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释圆〔1〕
镜多变者，惟凹与凸。察其形，则凹在圆外，凸在圆内。天之大，以圆成化；镜之理，以圆而神。作释圆。
【注释】
〔1〕释圆：阐释球面透镜。圆，泛指圆形和球形。对于球面透镜的形状，郑复光有时以“圆”称球弧面，有时称侧视图的圆弧。
按：此篇为全书内容重中之重，是独创性最高、成就最大的一篇。以“圆理”、“圆凸”、“圆凹”、“圆叠”、“圆率”五章，分别论述透镜基本原理、凸透镜、凹透镜、透镜组合和透镜计算。笔者曾长期查阅第一期西学东渐的各种科技文献，基本可以肯定郑复光之前中国没有关于透镜的定量讨论，即使是定性讨论，也只有《远镜说》中语焉不详的少量介绍。该篇内容一直没有得到详尽透彻的解析，致使学界对其合理性和正确性一直抱有谨慎态度，因此对郑复光及其科学成就的评价也显不足，可以说《镜镜詅痴》最光辉的篇章长期以来是处于埋没状态的。
【译文】
性质变化多端的镜片，要数凹镜和凸镜。审视它们的形状，就是凹形在圆［球］之外，凸形在圆［球］之内。宇宙的宏大，是用圆成就造化；镜片的物理，也由于圆而奇妙。因此作这篇《释圆》。
圆理〔1〕
一
镜之光线，面平者，因物收展，可平行，可广行，故有随时而移者，以顺目光线〔2〕。面圆者，因物收展，必广行而不平行，故独有其不移者，能济目光线。夫以顺目为用者，自无所违忤；以济目为用者，失其理即反以为累。原镜八。
【注释】
〔1〕圆理：可解为“圆之理”，即球面透镜的基本原理。但按此书标题体例，此篇各章题中的“圆”字宜解为动词，有“使圆满”之意，见“明原”篇注〔1〕。故“圆”在此有双关之意，“圆理”意为“详解圆之理”，以下各章俱同。
〔2〕目光线：目之光线，即“原线”第一条中专门提出的“目线”。
【译文】
镜片的光线，在镜片表面呈平面时，根据物体［的尺度而］收展，可以平行，也可以广行，所以会按不同情况偏移，以此顺应目光线。表面呈球面时，根据物体［的尺度而］收展，一定是广行而不平行，所以独具不偏移的光线，能够增益目光线。以顺应目光为作用的，自然没有任何抵触；以增益目光为作用的，违背了规律就反而有害。“原镜”第八条。
二
圆界分三百六十度。作径线自界约行至心，会成一点。圆有定界，则心有定处，而界线之阔狭亦有定处。镜之圆者，其光线亦然。
【译文】
圆周分为360度。作出各条径线，从圆周会聚到圆心，就交会成一点。圆有确定的边界，圆心就有确定的位置，同时边界的宽窄也有确定范围。呈圆形的镜片，它们的光线也是如此。
三
圆界分三百六十度，大圆与小圆等也。所异者，圆愈小则界愈曲，度愈狭，径愈短。镜之圆者，其光线亦然。
【译文】
圆周分为360度，大圆和小圆是相等的。不同之处在于，圆越小则圆周越曲，尺度越窄，直径越短。呈圆形的镜片，它们的光线也是如此。
四
圆两径线约行至心则交成角，过心则侈，复歧为二，永不复交。镜之圆者，其光线亦然。
【译文】
圆的两条径线会聚到圆心就交会成一个角，过了圆心就散开，重新分岔为两条［射线］，永远不再交会。呈圆形的镜片，它们的光线也是如此。
五
物之相射，其线必直。故目正对处，其视了然；斜对处，其视眊然〔1〕。目能四顾于物，无不正对。余尝斜迤车中，不坐起则涂〔2〕过之物不能确见，足征斜对之理。若以管窥，则太斜处并隔于管口而不见。使管外口安一平玻璃，物象虽斜入镜，而斜对者不能入目也。若凹与凸，则能入目矣。何者？凹能收物使小，凸远于目，则倒物象而亦小，故皆能斜摄物景。盖物之所居虽偏，而镜之环面所对则正，是以环愈甚者，其斜摄之境愈大也。〔3〕
【注释】
〔1〕眊（mào）然：眼睛失神，视物不清。
〔2〕涂：通“途”。
〔3〕此条堪称基本原理，开宗明义，表明球面透镜比平板透明体的视场大，是因为能缩小物像，而且曲率越大，视场也越大。
【译文】
物体互相照射，那些光线一定是直线。所以眼睛正对的地方，所见清楚；斜对的地方，所见模糊。眼睛能朝四周观察物体，没有不正对的。我曾斜靠在车里，不坐起来则途中掠过的物体看不真切，这足以验证斜对的道理。如果用一根管来观察，则太斜之处还要被管口遮挡而看不见。假使在管口安置一块平玻璃，物像虽然斜着进入镜筒，但斜对的景物却不能进入眼睛。如果［安置］凹透镜或凸透镜，景物就能进入眼睛了。这是为什么？因为，凹透镜能收缩物［像］使之变小，凸透镜离眼睛较远时，就能颠倒物像同时也使之变小，所以都能斜着摄取物像。总的来说，即使物体的位置偏离，但透镜的球面对出去却是正的，因此球面弯曲越厉害的，斜着摄取的范围也就越大。
六
凡圆形，以弧而见。弧出于曲线，线愈曲，弧愈深。若同一曲线，平视之而曲浅，侧视之而曲深者，视线长短为之也。
解曰：
正圆以九十度为最深。椭比正圆，大径〔1〕较大，必深；小径〔2〕较小，必浅；理也。夫椭与正圆，形不同而曲无异势，九十度既最深，而椭能更深者，正圆之曲有定，椭圆之曲无穷也，故深极可以至于不见〔3〕。而小径反之，亦无碍于较浅。依显，凸同，正对视物稍大，侧则渐大，可成倒景，视线长短故也。如图（图28）：
图28
辛、戊凸同，而丁戊短如椭小径，庚子长如椭大径，甲视己虽同，必变为一深凸、一浅凸矣。
【注释】
〔1〕大径：椭圆的长轴。
〔2〕小径：椭圆的短轴。
〔3〕深极可以至于不见：椭圆长轴端点的曲率趋于无穷时，椭圆的形状趋于一条直线。
【译文】
大凡圆形，都是通过弧来显现。弧产生于曲线，曲线越曲，弧度越深。如果对于同一曲线，正着看去曲度就浅一些，侧着看去曲度就深一些，这是视线长短不同造成的。
解：
正圆以90度为最深。椭圆与正圆相比，长轴较大，［长轴方向］必定较深；短轴较小，［短轴方向］必定较浅；事理就是如此。按说椭圆和正圆，形状不同但弯曲的态势没有区别，90度既然已经最深，而椭圆却能更深，是因为正圆的曲度是恒定的，椭圆的曲率却可以无穷，所以最深可以达到消失。而短轴的情况与此相反，同样可以越来越浅。由此推之，同一凸透镜，正对着看物体则稍有放大，侧着看则越侧越大，可以成倒像，这是视线长短不同的缘故。如图（图28）：
