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————历算学及其他科学 乐曲学
十 历算学及其他科学
历算学在清学界占极重要位置，不容予不说明。然吾属稿至此乃极惶悚极忸怩，盖吾于此学绝无所知，万不敢强作解事，而本书体例，又不许我自藏其拙。吾惟竭吾才以求尽吾介绍之责。吾深知其必无当也，吾望世之通此学者不以我为不可教，切切实实指斥其漏阙谬误之点，俾他日得以校改自赎云尔。
历算学在中国发达盖甚早。六朝唐以来，学校以之课士，科举以之取士；学者于其理与法，殆童而习焉。宋元两朝名家辈出，斯学称盛。明代，心宗与文士交哄，凡百实学，悉见鄙夷，及其末叶，始生反动。入清，则学尚专门，万流骈进，历算一科，旧学新知，迭相摩荡，其所树立乃斐然矣。计自明末迄清末，斯学演进，略分五期。
第一期 明万历中叶迄清顺治初叶约三十年间，耶稣会士赍欧洲新法东来，中国少数学者以极恳挚极虚心的态度欢迎之，极忠实以从事翻译。同时旧派反抗颇烈，新派以不屈不挠之精神战胜之。其代表人物则为李凉庵之藻、徐元扈光启等。
第二期 清顺治中叶迄乾隆初叶约八十年间，将所输入之新法尽量消化，彻底理会；更进一步，融会贯通之，以求本国斯学之独立。其代表人物为王寅旭锡阐、梅定九文鼎等。
第三期 乾隆中叶以后迄嘉庆末约三四十年间，因求学问独立之结果，许多重要古算书皆复活，好古有识之学者，为之悉心整理校注。其代表人物则戴东原震、钱竹汀大昕、焦里堂循等。
第四期 嘉庆、道光、咸丰三朝约四五十年间，因古算书整理就绪之结果，引起许多创造发明，完成学问独立之业。其代表人物则汪孝婴莱、李四香锐、董方立祐诚、罗茗香士琳等。
第五期 同治初迄光绪中叶约三十年间，近代新法再输入，忠实翻译之业不让晚明。其代表人物为李壬叔善兰、华若汀蘅芳等。
第六期 光绪末迄今日，以过去历史推之，应为第二次消化会通发展独立之期。然而……？！
今吾将略述前五期之史迹。惟有一语先须声明者，历与算本相倚也，而三百年来斯学之兴，则假涂于历而归宿于算。故吾所论述，在前两期历算并重，后三期则详算而略历焉。
晚明因天官失职，多年沿用之大统历，屡发见测算上之舛误，至万历末而朱载堉、邢云路先后抗言改历之必要。我国向以观象授时为国之大政，故朱、邢之论忽惹起朝野注意，历议大喧哄，而间接博得西欧科学之输入。
初，欧洲自“宗教革命”告成之后，罗马旧教团中一部分人为挽回颓势起见，发生自觉，于是有耶稣会之创设。会士皆当时科学知识最丰富之人，而其手段在发展势力于欧洲以外。于是利玛窦、庞迪我、熊三拔……等先后来华，实为明万历天启时。中国人从之游且崇信其学者颇多，而李凉庵、徐元扈为称首。及改历议起，有周子愚者方为“五官正”钦天监属官，上书请召庞、熊等译西籍。万历四十年前后，凉庵与邢云路同以修历被征至京师。云路以己意损益古法，而凉庵专宗西术，新旧之争自此。崇祯二年，凉庵与元扈同拜督修新法之命。越二年，凉庵卒。又二年，元扈亦以病辞，荐李长德天经自代。天经一遵成规，矻矻事翻译，十年如一日，有名之《崇祯历书》百二十六卷，半由元扈手订，半由长德续成也。凉庵、元扈深知历学当以算学为基础，当未总历事以前，已先译算书。元扈首译欧几里得之《几何原本》六卷，欧人名著之入中国，此其第一。《几何原本》之成书，在元扈任历事前二十三年自序谓“由显入微，从疑得信，盖不用为用，众用所基，真可谓万象之形囿，百家之学海。”盖承认欧人学问之有价值，实自兹始也。元扈又自为《句股义》一卷。凉庵亦以半著半译的体裁，为《同文算指》十卷，《圜容较义》一卷。以上诸书，皆为当时言西算者所宗。
