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由是而数学几何学之观念，即皆可依经验之反省与抽象而说明。
至于逻辑上之思想律，则依此派所说，其根据乃在观念与观念间之同异关系之直觉。如同一律A是A，即谓一观念与其自身之同一，及与其相同者之同一。矛盾律即谓一观念与其相异者之不同一。排中律即谓一观念与另一观念非同即异，另无第三可能。而此诸律之所以为真，唯因吾人确可由经验直觉，以知红之同于红，而异于非红之黄绿。亦可由经验以知，一物之色，如不异于红，即同于红，不同于红即异于红。此中无一例外。又对一切经验事物，吾人亦皆可发现其相互之同异关系，而思想律即成一普遍必然之律则。而穆勒之论数学、几何学真理之为普遍必然，亦从其对一切经验而皆真上立论。此亦前所提及 [70] 。
第六节 经验主义之数学逻辑理论之批评及康德之数学逻辑理论
对于上述一派之数学逻辑之理论，如纯自数学逻辑之心理之起源上看，亦大体上，未始不可说，并有亲切易解之长。但此中有数大问题。一者吾人纵承认数学之观念，皆由反省抽象而成，吾人仍可问：如人最初之感觉经验中，原无数学之观念存在，又人之反省抽象之能力之本身，亦原为一空无所有之一反省抽象之能力；何以一接触经验事物，则有数学观念之生出？人之反省抽象能力，要必有其运用之方式，此方式，岂能不存在于此反省抽象之能力之内部?如吾人说，由反省吾人之观念，而生出统一与继续之观念，则吾人可问：此统一与继续之观念，毕竟是由反省而出，或为吾人反省进行之方式?假若吾人之反省活动本身非统一的，吾人是否能反省出统一之观念?如吾人不继续反省，吾人是否能反省出继续之观念?则此统一继续之观念，初应为吾人反省之方式，而非反省一般由感觉经验来之观念所产生。而如其为反省之方式，则应为随反省而俱现，初亦内在于吾人之反省之“能”之中者。
此外，吾人即假定由此统一之观念，所成之“一”之递加，即可构成数之串系之说为真；吾人之如是如是以由一再至一，而综合之以成二等，之思想活动中，又岂能不依一定之思想方式进行?由此以推，则吾人之每一数学观念之出现，数学知识之形成，皆应由吾人之依一定思想方式，以思想以前所成之观念，而后可能。而此诸思想方式，方为诸数学观念，得以出现之真正根据，真正起源，而不必以一初无内容之反省抽象之活动与感觉经验来之观念接触，为各种数学观念之起源也。
其次，吾人如以一切数学几何学之观念，皆由经验之反省抽象而来，则其所以还可应用于经验之理由，似易得一说明。因吾人所谓经验，可只指已成经验。吾人所谓反省抽象，乃对已成经验而反省抽象。由对已成经验之反省抽象而来者，对已成经验必真，即不成问题。而在已成之一切经验中，已证其为普遍之真者，对已成之一切经验必然为真，亦不成问题。则穆勒之谓数学知识，因其从未为经验所否定，故为对已成经验已证为普遍的真，必然的真者，亦不成问题。然吾人于此可问：由已成经验所反省抽象而出者，如何能应用至一切尚未有之经验，或一切可能经验，而对之亦普遍必然的真？此便仍成为一问题。然吾人却似明可先绝对的确定：数学逻辑之知识，对一切未来之可能经验皆为普遍必然的真，而与一般由经验而得之知识，吾人之不能绝对的确定其对未来可能经验为真者不同。
吾人之此二种批评，即导出康德哲学中之数学逻辑理论者。
依康德之哲学，吾人论任何种抽象之观念知识之产生，吾人皆须溯源于吾人之思想活动，认识活动之方式。而一切知识论之最大问题，则在说明可应用于一切可能经验之先验知识如何可能。而数学几何学知识，实即各为先验知识之一种。