辛和戊是相同的凸透镜，而丁戊像椭圆的短轴一般短，庚子像椭圆的长轴一般长，同样是从甲看己，但必定成为一个度数深、一个度数浅的凸透镜了。
七
弧侧成椭，能使凸加深，本章六。此一理也。凸远于目，能使物见大，此又一理。
夫凸深则见物大，远目则见物愈大，凹与凸反，故凹深则见物小，远目则见物愈小。但凸远目，大极能倒物象而转小，乃如凹理矣。依显，凸镜上下侧之，则上下有远近，而物方者见长矣；使左右侧之，则左右有远近，而物方者见扁矣。若凸之深者，恰值物象将倒处，使上下侧之，是上下倒而左右不移也；或左右侧之，是左右易而上下如常也，是正面变反面也。推之凹理，侧即加深，亦能方者为长、为扁。但凸是侧处显大，凹是侧处显小，似同而实异。又，凹不能倒物，亦无所为正变反矣。（图29）
图29
【译文】
圆弧侧起来就变成椭弧，能使凸透镜的度数加深，本章第六条。这是一种事理。凸透镜与眼睛拉开距离，能使物体显得变大，这又是一种事理。
凸透镜度数深则显得物体变大，与眼睛拉开距离则显得物体更大，凹透镜却与凸透镜相反，所以凹透镜度数深则显得物体变小，与眼睛拉开距离则显得物体更小。但是凸透镜与眼睛拉开距离时，放大到极点就能颠倒物像并转而变小，这就与凹透镜性质相同了。由此推之，凸透镜上下偏侧，则上下有远近差异，方形物体就显得变长；如果左右偏侧，则左右有远近差异，方形物体就显得变扁。如果度数深的凸透镜，正好在物像即将颠倒的位置，使之上下偏侧，就会上下颠倒而左右不变；再使之左右偏侧，就会左右互换而上下依旧，成了正面变反面。推论到凹透镜的规律，偏侧就会加深，也能使方形变长、变扁。但凸透镜是侧处显得物像大，凹镜是侧处显得物像小，似乎相同而其实不同。还有，凹透镜不能颠倒物［像］，也就没有正面变反面的情况了。（图29）
八
圆径之理，与圆体镜光线〔1〕同理。而有不同者，圆界与镜之凸凹相等，则半径线与镜光线必不等。何也？
圆径线以中心交角为断，镜光线以取景收光为凭。收光生于交，而不在交处，故必长于半径也。圆径线各因弧而不变，镜光线兼随照而生差，故其长短无定也。
【注释】
〔1〕镜光线：是郑复光的一个假说，在正式提出假说之前，已在“原景”第十三条、“原线”第一条和第十条、“原镜”第八条和第十一条、本条等多次提前使用该概念，详细的假说将在下条提出。
【译文】
圆球径线的道理，与圆球体的镜光线同理。但不同之处在于，当圆球的周界与镜片的弧度相等时，半径线与镜光线必不相等。为什么？
圆球半径线以圆心处的交角为端点，镜光线以取影会聚光束为依据。光束的会聚产生于相交，但［会聚点］不在交点上，所以必定比半径长。圆球半径线各自按弧度而不变，镜光线却还要依据不同的照射而产生变化，所以它的长短是不定的。
九
镜有光，则有光线。〔1〕唯圆形者，可于取景、借光〔2〕见之。盖聚众光于一处，光复极浓，故能见象于空中也。然此虽可见，实不足以为镜光线。盖真镜光线有二：
一出弧背如甲丙乙，则有背交如子，从交侈行子壬与子癸，名弧背光线。（图30-1）
图30-1
一出弧面如甲己乙，从面约行甲丁与乙丁，则有面交如丁，名弧面光线甲庚与乙戊。〔3〕（图30-2）
图30-2
凡约行皆有交，穿交皆变侈行，愈行愈阔。凸镜两弧相背，故有此两种光线，乃生三限〔4〕。因其顺透得光，名顺三限。此三限者：
一因光在极远如日，视径甚小，函于弧面光线戊庚界内，背距〔5〕丁革甚长，为面交所隔，故隔射〔6〕倒入于镜甲丙乙。透镜而出，为背线甲水与乙火所函，不得不约行，约极则成象。此处水火，以目视光，则见恰塞镜面；以版承光，则见成为倒象，〔7〕而面距如己斗有定度，为第一限。〔8〕（图30-3）
图30-3
一因光在极近，恰当面交如丁，交止一点，光体则大，交不能函，且背距甚短，无交可隔，故光体上下丑、寅自出两线丑甲与寅乙，直射顺入于镜甲丙乙。透镜而出，为背线甲子与乙子所函，不得不约行，则有背交，穿交乃倒，变为侈行，侈则渐大，遂亦成象。此处任远如己丝，以目视光，皆见恰塞镜面；以版承光，皆见成为倒象，而背距丁丙则有定度，为第二限。〔9〕（图30-4）
图30-4
一因光在远近之间如胃丙或毕丙，光体既大如虚危或亢氏，丁之交线不能函光，光不当交，子之视镜，不能塞满，于是面交、背交，此两交分权；面距、背距，斯两距恰等。此处如昴，以目视光，亦能恰塞镜面；以版承光，亦能见为倒象，而两距必皆有定度，为第三限。〔10〕（图30-5）
图30-5
第一限因收光成象，名顺收限。第二限因展光成象，名顺展限。第三限因光象相等，此伸彼缩，迭相消长，名顺均限。〔11〕
至于镜之对光返照，则成折线。原线三。折线所成亦有三限，同此一理，必稍侧乃见。〔12〕名侧收限、侧展限、侧均限，〔13〕以资后论。
凸返照即凹，亦有侧限；凹不能取景，即无顺限，故侧三限尤为凹镜所专赖。
解曰：
凡光射物，中无所隔则直射，中有所隔则隔射。直射则散为明，不见光象；隔射则聚其光，倒呈厥体。故光照孔为直射，穿孔既远，光线相交，交为之隔，变成隔射。盖光之边束于孔之边，而聚成一交，则上射下、下射上，乃见倒光象，此取景理也。是故，镜既通光，即无殊孔；凸有线交，即如物隔；光塞镜，镜束光，不得不聚成交而见为倒象者，势固然也。
在顺收限，如第三图。是光居远处如日，目在交处如斗，见光塞满。使目不动，移光任远，则光度应渐小，而塞满如故。何也？光射丁而函于戊丁庚角故也。盖光远极小至一点止矣，而光线交角亦止一点，故光既到角如丁，顺镜散射镜面，自无不满矣。此推得顺收限之理：因隔射而倒成满光，因直射而收为光体也。
在顺展限，如第四图。是光居丁处，已无交隔，目在远处如元或丝，见光塞满。使光不动，移目任远，则光度应渐小，隔凸视物，大极则倒，复小而清故也。而塞满如故。何也？过交而散为午子未角故也。盖光线穿子则侈，愈远益阔，自无不满矣。此推得顺展限之理：因直射而入于镜面，因隔射而展为倒象也。