元扈总历事时，反对蜂起，最著者为魏文魁、冷守忠。元扈与李长德先后痛驳之，其焰始衰。《崇祯新历》经十余年制器实测之结果，泐为定本，将次颁行，而遭甲申之变，遂阁置。入清，以欧人汤若望掌钦天监，始因晚明已成之业而颁之。顺康之交，尚有杨光先者，纯狭排外的意气诋諆新法，著一书名曰《不得已书》，其后卒取汤若望之位而代之，旋以推步失实黜革，自是哄议始息矣。
元扈于崇祯四年上疏曰：“欲求起胜，必须会通；会通之前，先须繙译。……繙译既有端绪，然后令深知法意者，参详考定……”《明史》本传当时研究此学之步骤如此。元扈既逝，旋遭丧乱，未能依原定计划进行。王寅旭引此疏而论之曰：……文定元扈谥之意，“原欲因西法(以)求进也。文定既逝，继其事者案指李天经等仅能终翻译之绪，未遑及会通之法，(甚)至矜其师说，齮龁异己。……今西法盛行，向之异议者，亦诎而不复争矣。然以西法有验于今，可也。如谓(为)不易之法，无事求进，不可也。……”《历说一》盖李、徐之业，得半而止，未逮其志。所谓“会通以求超胜”，盖有俟于后起，而毅然以此自任者，则王寅旭、梅定九其人也。
阮芸台著《畴人传》，清儒之部，以王、梅为冠首，且论之曰：“王氏精而核，梅氏博而大，各造其极，难可轩轾”。谅哉言矣！寅旭自幼嗜测天，晴霁之夜，辄登屋卧鸱吻间，仰察星象，竟夕不寐；每遇日月蚀，辄以新旧诸法所推时日秒刻所蚀多寡实测之，数十年未尝一次放过。结果乃自为《晓庵新法》六卷，其自序既力斥魏文魁、陈壤、冷守忠辈之专己守残，推奖利、徐新法，然又谓西法有不知法意者五，当辨者十。其书则“会通若干事，考正若干事，表明若干事，增葺若干事”。其论治学方法谓：“……当顺天以求合，不当为合以验天。法所以差，固必有致差之故；法所吻合，犹恐有偶合之嫌。”《历策》又云：“其合其违，虽可预信，而分秒远近之细”，必屡经实测而后得知，“合则审其偶合与确合，违则求其理违与数违，不敢苟焉以自欺而已”。《推步交朔序》又云：“……学之愈久而愈知其不及，入之弥深而弥知其难穷。……若仅能握觚而即以创法自命，师心任目，撰为卤莽之术以测天，约略一合，傲然自足，胸无古人，其庸妄不学未尝艰苦可知矣。”《测日小记序》读此可知寅旭之学，其趋重客观的考察为何如，又可知此派历算学，其影响于清代学风者为何如也。
定九年辈，稍后寅旭，而其学最渊博，其传亦最光大。所著《勿庵历算全书》，分四大部：法原部八种，法数部一种，历学部十五种，算学部六种，都凡三十种七十五卷。此外关于研究古历法之书尚十三种八十七卷。其书内容价值，非吾所敢妄评。顾吾以为定九对于斯学之贡献，最少亦有如下数点：
一历学脱离占验迷信而超然独立于真正科学基础之上，自利、徐始启其绪，至定九乃确定。
二历学之历史的研究————对于诸法为纯客观的比较批评，自定九始。
三知历学非单纯的技术而必须以数学为基础，将明末学者学历之兴味移到学算方面，自定九始。