依康德说，吾人之知识命题 [71] 有三种。一为先验之分析命题，如物体是有广延的。此种命题中之宾辞之意义，可直接由主辞中分析而出。而吾人肯定主辞，即不能否定宾辞。如否定之，则陷于自相矛盾。故此命题为必真，亦非待经验而真，并非经验可加以否证以使之成不真者。此之谓先验之分析命题。二为经验之综合命题，如物体有重量。此种命题之宾辞之意义，不能直接自主辞中分析而出。而吾人如肯定主辞而否定宾辞，并不陷于自相矛盾。如一梦中之物体，即可无重量。经验的综合命题之所以为真，唯因吾人所经验者之如是如是。如经验中之所见之物体，在被提举时，吾人确感一重量。故此命题、待经验而真。而一朝经验中之物体变为无重量，此命题亦即成为不真者。而此成为不真之可能，乃吾人所可在事先，加以承认者。第三者为先验的综合命题。此种命题之真，非可只由分析此命题中之主辞之意义而得者。在此种命题中，宾辞之加于主辞，乃对主辞之意义，有所增益。但其真又不待经验而真，而为一切经验所不能加以否证，并对一切已成经验可能经验皆真者。此如各种数学几何学之命题，及其他之先验综合命题。
数学中之命题如“‘七加五’等于十二”，“‘三角形三角之和’等于二直角”之二命题中之宾辞，皆不能自主辞中分析而出。吾人之说七加五等于十二时，此“等于十二”之宾辞，对“七加五”之主辞之意义，有一增益，使吾人对“七加五”有一新了解，故为一综合命题。然此命题之真，非只对已成已有之经验为真，而是对一切可能经验皆真，故为先验命题。三角形三角之和等于二直角亦然。
康德知识论之中心问题，则为问：此种先验的综合命题，如何可能?即其成立依于何处?至其对数学与几何学之先验综合命题之所以可能之讨论，则在其时空与数学几何学之关系之理论。
依康德说，一切可能经验事物，皆在时空之格局（即范畴)下被经验。而时空即为感觉认识之方式，乃内在而非外在，为感觉经验可能之先验条件，而非感觉之所对。几何学之知识，乃关于依空间而起之形相之知识。数学中之知识，乃关于依时间而起之数之知识。数学几何学之知识，所以能普遍有效于一切经验事物，即因一切经验事物，皆在先验之时空之格局下，而数学几何学知识，则正为依此格局而成立之知识。
康德何以说时间空间为经验事物之先验条件，而不说时空之观念，由经验而来?此简单言之，即为吾人对事物之经验，皆必须被安排于一整个之时空之格局中，而在时空有一地位；然时空之本身，则非被经验之事物，而只为吾人之超越之统觉之所摄。吾人之统觉，能统摄一切无定限之向东西南北上下伸展之空间，亦能统摄无定限的由过去伸展至现在，以达未来之时间，以形成一囊括经验世界事物之时空大格局。然吾人不能视此格局为一已成之所对，或外在之对象。亦不能离此格局，而对事物有经验。吾人乃必须凭此大格局中之不同时间不同空间，以分别安排所经验之事物，故此格局，为经验之先验条件，而只为吾人之超越之统觉所摄。
依康德此说，则所谓几何学所研究之形相与关系无他，即此整个之空间中各种界划所成之图形与其关系。而吾人亦不难依吾人之想象，以想象此面前之虚空中，此处有一三角形，彼处有一圆形，并或想象一方形在圆形中，而对之求有种种之知识。吾人此圆形三角形之知识，亦即对表现圆与方形之事物之几何学的知识。在表现圆与方形之事未出现之先，吾人对此圆与方之知识，明可先有。此先有之知识，亦必将对一切表现圆或方之事物皆有效。因此知识，乃只涉及事物所表现之圆或方，而不涉及事物之其他方面者，则事物之其他方面，无论为何，皆与此知识为不相干，对之亦无加以证实或否证之效。而此事物所表现之圆与方，亦只是此知识中之圆与方。故此知识，可成为对方圆之物之方圆之先验知识也。