若光出丁角之外，如第五图，则不得不隔射，而体非丁角所能函，又不能移镜光之交，故弧面之线丁戊与丁庚为无权〔14〕，而弧背之线甲室与乙壁乃当令〔15〕。何也？弧背之线愈远愈侈，虽光体甚大，故罔有弗函者也。夫既函于弧背光线之内，则必变隔射为直射。光既直射镜面，则透镜而过，不能不出交而成倒象。必出交而成倒象，则引目近镜，不能不收象而使不塞满。此皆移光移目，逐渐生差之故也。
且凡视法，渐远渐小；凸镜视法，渐远渐大。顺收限，引光任远，皆恰塞镜面，无复大小，故知是光之入交无改移，必穿交隔射也。顺展限，引目任远，皆恰塞镜面，无复大小，而倒象则渐远渐大，故知是景之出交成倒象，必光体直射也。
凡光体射镜，因为光线大力交隔所摄，故变隔射；不为光线大力交隔所摄，故能直射。今顺均限，既有光线交隔，则不应直射；而溢出光线界外，则不能隔射。乃毅然决其为直射者，以有弧背光线之大力在，则是弧背光线当令，因使弧面光线亦退处于无权，乃能循弧背线顺入镜面，及透镜而出，穿弧背线之交，遂能取景。故知是光之出交成倒象，必弧背光线直射也。而引光近镜无定度，透镜倒象亦无定度，此伸必彼缩，互为消长。〔16〕又知弧背线摄光直射，不与光体自生之线直射同也。
一系：
凸镜顺收限，其光线虽借光可见，然在巨日之中，亦闪烁不明。其法：宜俟日照暗室，闭门留缝，野马也，尘埃也，〔17〕以镜承光，仿佛似之。〔18〕又法：含烟喷之，光线遇烟尤灼然明显。若凹〔19〕镜侧收限，宜取含光者，光线方浓而易见。
二系：
平镜透明〔20〕，如物之有孔；对日大光，即如孔之漏日，亦应有交。但镜大于孔不啻〔21〕倍蓰〔22〕，其交益远，且无弧面光线攒聚〔23〕一处大力，故取景甚淡，亦无足用，姑略焉。〔24〕
【注释】
〔1〕这一句概括了整个假说。早在“原光”一章中，将“镜”定义为“内光体”时，即已表明镜体自身是一个光体的假设，即镜体本身有光。这些“光”通常为各种光束，其形状由镜体的形状决定。在“原线”第六条中提出，以光束的侧剖面的轮廓线来表示这些光束，称之为“光线”。对于镜光，则称“镜光线”。
〔2〕取景：此指凸透镜对平行光透射聚焦。 借光：此指凹面对平行光反射聚焦，凹面包括凹面镜表面和凸、凹透镜相对于光照方向为凹面的表面。
〔3〕透镜改变光线的方向，使之会聚或发散，现在的解释模型是折射，郑复光的解释模型是“镜光线”，所以“镜光线”是一个取代“折射”地位的解释模型。有人认为上文中的“面交”和“背交”既然对等于现在所谓的焦点，而焦点对于同一枚透镜是固定的，则“圆理”第八条所谓“镜光线兼随照而生差，故其长短无定”是不正确的，此须商榷。古文常以一个概念指各种性质类似的事物，具体含义由上下文确定。所以“交”这个概念，有时指实际光束的会聚点，此时则该交点距镜片的距离不定，正如按折射模型来解释，也是随光源的距离和大小而不同。但郑复光同时明确规定，每一枚透镜均有其固定的真镜光线和镜光交，其中“面交”对应于物方焦点（前焦点），是很明确的。
〔4〕三限：以下郑复光将通过实验，确立关于透镜成像共轭性质的三个常数，均与焦距相关。郑复光先后定义了一系列的“限”，在所有情况下，“限”都具有“常数”的意义。
〔5〕背距：不是物距，也不是第一焦距，是物体到前焦点的距离，这个变量在今天看来是不必要的，但郑复光的“镜光线”假说将涉及这个变量。详见以下几条注。
〔6〕隔射：在“明原”篇“原线”第八条中，郑复光把《梦溪笔谈》中的“格术”的“格”解释为“隔”，并以划桨和摇橹作比，表明“隔”就是两条交叉的直线，因交点固定，起到力学上的支点作用，表现为阻隔，使交点两边的方位和运动方向发生颠倒。郑复光以此正确地解释了小孔成像，同时认为凸透镜成实像和小孔成像的原理类似，都是因光线交叉而颠倒。所以“隔射”一词，意义最终回到沈括的“本末相格”，即光线首尾方位互逆的行进方式，犹言“交叉照射”。
〔7〕这是郑复光对观察凸透镜实像的一个重要描述，此后经常出现。“以目视光，皆见恰塞镜面”，指不能直接透过透镜看见物像，只能看见透镜充满光亮，必须“以版承光”，用像屏接收实像。版，通“板”。
〔8〕显然，这个“第一限”是一个特殊的像距（“面距”），其物理意义按今天的话说，就是平行光经凸透镜成像的结像面在主轴上的位置与透镜后焦点重合。“斗”就是后焦点（像方焦点）。面距“己斗”（即第一限），就是透镜的焦距。但是，郑复光根据自己的镜光线假说，认为光线方位颠倒是发生在入射到镜面之前，这在今天看来是不对的。即这是一个重要而正确的实验，但解释有问题。以下凡是以镜光线假说解释透镜成像机理之处（包括其他篇章），一般不再一一重复说明。
〔9〕这个“第二限”是一个特殊的物距（“背距”），此时光源经凸透镜成最大实像。这个物距在数值上无限接近（略大于）透镜焦距。（物距完全等于焦距时，即不成像，而产生出射的平行光束。）此时的光源位置，即“面交”，就是凸透镜的前焦点（物方焦点）。
〔10〕此时光源位于物方二倍焦距处，成像于像方二倍焦距处，物距与像距、物高与像高均相等。此“第三限”即为凸透镜二倍焦距。郑复光测得为第一限和第二限之和。本来前两限均为焦距，数值应相等，但郑复光的测量值为第一限偏大10%，其可能的原因将在“圆率”章的相关注释中进行分析。
〔11〕至此，郑复光通过三个表现透镜成像共轭性质的实验，确立了他的光学理论中最核心的概念。顺收限和顺展限均表征焦距，顺均限为二倍焦距。三个实验分别为凸透镜成最小实像、最大实像和等大实像，一个是物在远处、像距有定度，一个是物距有定度、像在远处；一大一小，一收一展；第三个是物和像都在不近不远处，不大不小；其余情况一律以这三个为参照，此消彼长。这首先显示了收、展二限的共轭性，继而显示了全过程的共轭性。
