一数亦可由不断加一，以大至无穷。于是有无限数无穷数之观念 [69] 。
顺上文之思路，吾人可引申洛克之意谓甲数大于乙数，则乙数小于甲数。其所小之数，则为负数。吾人又可由反省而知，任一物之形，皆有其部分，而各部分又皆可分。由此而吾人知任一物之为一，皆可分为多。可以一表之者，亦可分为二，而以二个二分之一表之。分者可再分，而有可无穷分下去之分数。由分数亦可以解释小数之所以成。如“○、一”即一之十分之一之数，“○、○一”即百分之一之数。又设一物之量可分为三部分，每部分又可分为三；则一物之量，可分为九部分。即三乘三，或三之三倍，而一物之量，可以倍数表之。
对于一量，我们可视为他量之几分之几，而以他量之分数，为此量之数，亦可以他量之倍数，为此量之数。故吾人可称一量为十倍一寸之十寸，或十分之一丈，或只称之为一尺。而此事之所以可能，唯因每一量皆为一定量。此定量可视为他量之一部分，亦可视为他量之诸部分所合成。至于一物之全体之量之可分成各部分，及所分成之各部分之和之等于全体之量，则为吾人可由反省“全体之量”与“分成之各部分”二者之契合而可知者。
依此对经验之反省，吾人知经验事物之有数量，而亦有形。吾人将物之形体，自其色抽离，便成一几何形体。将体上之面，自体抽离，则成几何之面。将面上之线，自面抽离则成线。将线上之点，自线抽离，则成点。而几何学之基本观念以成。
至于几何学上之公理，如等量加等量其和相等，等量减等量其差相等……，则皆可诉诸对于形量之部分全体之关系之经验之直觉。
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