至于对数学之知识，则康德以为吾人之所以有数之观念，不能只源于经验事物。因经验事物之现象，乃各各差异者。而数之为数，乃由同质之单位构成者。而吾人在用数以规定一事物之量时，吾人所着重者即不在事物之性质。如三尺布，三尺草，三尺木中之布、草、木之经验性质之不同，吾人对之之印象观念之不同，皆与此中之三尺之三之观念，所由产生不相干。依此，洛克之由对印象观念自身之反省，以成就数之单位之“一”之说，遂可不用。而数之观念所由生，则要在相继之计数之活动。此相继之计数活动，不只是将一与一加以堆积，以成一本身为客观对象之二三之数，如洛克之说；而要在依于次第之综合的前进之思维历程，以成一属于主观之心，而可应用于经验事物之数。此思维历程之所凭，既非经验事物或其印象观念之统一性之一，则其所凭为何?康德则谓之一般性的齐同的直觉Homogeneous Intuition。再由此思维历程，将此齐同的直觉，次第加以综合所成之诸统一，即为一一之数。
康德之此种理论之重要点，在将人之一一印象观念，纳之于时间之系列中。吾人在每一时间，直觉一印象观念，（康德名表象)实即通过对时间之直觉，以直觉一印象观念。然今吾人试将一时间中所直觉之印象之内容，置之不顾，则唯留下时间之直觉。吾人在不同时间，固有不同之印象。然吾人皆可将其内容，一一弃置。则吾人此时便只有诸齐同的时间之直觉，每一直觉可为一单位。而吾将此诸单位，次第加以综合，而再统一之，则成数矣。
康德依时间之直觉以言数之理论，其特殊价值，一方在时间之直觉本为可分为齐同之单位者，一方在时间具前进不回之性质。吾人依时间以计数，亦即一方求为将其所分成之单位，皆加以把握，一方亦自具前进不回之性质。吾人之计数之思维，若非前进不回，并将其所计过之各单位，皆加以把握；则吾人可旋计旋忘，永止于一；亦尽可前进后又折回，重复计已计之数，而永不能止于一定之数。然吾人依于时间之可分为单位，及其具前进不回之性质，以次第计数，则可无此问题。而依洛克之理论，只就各单位之综合以言数，则盖难保证其综合之事，不来往重复，而物之数，如何能加以确定，即可成一问题。
康德依时间之直觉言数，而吾人对事物之一切可能之经验，又皆在时间历程中，在时间之直觉中，同时被直觉；故依时间之直觉而生之数，与对此数之知识，亦皆可应用于可能经验之事物。由此而可说明数学之所以能对一切可能经验事物皆为真之故。而吾人所以于未来之可能经验之事物，皆知其必有数，且知吾人今之数学，亦必对之应用而有效者；亦唯以吾人今已知：任何可能经验之事物，当其在次第之时间单位中被经验时，此一一时间单位之直觉，乃吾人所必能加以综合以成数者。而此数，亦即此可能经验事物必能有之数也。
第七节 康德理论之批评
康德之数学理论，其中心问题，在数学之何以能应用于可能经验之感觉事物，其说自有一匠心。但以时间之直觉释数之起源，至多只能及于常识中用以计事物之数。因在常识中，吾人对事物是在时间单位中加以直觉，故可以此时间单位之直觉之综合，以说明数之产生。然此能综合时间之单位，而计之之活动，其本身必不只为直觉；亦必为在诸时间单位之上，施行其综合之事者。于此吾人即可问：此计数之活动，即此在时间单位之上，逐步施行综合之事之活动，是否亦在时间中?如亦在时间中，则对其所经时间之单位，应再可计其数。而此计其数之综合的活动，仍应又在此诸时间之单位之上。然无论如何，在计数时，吾人自身之综合活动之步骤之数，要不能在此综合活动之一一步骤未存在之先，已先存在，而当是依此综合活动之一一步骤已存在之后而有者。则此数，便应为由此综合之活动自己所诞生，而初不依于对经验事物之直觉以起者。此为纯依康德之思路设想所应有之一问题。