〔12〕稍侧乃见：是实验的需要，凹面反射时，如果主光轴方向与入射光方向一致（郑复光称为“正对”），则入射光束和反射光束重叠，观察不到反射光束及其所成的像。因此使镜片稍侧，则入射光束和反射光束之间形成一个以入射点为顶点的夹角。郑复光在“原光”第十条中已经预先准备了这条知识。
〔13〕显然，侧收限、侧展限、侧均限分别为任意反光凹面的前后焦距和二倍焦距。其中反光凹面包括凹面镜，也包括凸透镜、凹透镜对光为凹的表面。以图明之：
图31
需要注意的是，凹透镜是第一表面为凹面，入射光束直接在该表面上反射而生产侧收限，故其侧收限与凹面镜同；但是，凸透镜是第二表面为凹面，其侧收限的物理意义要复杂得多，入射光先经第一表面折射、再经第二表面反射、再经第一表面折射出来，才生成侧收限。关于凸透镜侧收限的进一步研究见“圆率”第一条“凸限全率表”及注。
〔14〕无权：没有权重，指不起作用。
〔15〕当令：掌权，指起支配作用。
〔16〕至此，郑复光通过实验完全确立了透镜共轭成像的全过程。
〔17〕野马也，尘埃也：语出《庄子·逍遥游》，“野马”意为漂浮的雾气或水汽。
〔18〕从这条附论明显看出，郑复光通过暗室中的散射光观察到透镜聚焦光束的形状，以此为“镜光线”假说的依据。后面论及的凹面镜同理。
〔19〕凹：原刻作“门”，误。
〔20〕平镜透明：对应于现在所谓“透明”的概念是“通光”，此处的“透明”意为“能透过光明”。 “平镜”指平板玻璃之类的平板透明体。称其为“镜”则指其形如一枚镜片。
〔21〕不啻（chì）：不止，不只。
〔22〕倍蓰（xǐ）：又作“倍屣”、“倍徙”，谓数倍。倍，一倍。蓰，五倍。
〔23〕攒（cuán）聚：聚集，聚拢。
〔24〕按：以上是郑复光根据自己的假说，对凸透镜成像的机理进行解说。其中正确的部分是通过实验抓住了交会点和光线交叉颠倒这两个关键，这是接下来确定焦点和成像性质的基础。但对于光束发生会聚的原因，郑复光认为是来自一种强制性约束，他因此提出“镜光线”假说。根据前面的描述，“弧面光线”和“弧背光线”这两种“镜光线”（原文中有时因文言文语气而简称“镜线”、“光线”、“线”等等）是以镜面为底面，以焦点为顶点的两个圆锥，似乎是实际存在的实体，有约束光束使之会聚、相交的能力，两个圆锥的顶点即焦点叫做“镜光线交”（因语气有时简称“镜光交”、“镜线交”、“线交”、“交”等）。对于凸透镜能成种种像，郑复光的解释是，物体大小和物距的不同，导致与“交”和“交线”的关系不同，物体在“交”前还是“交”后，“交线”能函还是不能函，等等情况的差异，造成最终成像性质的不同。
又按：虽然“镜光线”假说在现在看来不太合理，但郑复光还是认真地说出了这个假说的思路脉络，其中既有实验基础，也有思辨成分：1. 受到聚焦光束形状的启发，将这个形状视为实体，并赋予其强迫光线会聚的能力；2. 受到传统格物课题“小孔成像”有关解释模式的影响，郑复光认为“格术”就是锥形光束在锥顶会聚后，发散为另一锥形光束，各光线的位置相对于锥形的中轴发生极性转换，这的确可以解释光线的会聚和颠倒两个行为，作为光路图恰好是正确的（见图7、图13、图14等），于是郑复光将这一模型推广到凸透镜；3.《远镜说》“光路图”也有影响；4. 郑复光认为透镜对光线的作用是由形状呈圆形所决定的，他发现出射光束的会聚、会聚后的发散，以及焦距长短与曲率的关系等，都与夹着一段圆弧的两条半径线相似，因此他断言，凡圆及其半径线所具有的性质，“镜之圆者，其光线亦然”，“圆理”第二、第三和第四条，就是为这种思辨作准备。应该说，这些假说并非空穴来风，也无可厚非，它相当于是取代折射模型的另一个假想模型。在人类漫长而丰富的科学探索历程中，类似的情况是很多的。大多数科学家的原始著作，除了向后人展示正确结论之外，同样也要展示探索的曲折性。
【译文】
镜片有光，就有镜光线。其中只有球弧形镜片，可以在取影［聚焦］和借光［反射聚焦］的情况下观察到［镜光线］。原因在于，这些情况是把很多光会聚到一处，光重叠而变得非常浓，所以能在虚空中显出［光束的］形象。然而这种光束虽然可见，实际上不足以把它当成镜光线。因为真正的镜光线是如下两种：
一种出自弧背如甲丙乙，于是有背交如子，从交点开始发散行进子壬与子癸，命名为弧背光线。（图30-1）
一种出自弧面如甲己乙，从弧面开始会聚行进甲丁与乙丁，于是有面交如丁，命名为弧面光线甲庚与乙戊。（图30-2）
凡是会聚都有交点，穿过交点一律变成发散行进，越往前散得越开。凸透镜的两个弧面［凸向］相背，所以有这两种光线，由此生出三限。因为它们顺着［光的方向］透射而产生光束，命名为顺三限。这三限是：
第一个，由于光源在极远处如日，视觉尺度很小，被包含在弧面光线戊庚的范围内，背距丁革很长，光被面交所隔，于是交叉照射而倒着进入镜面甲丙乙。透过镜片而出，被弧背光线甲水与乙火所包含，不得不会聚行进，会聚到极点就生成影像。在这个［成像］位置水火上，用眼睛看光束，都看见光恰好充满镜面；用板承接光束，都看见光形成倒像，而此时面距如己斗有确定尺度，这就是第一限。（图30-3）
第二个，由于光源在极近处，正好位于面交如丁，交只是一个点，光源体却颇大，交线不能包含它，而且背距很短，没有交点可以阻隔，于是光体从上下丑、寅自行发出两条射线丑甲与寅乙，直接照射而顺着进入镜面甲丙乙。透过镜片而出，被弧背光线甲子与乙子所包含，不得不会聚行进，于是产生背交，越过交点就颠倒过来，同时变为发散行进，发散则越来越大，结果也成一个像。这个成像位置在任意远处如己丝，用眼镜看光束，都看见光恰好充满镜面；用板承接光束，都看见光形成倒像，而此时背距丁丙有确定尺度，这就是第二限。（图30-4）
第三个，由于光源在不远不近处如胃丙或毕丙，光体既大如虚危或亢氏，［交会于］丁的交线包含不了光体，光源又不处在交点上，从子处看镜片，光不能充满，于是面交和背交这两个交点分别起作用，面距和背距这两个距离恰好相等。在这个位置上如昴，用眼镜看光束，光也能恰好充满镜面；用板承接光束，也能看见光形成倒像，而此时这两个距离必定都有确定尺度，这就是第三限。（图30-5）