四因治西算而印证以古籍，知吾国亦有固有之算学，因极力提倡以求学问之独立，黄梨洲首倡此论，定九与彼不谋而合。
五其所著述，除发表自己创见外，更取前人艰深之学理，演为平易浅近之小册，以力求斯学之普及。此事为大学者之所难能，而定九优为之。
王、梅流风所被，学者云起，江苏则有潘次耕耒、陈泗源厚耀、惠天牧士奇、孙滋九兰、顾震沧栋高、庄元仲亨阳、顾君源长发、屠莼洲文漪、丁维烈等；安徽则有方位伯中通、浦选正珠父子、江慎修永、余晋斋熙，及定九之弟和仲文鼐，尔素文鼏，定九之孙玉汝瑴成等。浙江则有徐圃臣发、吴任臣志伊，龚武仕士燕、陈言扬讦、王宋贤元启等；江西则有揭子宣暄、毛心易乾乾等；湖北则有刘允恭湘煃等；河南则有孔林宗兴泰、杜端甫知耕等；山东则有薛仪甫凤祚等；福建则有李晋卿光地、耜卿光坡兄弟等。其学风大率宗王梅。而清圣祖亦笃嗜此学，其御定《历象考成》、御制《数理精蕴》，裒然巨帙，为斯学增重，则陈泗源、李晋卿等参与最多云。
黄梨洲年辈略先于王、梅，然既以历学闻，有著述数种。梨洲亦信服利、徐新法之一人，然谓此法乃我国所固有。尝曰“周公、商高之术，中原失传而被篡于西人，试按其言以求之，汶阳之田可归也”。其言虽不脱自大之习，然唤起国人之自觉心亦不少。王、梅所企之“会通以求超胜”，其动机半亦由此。而清圣祖以西人借根方授梅玉汝，告以西人名此书为《阿尔热八达》，译言《东来法》，命玉汝推其所自，玉汝因考订为出于“天元一”。自是学者益知我国固有之算学，未可轻视矣。虽然大算学书散佚殆尽，其存者亦传刻讹漏不可卒读，无以为研究之资。其搜辑整理之，则在四库馆开馆之后，而董其役者实为戴东原。
东原受学于江慎修，而尤服膺其历算。慎修笃信西法，往往并其短而护之，东原亦时所不免。看钱竹汀与东原论岁实书自其中年，即已成《原象》《历问》《历古考》《策算》《勾股割圜记》等书，为斯学极有价值之作品。及入四库馆，则子部天文算学类之提要，殆全出其手，而用力最勤者，则在辑校下列各种算书：
一 《周髀算经》。汉赵爽注，北周甄鸾重述，唐李淳风释。此书旧有《津逮秘书》刻本，然讹脱甚多，东原据《永乐大典》详校，补脱字百四十七，正误字百十三，删衍字十八，补图二，自是此书始可读
二 《九章算术》。晋刘徽注，唐李淳风释，宋李籍音义。此书明时已佚，东原从《永乐大典》辑成九卷。此书后经李云门(潢)作《细草图说》九卷，东原所谓舛错不可通者，一一疏解之
三 《孙子算经》。不著撰人名氏。旧有甄鸾、李淳风注，皆亡。东原从《大典》中辑出正文
四 《海岛算经》。晋刘徽撰，唐李淳风注，久佚。从《大典》辑出
五 《五曹算经》。不著撰人名氏，刻本久佚，汲古阁有影钞宋本，讹舛不能成读。旧有甄鸾、韩延、李淳风诸家注，已不见，惟经文散在《大典》各条下。东原补缀钩稽，辑为五卷，极费苦心
六 《五经算术》。北周甄鸾撰，唐李淳风注。此书久无传本，惟散见《大典》中，割裂失次。东原循其义例，以各经之叙推之，辑成完书
七 《夏侯阳算经》。著者时代无考，旧有甄鸾、韩延注。传本久佚，惟《大典》有之，然割裂分附《九章算术》之下，紊其端绪。幸原书目尚符。东原悉心寻绎排比，还有旧观，为三卷十二门。
八 《张邱建算经》。著者年代无考。甄、李注及刘孝孙细草。此书旧有汲古阁影抄宋椠，然讹舛不少。东原校正之，及为补五图，盖原书所无，而其理非图不明也