复次，康德所谓由次第综合所成之数，实唯由加一所成之加数。加数既成，再去其所加，则成减数，此皆可说。然依此说，如何讲乘除之数?如今有二数相乘，吾人若欲对其乘积之数，依直觉一一加以印证，并与一系列之时间单位相配合，便只能在乘积之数既得之后。今吾人可问：在乘积未得之前，二数相乘毕竟是数非数?如说非数，则与一般之数学观念相违；如说是数，则此时并无直觉加以印证，亦未与时间单位相配合，则依康德义，如何可说是数?此中势须于数之定义，另换说法。于乘数之反面之除数亦然。此外对于可无定限的分解整数所成之分数小数，及无定限的以数相乘所成之倍数积数，平方数，及其他，如无理数、无限数、级数等，皆同难一一以康德所谓直觉，加以印证，并难与时间之系列中之单位相对应配合而论者。
其次，康德之几何学理论，乃以欧克里得之几何为唯一之几何；然康德以后，事实上已有二类非欧克里得之几何学。此三种几何学，对于直线平行线之基本假设，彼此相异，如三者皆同为对实际空间中之形相关系之理论，势必其中只有一为真。然依纯几何学观点，吾人并不以其任一之本身为假，而可各为一种几何学。则其所以皆可成为几何学之故，即不可说在其为研究实际空间中之形相之关系，而当别有所在。
再其次，康德说数学与几何学之命题，是先验必然的综合命题。所谓数学几何学知识为必然，可有二种意义。一是数学几何学知识之本身之必真而不能为假，有如对一主辞以一宾辞表之者，则不能不以一宾辞表之。例如对七加五只能说是十二，不能说是非十二，此是一义。二数学几何学之知识，必能应用于一切可能经验。例如七加五等于十二，不仅可应用于当前之事物，且必可应用于未经验而可能经验之事物。康德心中之主要问题，乃后者，故以时间空间为数学几何学知识之应用于可能经验之事物之媒介。而对此问题之解答，亦在其关于时空之理论。然吾人将应用于经验之问题撇开，而惟着眼于一一数学几何学知识本身之必然性由何而来，则其时空之理论，即可对数学几何学为多余。而彼纵能以此理论，保证数学几何学知识，必可应用于一切经验事物，数学几何学知识本身之必然性，仍有待说明。如七加五何以必等于十二，而不等于十一，此毕竟如何说明?仍为一未决之问题。
至于对逻辑之理论，则康德之说是于一般形式逻辑之外，另立超越逻辑之名，以为形式逻辑之概念之知识论基础，并说明人之先验范畴所以可应用于经验事物之认识之故。依其超越逻辑论，形式逻辑中之概念与命题，皆依于吾人之认识理解经验事物之有不同的先验方式或先验范畴而有。如依“统一”之范畴，以看事物，则构成“凡”之概念，全称之命题。依“杂多”之范畴，以看事物，则将事物分为各部，而构成“有些”之概念，特称之命题。依“实有性”之范畴以看事物，则有说事物“是”什么之肯定命题……。依“虚无性”之范畴，以看事物，则有说事物“非”什么之否定命题等。缘此而成其十二范畴之论，以为十二种形式逻辑命题之知识论上的超越根据。而此十二范畴，则一方与时间之图型Schema可相应，以便吾人之透过时间以看经验事物，形成经验知识之原则者，一方又统于人之超越统觉者。故康德此说，与洛克之以逻辑之基本规律，依于观念间之同异关系，及亚氏之以逻辑规律兼为普遍的存在事物之规律之说，皆截然不同。而为将逻辑之基础，纯建立于吾人之认识事物之主体之说。
然吾人如只遵循康德之将形式逻辑之概念，由超越逻辑加以说明，以形式逻辑之概念命题，皆由吾人之理解经验事物之先验的方式中，导引而出之说；吾人却不易说明，无知识论意义之纯粹逻辑命题，如当代逻辑家所论者，所以产生。又吾人在讨论超越逻辑时，吾人思维此超越逻辑之思维之本身，亦明须运用到或展示出种种形式逻辑之概念，如吾人说“统一之范畴‘非’杂多之范畴”，“先验范畴皆‘是’可应用于经验世界”等语句之本身，即直接连用到或展示出种种逻辑概念，如肯定之“是”否定之“非”等。然吾人于此却可不说此诸概念，亦只是由吾人认识经验世界时之实有性虚无性之先验范畴等导引而出。因此处之逻辑概念，乃可用以论谓所谓先验范畴之本身者，亦即可超越于康德所谓知识论意义之先验范畴之本身之上者。由是而康德之以超越逻辑为形式逻辑之根据之说，亦不必能成立。