第一限由于是收束光线成像，命名为顺收限。第二限由于是展开光束成像，命名为顺展限。第三限由于光源和像相等，此伸彼缩，此消彼长，命名为顺均限。
至于镜面对光反射，将会形成反折光线。“原线”第三条。反折光线也能产生三限，道理是一样的，但一定要稍微偏侧才能看见。将它们命名为侧收限、侧展限、侧均限，以备后面论述时使用。
凸透镜反射就相当于凹面镜，也有侧限；凹透镜不能取影，就没有顺限，所以侧三限尤其是凹透镜所专门依赖的。
解：
凡是光线照射物体，中间没有阻隔就直接照射，中间有阻隔就交叉照射。直接照射则散成光亮，不显现光源的像；交叉照射则把光源的光会聚起来，倒着呈现它的形状。所以光照射小孔是直接照射，穿过孔之后到了较远处，光线相交，交点将它阻隔，变成交叉照射。光束的边受到小孔的边约束，从而会聚成一个交点，上边的光就射到下边、下边的光就射到上边，于是呈现颠倒的光源的像，这就是取影的原理。因此，镜片既然透光，就跟小孔没有差别；凸透镜有光线交，就如同有东西阻隔；光充满镜片，镜片约束光，不得不会聚成交点而呈现倒像，这是必然的态势。
对于顺收限的情况，如第三图所示。此时光源处于远处如日，眼睛在交点处如斗，看见的是光充满镜面。使眼睛不动，把光源逐渐移到远处，则光源的［视角］尺度应该逐渐变小，然而却仍然充满镜面。这是为什么？是光束射到丁点同时又包含在戊丁庚角之内的缘故。最远的光源也就小到变成一点为止，而镜光线的交角也只是一个点，所以光束到了这个交角如丁，顺着镜光线散开入射到镜面，当然就不会不充满了。由此推出顺收限的原理：［入射时］因交叉照射而颠倒形成充满镜面的光，［出射时］因直接照射而收束成光源的形状。
对于顺展限的情况，如第四图所示。此时光源处于丁处，已经没有交点阻隔，眼睛在远处如元或丝，看见的是光充满镜面。使光源不动，把眼睛逐渐移到远处，则光源的［视角］尺度应该逐渐变小，透过凸透镜看物体，放大到极限就变成倒像，重新变得小而清晰。然而却仍然充满镜面。这是为什么？是越过交点之后散开成午子未角的缘故。镜光线穿过子点就发散，散得越远越开，当然就不会不充满了。由此推出顺展限的原理：［入射时］因直接照射而进入镜面，［出射时］因交叉照射而展开成倒像。
若光源越出到丁角之外的情况，如第五图，此时光束就不得不交叉照射，而且光源体不是丁角所能包含，又不能改变镜光线的交点，因此弧面的镜光线丁戊与丁庚变得不起作用，弧背的镜光线甲室与乙壁于是处于支配地位。这是为什么？因为弧背的镜光线越远越发散，即使光体很大，也自然没有包含不下的。既然包含在弧背光线之内，则必定变交叉照射为直接照射。光既然直接射到镜面，那么穿过镜片之后，就不能不越出交点而变成倒形。既然必定越出交点而成倒形，那么使眼睛靠近镜片进行观察时，光就不能不收缩形状而使其不能充满镜片。以上情况都是出于移动光源或眼睛的位置，逐渐产生变化的缘故。
而且一般的透视规律，是越远越小；凸透镜的透视规律，却是越远越大。顺收限的情况是，把光源任意移远，光始终刚好充满镜面，不再有大小变化，由此可知，此时光束恒定地进入交点，必定在穿过交点之后交叉照射。顺展限的情况是，让眼睛任意移远，都看见光刚好充满镜面，不再有大小变化，而倒像则越远越大，由此可知，此时影像越出交点成倒像，必定是光束直接照射。
凡是光束射向镜片，如果受到镜光线强力交隔的控制，就会变成交叉照射；不受到镜光线强力交隔的控制，就能直接照射。现在顺均限的情况是，既然有镜光线强力交隔，就不应该直接照射；但是光源体溢出到镜光线的范围之外，则无法交叉照射。光束最终之所以毅然决定直接照射，是因为有弧背光线的强力作用存在，结果是弧背光线处于支配地位，因而使弧面光线同时退居不起作用的地位，这才能够沿弧背光线顺着进入镜面，透过镜片出来之后，穿越弧背光线的交点，于是能取影成像。由此可知，此时光束越过交点成倒像，必定是弧背光线直接照射。而且使光源靠近镜片没有限度，透过镜片的倒像也没有限度，此伸必定彼缩，互为消长。还可以得知，弧背光线控制光束直接照射，与光源自己发出的光线直接照射是不同的。
一系：
凸透镜顺收限，它的光线虽然通过反光可以观察到，但在强烈的日光中，也是闪烁不清。［观察］法：应该等阳光照进暗室，关门留缝，在水汽和灰尘中，让镜片迎着光照，所见大约与顺收限光线相似。另一［观察］法：含一口烟喷出去，光线碰到烟雾更加清晰明显。对于凹镜侧收限，最好是采用凹面镜来观察，镜光线才浓密而易见。
二系：
透明的平板镜片，就如同有小孔的物体；将它对着强烈日光的效果，就跟小孔渗漏日光相似，也应该形成交会。只是平板镜片大于孔不止几倍，其交点更加远，而且没有弧面光线紧密收拢的强力作用，所以取影［所成之像］很淡，也没什么用处，姑且从略。
十
侧三限与顺三限，皆同一日光穿孔之理，而有不同者，其势异也。故以其同而言，不过一格术耳。而以其异而言，则镜与孔异。孔之交在背光面，镜之交在向光面。不惟此也，即顺限与侧限亦异，顺限长而侧限短。不惟此也，即收限与收限亦异。光小约行，而光大则侈矣。
论曰：
顺收限，无论光大小，距镜既远，皆以约行入交，过交复侈入镜，及其穿镜而出，则视光体大小为收光之大小。前解皆以约行立论者，缘所举者只日与灯。灯不过寸许，日虽大，视径本《历书》。实小，取景皆不出一二分耳。设于室中取庭心之景，则镜径一寸，景径可二三寸，势必侈行矣。然而仍以收限名者，景体必小于光体故也。展限则否。惟均限景亦较小，而名均者，以其在未收未展之间，而两距又等，故称均焉。
【译文】
侧三限和顺三限，同样都是一个日光穿孔的道理，然而有不同之处，那是它们的具体情势有差异。因此从它们的相同点来说，不外乎就是一个格术而已。而从它们的差异来说，镜片和孔是有区别的。小孔的光线交点在背光的一面，透镜的光线交点在向光的一面。不仅如，就是顺限和侧限也有区别，顺限长而侧限短。不仅如此，就是收限和收限也有区别，光源体小时［出射光束］会聚，光源大了就会发散。