九 《辑古算经》。唐王孝通撰并自注。旧尚有李淳风注，已佚。此书亦毛氏藏本，东原校订，附加图说。此书后经李云门作考注，以九章释之；张古余作细草，以天元释之；皆多发明
十 《数术记遗》。旧题汉徐岳撰，周甄鸾注。东原亦校订之，但辨为唐以后伪书
以上所列，不过校勘几部旧书，宜若与学界大势无甚关系。虽然，此诸书者久已埋没尘壒中，学者几不复知吾国自有此学。即有志研究者，亦几译书外无所凭借。自戴校诸书既成，官局以聚珍版印行，而曲阜孔氏复汇刻为《算经十书》，其移易国人观听者甚大。善夫阮文达之言曰：“九数为六艺之一，古之小学也。……后世言数者，或杂以太一、三式、占候、卦气之说，由是儒林实学，下与方技同科，是可慨也！(戴)庶常……网罗算氏，缀辑遗经，以绍前哲，用遗来学。盖自有戴氏，天下学者，乃不敢轻言算数，而其道始尊。然则戴氏之功，又岂在宣城(梅氏)下哉！”《畴人传》四十二读阮氏此论，可以知戴氏在斯学之位置矣。
东原虽遍校古算经，然其自著历算书，则仍宗西法。其专以提倡中法闻者，则推钱竹汀。竹汀著《元史朔闰表》《三统木衍》《算经答问》等书，罗茗香推之甚至，谓宣城犹逊彼一筹。《续畴人传》四十九其言或稍过。虽然，自戴、钱二君以经学大师笃嗜历算，乾嘉以降，历算遂成经生副业，而专门算家，亦随之而出，其影响岂不巨哉！
前所列戴校《算经十书》皆唐代用以课士者。然数学实至宋元而极盛，其最有价值之著述则为下列三家四种：
一宋秦道古九韶《数学九章》十八卷。
二元李仁卿治《测圆海镜》附细草十二卷、《益古演段》三卷。
三元朱汉卿世杰《四元玉鉴》三卷。
秦李两家所创为两派之“立天元一术”。朱氏所创为“四元术”。天元、四元两术，则嘉道以后学者所殚精竭虑，阶是以求超胜于西人者也。四书中惟《测圆海镜》旧有传本，而已逸其细草，余三书则皆久佚。东原在四库馆，从《永乐大典》中辑录《九章》《演段》，及《海镜》之细草，三书始稍具面目，然精心雠校，实所未遑，故研习犹不易焉。东原校《海镜》，多臆删误解。尹菊圃(锡瓒)曾指斥之《数学九章》，自钱竹汀极力提倡，秦敦夫恩复刻之，而顾千里广圻为之详校，其后沈侠侯钦裴及其弟子宋冕之景昌复据顾本精校，订正讹舛数十处，为之《札记》。自是道古之书始可读。《海镜》及《演段》，鲍渌饮廷博刻之，而李四香锐为之详校，自是仁卿之书始可读。独《四元玉鉴》《四库》既不著录，阮文达作《畴人传》时且未之见。以传中无朱世杰知之文达晚乃得其抄本，传抄寄四香。四香大喜，为作细草，未就而没。文达恫之，曰：“李君细草不成，遂无能读是书者矣。”《揅经室集》李锐传道光中，罗茗香始为精校，并补作细草，自是汉卿之书亦人人可读，与秦李书等。此四书校注之业，其影响于后此算学之发展，视戴校诸书为尤巨。大抵天元学即秦李学大显于嘉庆中叶，而四元学即朱学复活于道光之初。二学明而中国算学独立之利器具矣。
乾嘉以后治算之人约可分三类：
第一类，台官。台官者，奉职于钦天监者也。历代台官，率多下驷，然台中资料多，仪器备，苟得其人，则发明亦较易为力。乾隆中则有监正明静庵安图，蒙古人。创“割圆密率捷法”，举世宗之。详下其弟子夏官正官名张良亭肱最能传其学。同时，监副博绘亭启，满洲人，能解名股形中所容方边、圆径、垂线三事，创法六十。道光初，监正方慎葊履亨亦绩学有著述。同时博士钦天监博士陈静葊杰最精比例，著《算法大成》二十卷，最便初学。
第二类，经师。经师者，初非欲以算学名家，因治经或治史有待于学算，因以算为其副业者也。此派起于黄梨洲、惠天牧，而盛于钱竹汀、戴东原，其稍后则焦里堂、阮芸台。若顾震沧、程易畴、凌次仲、孔巽轩、钱溉亭、许周生、姚秋农、程春海、李申耆、俞理初……辈皆其人也。自余考证家，殆无一人不有算学上常识，殆一时风尚然矣。此辈经生————除戴、焦、孔外————大率藉算以解经史，于算学本身无甚发明。虽然，后此斯学大家，多出诸经师之门，如李尚之之学于竹汀，罗茗香之学于芸台，其最著者也。
第三类，专门算学家。专门算学家，自王、梅以后，中绝者垂百年，至嘉庆间始复活，道咸间乃极盛。复活初期之主要人物，则江都焦里堂、元和李四香、歙汪孝婴莱也，时号为“谈天三友”。三人始终共学，有所得则相告语，有所疑则相诘难，而其公共得力之处，则在读秦、李书而知“立天元一”为算家至精之术。四香校释《测圆海镜》《益古演段》，为仁卿之学拨开云雾；又与里堂几度讨论，知秦道古之《九章》为“大衍求一”中之又一派“天元”，秦书价值亦大明。里堂著《天元一释》《开方通释》等书，最能以浅显之文阐天元奥旨。孝婴则姿性英锐，最喜攻坚，必古人所未言者乃言之。三人中，焦尚经师副业，而汪、李则专家也。焦之评汪、李曰：“尚之四香善言古人所已言，而阐发得其真；孝婴善言古人所未言，而引申得其间。”两家学风可见矣。学风异而能合作，故于斯学贡献特多焉。而阳城张古余敦仁，上元谈阶平泰皆四香学友，于“天元”有所发明，四香弟子顺德黎见山应南尽传其师之学，且续成其书；里堂子虎玉廷琥亦治《演段》，能名家，嘉庆间专门家最著者，略如此。
道光初叶，秀水朱云陆鸿、阳湖董方立祐诚在京师以算学相友善。方立最绝特，所发明“割圜连比例率”，实斯界不刊之作见下，惜早夭未能尽其才。而甘泉罗茗香士琳、乌程徐君青有壬，仁和项梅侣名达皆老寿，道咸间称祭酒焉。茗香为阮芸台弟子，早岁已通天元，中岁得《四元玉鉴》，嗜之如性命，竭十二年之力，为之校，为之注，为之演细草二十四卷，复与同县学友易蓉湖之瀚为之释例。四元复见天日，自茗香始也。后此李壬叔译代数之书，始知“四元”即我国之代数，而其秘实启自茗香。君青缒幽凿险，学风酷似汪孝婴、董方立，发明“测圜密率”、“椭圜求周术”、“对数表简法”等见下；亦尝为《四元》步细草，闻茗香治此乃中辍。梅侣与黎见山游，因接李四香之绪，著述甚富，今传者仅《句股六术》一编。尝曰：“守中西成法，搬衍较量，畴人子弟优为之。所贵学数者，谓能推见本原，融会以通其变，竟古人未竟之绪，而发古人未发之藏耳”。晚年每谓古法无所用，不甚涉猎，而专意于平弧三角云。后此算家力求向上一步以从事发明，得梅侣暗示之力为多。三君之外，则元和沈侠侯钦裴之校《九章》，乌程陈静葊杰之为《缉古细草》，皆能有所树立者。