论：
顺收限，无论光源是大是小，既然距离镜片较远，就都按会聚行进进入交点，越过交点又发散行进进入镜面，穿过镜片出去之后，就要看光源体的大小来决定会聚光的大小。前面的解说都以会聚行进来立论，是因为例举的光源只是太阳和灯。灯不过一寸来长，太阳虽然大，视径根据《历书》。其实不大，取影［所得之像］不超过一二分。假使在室内观察庭院的景物，那么当镜片直径为一寸时，影像尺度可以达到二三寸，这就势必要发散行进了。但是仍然称之为收限，是因为影像的大小必定小于发光体的大小。展限则不是这样。然而均限的影像也较小，却称之为“均”，是因为考虑到它处于未收未展之间，而两个距离又相等，所以就称为“均”。
十一
取景之法，于取景处置目，镜中光象必见塞满，〔1〕不满则取景不真，未到限故。然亦有不同者：均一满光，顺收限视光体不清，灼灼射目而已；顺展限则灯体、灯心皆一一可辨者，何也？
盖展限短于收限，若九与十，适合镜光线交，乃视物最大处。收限较长，则大极将昏处也。均限更长，倍镜光线交。固无论已。
【注释】
〔1〕按：人眼看见凸透镜镜面被“光象”塞满的现象，实际上是远处景物经透镜所成缩小实像（包括平行光的聚焦光斑）落在了人眼前焦点附近，因而被人眼折射成平行光，或会聚点落在视网膜之后很远的光束，因此人眼看不见光源的像，只看见“满光”，而且眼睛的观察位置一定是在透镜缩小实像的位置附近。在其他情况下，人眼都能透过透镜看见光源的各种像。这一类条目反映了郑复光的科学研究的一大特色，即通过细致的实验观察得出准确的观察结论。但郑复光之所以重视这一现象，是因为他猜测“塞满”与否，关系到成像的清晰度，并据此作出很多解释，在今天看来不太合理。
【译文】
对于取影模式，使眼睛位于取影成像的位置，必定见到镜片中光源的像是充满的，不满则所取的影像不真切，这是没有达到［某个确定的］限的缘故。但又有不同情况：都是充满的光，顺收限情况下看发光体是不清楚的，只有刺眼的强光而已；顺展限情况下却是灯的形状、灯心都一一可辨，这是为什么？
展限比收限短，大约9比10，正好吻合镜光线交，是看物体显得最大的位置。收限较长，则处于最大而即将模糊之处。均限更长，镜光线交翻倍。自然不用说了。
十二
取景之法，凸镜愈深，收光愈小，展光愈大。盖镜光线交，凸深则角〔1〕大，而距〔2〕长则凸浅，故角大者则展物象愈大，距短者则收物象愈小，各有其比例耳。
【注释】
〔1〕角：此指“镜光线交”对镜面的张角，其角度随焦距的缩短（度数变深）而变大。
〔2〕距：指焦距，即镜光线交距镜片的距离，焦距长则度数浅。
【译文】
取影的模式，凸镜［度数］越深，会聚光束就聚得越小，发散光束就散得越大。原因在于，对于镜光线交，凸度深则张角大，而距离长则凸度浅，所以角度大的展开物像就越大，距离短的会聚物像就越小，各有各的比例。
十三
两物相射之线，有平行、侈行、约行三种。平行姑可不论。侈、约二线，平镜亦有之。特在平镜其侈行必因乎物大，其约行必因乎物小，适称本形矣。至凸与凹，则其侈约兼，视镜之环面生差；能强物形而大小之，则其镜线交所生诸限为之也。
【译文】
两个物体互相照射的光线，有平行、发散、会聚三种。平行暂且可以不论。发散、会聚这两种光线，平板透明体也是有的。只不过对于平板透明体，发散必定是由于物体大，会聚必定是由于物体小，才能与本来的形状相称。至于凸镜和凹镜，它们兼有发散和会聚，是根据镜片的弧度不同而产生变化；能迫使物形变大变小，则是它们的镜光线交所产生的那几个限作用的结果。
十四
镜有凸心、凹〔1〕心，形之异也。镜有透照、对照，用之异也。形同者，异用则异理。形异者，异用则同理。是故，通光凹与含光凹、通光凸与含光凸皆同形，对照无异也，而透照与对照则异。通光凸与含光凹、通光凹与含光凸皆异形，对照固异矣，而透照与对照则同。然通光者必有透视之反形〔2〕，又有反映之虚形〔3〕，是凹中有凸，凸中有凹，对照必非一景，第通光专以透照为用，可姑置而弗论焉。
【注释】
〔1〕凹：原刻作“门”，误。
〔2〕透视之反形：比如双凸透镜的两个表面都是凸面向外，但从任意一面透出的另一面，形如凹面，故称“反形”。
〔3〕反映之虚形：指透镜的两个表面互相成对方的反射虚像，作用如同面镜，这是透镜常数“侧三限”的实验基础。
【译文】
镜片有凸心、凹心，这是形状的差异。镜片有透射、反射，这是作用的差异。形状相同的，作用不同则性质也不同。形状不同的，作用不同则性质相同。因此，凹透镜和凹面镜、凸透镜和凸面镜都是形状相同，反射是没有区别的，但一个透射一个反射就不同。凸透镜和凹面镜、凹透镜和凸面镜都是形状不同，反射当然是不同了，可一个透射一个反射却是相同的。然而透明体必定有透视的反形，又有反射的虚形，于是凹中有凸，凸中有凹，［两面］对照必定不止一个影像，只不过透镜以透射为作用，这些可以暂且搁置不论。
十五
凹镜透照，见物恒小，同理者亦然。凸镜透照，见物能大，同理者亦然。凸镜对照，见物恒小；凹镜对照，见物能大，同理者亦然。
【译文】
凹透镜透照，总是显出物体变小，性质相同者也一样。凸透镜透照，能显出物体变大，性质相同者也一样。凸镜反射，总是显出物体变小；凹镜反射，能显出物体变大，性质相同者也一样。
十六
凸镜透照大物形者，以有镜线交能生诸限故也。凡交内能大物者，当交则大极，过交渐昏，昏极至于不可见，复渐清而倒，渐清渐小矣，〔1〕同理者亦然。凡镜线有交者，照物能倒物象，对光亦能取景，同理者亦然。
【注释】
〔1〕这是一个典型的人眼直接观察凸透镜成像的全过程实验。先是物体位于焦距以内，看见放大虚像（“交内能大物”）；增大物距无限接近焦点时，成最大虚像（“当交则大极”）；过了焦点，虚像消失，透镜与眼睛联合所成之像落在视网膜之前，为模糊的正立放大像（“过交渐昏”）；透镜所生缩小实像落在眼睛前焦点上时，眼睛只能看见平行光（“昏极至于不可见”），此后是透镜和眼睛联合生成越来越小、越来越清晰的倒像（“渐清而倒，渐清渐小”）。