道光末迄咸、同之交，则钱塘戴鄂士煦、钱塘夏紫笙鸾翔、南海邹特夫伯奇、海宁李壬叔善兰，为斯学重镇。鄂士学早成，年辈稍后于罗茗香、项梅侣。罗项折节以为忘年交。所著《求表捷术》，英人艾约瑟译之，刊英伦算学公会杂志，彼都学者叹为绝业。我国近人著述之有欧译，自戴书始也。紫笙为梅侣高弟，尽传其学。特夫崛起岭峤，而精锐无前，又善制器，诸名家皆敛手相推焉。壬叔早慧而老寿，自其弱冠时，已穷天元、四元之秘，斐然述作；中年以后，尽瘁译事，世共推为第二徐文定，遂以结有清一代算学之局。当是时，江浙间斯学极盛，金山顾尚之观光、长洲马远林钊、嘉定时清甫曰淳、兴化刘融斋熙载、乌程凌厚堂堃、张南坪福僖、南汇张啸山文虎，与徐、项、戴、李诸君先后作桴鼓应焉。江西亦有南丰吴子登嘉善，造诣不让时贤。而异军特起有声色者，莫如湖南、广东两省。湖南自新化邹叔勣汉勋首倡此学，长沙丁果臣取忠继之。果臣弟子有湘阴左壬叟潜，文襄从子也；湘乡曾栗諴纪鸿，文正子也，咸以贵介嗜学，能名其家。徐君青之为广东盐运使也，语人曰：“广东无知算者！”或以告番禺黎南溟汉鹏，南溟为难题难之，徐不能答。嘉应吴石华学算于南溟，遂尽传其学。已而出邹特夫，所造或为江左诸师所不及云。
清季承学之士，喜言西学为中国所固有，其言多牵强附会，徒长笼统嚣张之习，识者病焉。然近世矫其弊者，又曾不许人稍言会通，必欲挤祖国于未开之蛮民，谓其一无学问，然后为快。嘻！抑亦甚矣。人智不甚相远，苟积学焉，理无不可相及，顽固老辈之蔑视外国，与轻薄少年之蔑视本国，其误谬正相等。质而言之，蔽在不学而已。他勿具论，即如算术中之天元、四元，苟稍涉斯学之樊者，宁能强词斥之谓为无学问上之价值？又宁能谓此学非我所自有？清圣祖述西士之言，谓借根为东来法。英人伟烈亚力，与李壬叔同事译业者也，深通中国语言文字，能读古书，其所著《数学启蒙》第二卷有开诸乘方捷法一条，缀以按语云：“无论若干乘方，且无论带纵不带纵，俱以一法通之，故曰捷法。此法在中土为古法，在西土为新法，上下数千年，东西数万里，所造之法若合符节。信乎！此心此理同也。”夫伟力是否谰言，但用天元一试布算焉，立可决矣。竺旧之儒，必谓西法剽窃自我，如梨洲所谓“汶阳之田可复归”，诚为夸而无当。然心同理同之说，虽好自贬者亦岂能否认耶？是故如魏文魁、杨光先之流，未尝学问，徒争意气，吾辈固当引为大戒。乃若四香、茗香、壬叔诸贤，真所谓“旧学商量加邃密，新如涵养转深沈”，盖于旧学所入愈深，乃益以促其自觉之心，增其自壮之气，而完其独立发明之业，则温故不足以妨知新，抑甚明矣！而最损人神智者，实则在“随人脚跟，学人言语”，不务力学，专逐时谈之习耳。世之君子，宜何择焉？
清代算学，顺康间仅消化西法，乾隆初仅杂释经典。其确能独立有所发明者，实自乾隆中叶后，而嘉、道、咸、同为盛。推厥所由，则皆天元、四元两术之复活有以牖之。徐文定所谓“会通以求超胜”，盖实现于百余年后矣。今刺举其发明之可纪者如下。
一 明静庵安图之割圜密率捷法。梅玉汝《亦水遗珍》，载有西士杜德美用连比例演周径密率及求正弦、正矢之法，惟所以立法之原则秘而不宣。至汪考婴疑其数为偶合。静庵积思三十年，创为此法与解，用连比例术以半径为一率，设弧共分为二率：二率自乘，一率除之，得三率；以二率与三率相乘，一率除之，得四率。由是推之，三率自乘，一率除之，得五率。————虽至亿万率，胥如是。罗茗香评之曰：“西法之妙，莫捷于对数”；“对数之用，莫便于八线。————考对数之由来，亦起于连比例，又安知当日立八线表时，不暗用此法推算耶？”