【译文】
凸透镜透照能放大物形，是出于有镜光线交能产生各个限的缘故。凡是在交点以内能放大物形的，正处于交点就大到极限，过了交点就逐渐模糊，模糊到极点以至于不可见，然后又逐渐清晰并且颠倒，接着就不断清晰同时不断缩小，性质相同者也一样。凡是镜光线有交点的，映照物体能颠倒物像，迎着光也能［聚焦］取影，性质相同者也一样。
圆凸〔1〕
一
镜本平面，滂沲四〔2〕，乃成凸形。故谓凸在中央、以次渐杀者，指凸之一镜言则可，指凸之真形言则大谬矣。何者？
凸镜多截球体，故中厚而边杀，然其真形实出于球。球，自圆心至界，任作半径线，无度不等，则何处不凸？如有一点未凸，即不中规，而凸不可用矣。
【注释】
〔1〕圆凸：球面透镜中的凸透镜。
〔2〕滂沲（pāng tuó）四（tuí）：形容四周向下崩塌。《周髀算经》：“北极之下，高人所居，六万里，滂沲四而下。”滂沲，雨大貌。，倒下，崩溃，降下。
【译文】
镜片本来是平面，四周崩塌下去，就成了球凸的形状。因此，说它凸起部位在中间、［外围］相继削减，相对一枚镜片而言是可以的，如果是相对球凸的真形而言就大错特错了。为什么？
凸镜多半是从球体截取的，所以中间厚而周边削减，然而它的真形来自球体。球体，从球心到边界，任意作半径线，没有［哪一条］尺度不相等，那么何处是不凸的呢？如果有一点没有凸起，就不吻合圆规，而凸镜就不能用了。
二
凸之浅者，宜无过一度；其深者，宜无过三百六十度。然镜之镜物，未有用球者，特截其中一弧而已。欲较其浅深，量取则难，惟以顺收限为主。圆理九。今业镜者谓之“几寸光”。凸愈浅，限愈长；凸愈深，限愈短。故又名以凸深限。今以球径一寸，验其深限，不止一分。依显，凸镜一寸，深限无一分者，不然能无椭乎？故欲求作凸镜，深限一二分则非小不能。
【译文】
浅的凸透镜，最好不小于1度；深的，最好不超过360度。但是用镜片照物体，没有用球体的，只是截取其中一个弧面而已。要较量它的深浅，测量起来比较难，只能着重凭借顺收限。“圆理”第九条。当今经营镜片业的人称之为“几寸光”。凸透镜［度数］越浅，［顺收］限越长；凸透镜［度数］越深，［顺收］限越短。所以又称［顺收限］为凸透镜的深限。取球径1寸的凸透镜，测量它的深限，不止1分。由此可知，球径1寸的凸透镜，没有深限是1分的，否则岂不成了椭圆？所以要制作凸透镜，深限要短到一二分就只能做得小才行。
三
通光凸，有一凸，有两凸。两凸者，两面皆凸，必合两面为力。须分别论之。今一凸者名单凸，两凸相等者名双凸，两凸不等者名畸凸。〔1〕
【注释】
〔1〕郑复光对凸透镜的分类跟现代光学基本一致，此处的单凸、双凸、畸凸分别对应于现在所谓的平凸透镜（plano-convex lens）、对称双凸透镜（symmetrical double-convex lens）、不对称双凸透镜（asymmetrical doubleconvex lens）。
【译文】
凸透镜，有一凸，也有两凸。所谓两凸，就是两面都凸，必定是两面合起来起作用。［各种情况］需要分别进行论述。现在将一凸的命名为单凸，两凸相等的命名为双凸，两凸不相等的命名为畸凸。
四
凡通光者，受光有两景。一为面受光，一为背受光所透。镜资二。故凸之面与含光凸等，其背所透与含光凹等。然镜能鉴景，凸亦有景。原景九，原镜九。凸反景成凹象，凹翻转又成凸象。故对照虽有凹理，而透照仍为凸用也。
【译文】
凡是凸透镜，都因反光而有两个影。一个由正面反光，一个由背面反光映照出来。“镜资”第二条。所以凸透镜的正面相当于凸面镜，它的背面相当于凹面镜。而且镜面能照出影像，凸面也有影像。“原景”第九条，“原镜”第九条。凸面的反面影像呈凹形，凹形翻转又呈凸形。所以反射时虽然具有凹镜的性质，透射时仍然是凸镜的作用。
五
凸镜光线因环面生交，故其透出能收光为顺收限。又缘镜能发光，侧出倒射亦能收光为侧收限。此两者因环面为大小，亦因光体为大小；因环面为长短，亦因远近为长短。〔1〕至其定限〔2〕，则侧收限必短于顺收限者，透照与对照其势殊也。
【注释】
〔1〕按：正如“取景”一词的多义性一样，此书常以一词用于多种类似情景。顺（侧）收限虽被定义为焦距，但有时也泛指一般的会聚生成缩小实像的情况，顺（侧）展限有时也指一般的投射放大实像的情况。此处称顺收限的长短因光源的远近而改变，系泛指。而对应于透镜“深力”的顺收限，则确为常数，因此才有“圆率”一章中的那些确定的数量关系。
〔2〕定限：即有“常数”的含义。
【译文】
凸透镜的镜光线因球面而形成交会，所以透出时能收敛光束形成顺收限。又由于镜体能发［反射］光，从侧面出来反向行进也能收敛光束形成侧收限。这两种收限的大小取决于球面，也取决于光源；其长短同样既取决于球面，也取决于光源的远近。至于它们作为定限，则侧收限一定比顺收限短，这是由于透射和反射的具体情势不一样。
六
凸镜三种，各具两面，立名以资后论。双凸，两面既等，任以一面名正面，其一面即名余面。畸凸，一深一浅，深面名正面，则浅名副面。单凸，一凸一平，而平面亦有凸景，凸面名正面，则平名景面。凡双凸，正面侧收限一，余面亦一，其顺收限四。单凸，正面侧收限一，景面必三，〔1〕其顺收限六。故侧收与顺收两限相求之法，皆以正面为主。双凸以四为率〔2〕，单凸以六为率。侧求顺，则以其率乘之；顺求侧，则以其率除之。唯畸凸正面与副面无一定之分数〔3〕，则无一定之率数；须先以正求副〔4〕，得其分数，乃可求其率数。〔5〕详见下条。
论曰：
镜面既两，如单凸，甲面金石丝，乙面竹甘匏，〔6〕则甲面有金木丝对弧景，对弧而生，名对弧景。此甲面景也。乙面既受光，有竹土匏对弧景，但形为竹土匏，必缩而附于竹甘匏平面内。〔7〕原景十。又，乙面有竹土匏弧景，亦必反照，而有竹革匏对景景，对景而生，名对景景。此乙面景也。然则一凸面三凸景，共成四凸。（图32左）