二 孔巽轩之三乘方以上开方捷法及割圜四例。巽轩为戴东原高弟子，研究秦李之书，精通天元。梅定九著《少广拾遗》，云三乘方以上不能为图。巽轩独抒新意，取幂积变为方根，使诸乘皆可作平方观，制诸乘方廉隅图，俾学者知方广稠叠所由生。又立割圜四例，其说在明氏捷法未显之先，而间与暗合，所著书名《少广正负术内外篇》六卷
三 李四香之《方程新术草》。因梅氏未见古九章，其所著《方程论》，囿有西学，致悖直除之旨，乃寻究古义，采索本根，变通简捷，以成新术，辨天元与借根之异同。梅玉汝言借根即天元，大致固不谬。四香更辨析天元之相消，有减无加，与借根方之两边加减微异发明开方正负定律。梅氏言开方，专宗《同文算指》《西镜录》之西法，初不知立方以上无不带纵之方。故所著《少广拾遗》，立开一乘方以至开十二乘方法，枝枝节节，窒碍难通。四香读秦道古书，阐明超步退商、正负加减、借一为阳诸法，为《开方说》三卷
四 黎见山应南之求句股率捷法。见山，四香弟子。此捷法乃推阐天元通分而成。任设奇偶两数，各自乘，相并为弦，相减为句，或为股；副以两数相乘倍之为股，或为句。若任设大小两奇数或偶数，各自乘，则相并半之为句，或为股，其两数相乘即为股，或为句，所得句股弦皆无零数
五 汪孝婴之发明天元一正负开方之可知不可知。四香发明正负开方定律，少广之学大明。孝婴读秦李书，知有不可知之数，乃自二乘方以下推之得九十五条。其说与四香似立异，故当时有汪李齮龁之谣，焦里堂既辨之矣。四香后读其书而为之跋，括为三例以证明之，谓偶实同名者不可知，偶实异名而从廉正负不杂者可知；偶实异名而从廉正负相杂，其从翻而与隅同名者可知，否则不可知。又谓己所言“一答与不止一答”，与汪言之“可知不可知”，义实相通云
六 董方立之发明割圜连比例术。此亦因杜德美之圜径求周术语焉不详，欲更创通法，使弦矢与弧可以径求。时明静庵之密率捷法未传于世。方立覃思独创，与明氏同归而殊涂，盖以圜容十八觚之术，引申类长，求其累积，实兼差分之列衰，商功之堆垛，而会通以尽句股之变。自谓奇偶相生，出于自然，得此术而方圆之率通云
七 徐君青之发明屡乘屡除的对数。对数表传自西人，云以屡次开方而得其数。君青以屡除屡乘法御之，得数。巧合而省力百倍研究测圜密率，以屡乘屡除法，递求正负诸差，而加减相并，便得所求发明开圜求周术。椭圆求周，无法可驭。借平圜周求之，则有三术。项梅侣、戴鄂士各立一术。君青以椭周为圜周，求其经以求周，即为椭圜之周。最直捷。李壬叔谓其驾过西人远甚发明造各表简法。君青以对数表等为用最大。惜创造之初，取经纡徊，布算繁赜，不示人以简易之方，如八线对数表，至今无人知其立表之根，因读《四元玉鉴》，究心于垛积招差之法，推诸割圆诸术，无所不通。盖垛积者递加数也，招差者连比例也。合二术以施之割圜，六通四辟，而简易之法生焉。乃集杜德美、董方立、项梅侣、戴鄂士、李壬叔诸家之说而折衷之，简益求简，凡立五术
八 戴鄂士之发明对数简法。其术在舍开方而求假设数；复有续编，专明对数根之理。徐君青为之序，谓与李壬叔《对数探原》同为不朽之业发明外切密率。此亦割圜率中之一种。自杜、董递启割圜之秘，项梅侣、李壬叔皆有所增益。惜杜氏有弦矢术而无切割术，李氏有其术而分母分子之源未经解释。鄂士谓弦矢与切割本可互为比例，……以比例所得之率数乘除法，乘除弧背，其求得之数，必仍为比例所得之切割。乃本此意以立术发明假数测圆。专以负算阐对数，发前人未发之蕴
九 邹特夫之发明乘方捷术。此亦研究对数之书，隐括董方立、戴鄂士之说，立开方四术。其于讷白尔表，以连比例乘除法，迳开一无量数乘方以求之，又立求对数较四术以求之，亦用连比例一以贯之，立术最为简易。盖以徐君青、李壬叔之术，操数各殊，惟夏紫笙略近而更为精密云创造对数尺。因对数表而变通之为算器，画数以两尺相并而伸缩之，使原有两数相对，而今有数即对所求数补古格术。格术之名及其术之概略，仅见于宋沈括《梦溪笔谈》，后人读之亦莫能解。特夫知其即光学之理，更为布算以明之。以算学释物理自特夫始
十 李壬叔之以尖锥驭对数。壬叔以尖锥立术，既著《方圆阐幽》《弧矢启秘>二书，复为《对数探源》，亦以尖锥截积起算，先明其理，次详其法。自序云：“……有正数万，求其逐一相对之对数，则虽欧罗巴造表之人仅能得其数，未能知其理也。间尝深思得之，叹其精微玄妙，且用以造表，较西人简易万倍，然后知言数者不可不先得夫理也。”壬叔著书在早年，其后与西士共译各书，益自信，乃著《对数尖锥变法释》，谓己所用为正法，西人所用乃变法，而其根则同云推衍垛积术。谓垛积为少广一支，西人代数微分中所有级数，大半皆是。近人惟汪孝婴、董方立颇知其理，而法数未备，因特阐明之
十一 顾尚之之和较相求对数八术。批评杜、董、项、戴及西人《数学启蒙》中之诸新术，以为皆未尽其理，乃别为变通，任意设数，立六术以御之，得数皆合，复立还原四术，卒乃推衍之为和较相求之八术
十二 夏紫笙之创曲线新术。其书名《致曲术》，曰平圆，曰椭圆，曰抛物线，曰双曲线，曰摆线，曰对数曲线，曰螺线，凡七类。皆于杜德美、项梅侣、戴鄂士、徐君青、罗密士(英人，著《代数微积拾级》者)诸术外自定新术，参互并列，法密理精，复有《致曲图解》说明之创乘方捷术以开各类乘方，通为摆术，可并求平方根数十位，不论益积翻积，俱为坦途，其书名《少广缒凿》
上所举，不过在三部《畴人传》中阮元著初编，罗士琳续，诸可宝再续临时挦撦。我之学力，本不配讨论此学，其中漏略错误，定以当不少。但即循此以观大略，已可见此学在清代发展进步之程度为何如。以李四香、汪、明、董等推算之业视王、梅；以李四香、罗、张古余等校书补草之功视钱、戴；以徐、戴鄂士、邹、李壬叔等会通发明之绩视王、梅、李四香、汪，真有“积薪后来居上”之感。其后承以第二期西学之输入————即所谓19世纪新科学者，而当时国中学者所造，与彼相校，亦未遑多让。中国人对于科学之嗜好性及理解能力，亦何遽出欧人下耶？
吾叙述至此，惟忽有别的小感触，请附带一言。清代算学家多不寿，实吾学界一大不幸也。内中梅定九寿八十九，李壬叔寿七十，二老岿然绾一代终始，差足慰情。自余若焦里堂仅五十八，戴鄂士仅五十六，王寅旭、戴东原皆仅五十五；邹特夫仅五十一，邹叔勣仅四十九，马远林仅四十八，汪孝婴仅四十六，李四香、夏紫笙皆仅四十五。尤促者，熊韬之仅三十九，孔巽轩仅三十五，董方立仅三十三，左壬叟、曾栗諴卒年未详，大抵皆不逾四十。呜呼！岂兹事耗精太甚，易损天年耶？何见夺之速且多也。夫使巽轩、方立辈有定九寿，则所以嘉惠学界者宜何如哉？吾又感觉算学颇恃天才，故有早岁便能成家者又洪杨之乱，学者多殉，而算家尤众。徐君青以封疆江苏巡... -->>
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