图32
依显，双凸，则甲面有子卯丑景，乙面有午辰未景，而子申丑、子戌丑、午亥未、午酉未，共成八凸。景各有所附，不可图，〔8〕以横书为识别。透照之虚景无权者，其力一，则对照之虚景当权者，其力必八。两面为八与一，则测其一面必四与一，故率用四也。（图32右）
单凸，凸一而景三。故透照之虚景无权者，其力一，则对照之当权者，其力三。然单凸之凸面，视双凸减半，则单凸之力亦必减半。力减半者，限必加倍，故率用六也。力三，加倍得六。〔9〕
双必合两面为力，推其测数，准七五折。力八与六若一百与七五。
又论曰：
双凸之凸，所以知其有八者，证以单与畸也。盖镜以光为用，而光照于面，面虽无厚，能含远近各景，原景十。故物有几色，则镜之面亦几形。镜有两面，通光面透背景，故一镜具有两面。则物之景见两象。盖畸凸与两单相并之理同，而畸之向光为一面，畸之出线〔10〕为一面，其凸力八，皆附于出线之一面。两单相并，其向光为一面，其出线则两面，向光之面不能出线。故凸力亦八，乃分附于出线之两面。是以推算之理，原可通于畸，而推算之法，则畸为又别也。
如一图（图33上），为畸。乙向光，则丑受景，出午线，而乙不与。丑向光，则乙受景，出庚线，而丑不与。
图33
二图（图33下），为两单并。其乙与丑无异也，然各有一正面、一景面受光，而有长短两种线矣。
【注释】
〔1〕单凸平面向光时，第二表面为向光的凹面，故能反射聚焦，产生侧收限；而凸面向光时，凸面的反射光发散，第二表面为平面，为什么也有侧收限？然而这个侧收限是实际存在的，光线先由第一表面（凸面，即正面）折射进入镜体，在第二表面（平面，即影面）上反射，再经第一表面折射出来而会聚。如图：
图34
可根据“圆率”第一条注〔2〕中的（1）式计算出，，S影=r，即正面侧收限S正为1时，影面侧收限S影为3。由此可见，郑复光对透镜的定量研究是很有深度并非常精确的。
〔2〕率：在中国古算中一般指与他数相关的数。比如此处，双凸透镜的两面侧收限之比为1:1时，顺收限是侧收限的4倍，这是一组固定关系，有“定律”之意。“以四为率”客观上相当于双凸透镜的侧、顺限之间的换算率为4，即顺限是侧限的4倍。同理，单凸的换算率为6。
〔3〕分数：此处指透镜两面侧收限的比例关系，如双凸为1:1，单凸为1:3。畸凸则为二者之间的任意比值，故“无一定之分数”。
〔4〕以正求副：指以正面侧收限除副面侧收限，求得倍数。见下条。
〔5〕此条和以下几条，论及凸透镜除了具有透射的焦距（顺收限）之外，两个外表面同时还有反射面镜的作用，因此也有反射面镜的焦距（侧收限）且同一镜片的两种焦距之间有确定比例，可以互求。郑复光通过实验和插值法得出互求公式，并以换算率表的方式表示。这种数量关系，是郑复光“算术光学”的一大创造，具有很高的合理性和正确性，详见“圆率”章及相关注释。
〔6〕如之前使用“天干”、“地支”、“二十八宿”等一样，此处以“八音”（金、石、土、革、丝、竹、匏、木）加“五味”中的“甘”为标注符号。
〔7〕郑复光一方面完全清楚反射影像的位置对称于物体，另一方面又依据中国古代“内光”“含影”的学说，认为像的位置“含”在镜面之内。
〔8〕此指各个虚像各自附着在镜面上而产生重叠，无法在图示中适当地加以分别。
〔9〕在以上论述中，郑复光试图解释，为什么同一枚透镜的顺收限比侧收限长，且有确定换算率。单凸的换算率为4，即单凸的顺收限是侧收限的4倍，亦即透射深力为反射深力的四分之一。双凸的换算率则为6。郑复光在实验中发现凸透镜的两个表面互相反复成反射影像，他认为这些影像对反射的深力有贡献，而对透射没有贡献。于是通过如上一系列猜想，对“单率4”和“双率6”作出解释。
按：此条反映出《镜镜詅痴》的基本状况：丰富和精细的实验，难能可贵的定量规律，缺乏折射模型的困境。由上文可以注意到：1. 准确地观察到透镜的两个表面互相反复成像的现象。2. 顺收限和侧收限之间的换算率是正确的（详见“圆率”第一条及注）。3. 将凸透镜透射聚焦（顺收限）和内表面反射聚焦（侧收限）的聚光能力不同的现象，解释为多重影像的作用，这与现代几何光学从折射和反射角度作出的解释不符。
〔10〕出线：发出光线，但该光线特指形成侧收限的光线，即反射聚焦光束的两条轮廓线。
【译文】
三种凸透镜，都有两个表面，分别确立名称以备后面论述时使用。双凸透镜，两面既然相等，将任意一面叫做正面，另一面就叫余面。畸凸透镜，一面度数深，一面度数浅，度数深的一面叫做正面，度数浅的一面就叫副面。单凸透镜，一面凸一面平，但平面也有凸的反影，凸面叫做正面，平面就叫影面。凡是双凸透镜，正面侧收限为1时，余面也是1，相应的顺收限为4。单凸透镜，正面侧收限为1时，影面必定是3，相应的顺收限为6。所以侧收和顺收两个限互求的规则，一律以正面为准。双凸透镜以4为换算率，单凸透镜以6为换算率。通过侧收限求顺收限，就以换算率乘侧收限；通过顺收限求侧收限，就以换算率除顺收限。然而畸凸透镜的正面和副面没有一定的比值，［顺限和侧限之间］也就没有一定的换算率；必须先以正面侧收限除副面侧收限，得到两面的比值，才可以求它的［顺限和侧限］换算率。详见下条。
论：
镜片既然有两个表面，以单凸透镜为例，甲面为金石丝，乙面为竹甘匏，则甲面有金木丝对弧影，对称于弧面而生，所以叫对弧影。这是甲面的影像。乙面既然反光，就有竹土匏对弧影，只不过形状是竹土匏，实际上一定收缩而附着在竹甘匏平面内。“原景”第十条。另外，乙面既然有竹土匏弧影，也一定反射成像，而形成竹革匏对影影，对称于影像而生，所以叫对影影。这是乙面的影像。这样的话，就是一个凸面有三个凸影，一共形成四个凸面。（图32左）
显然，如果是双凸透镜，则甲面有子卯丑影，乙面有午辰未影，继而［反射生成］子申丑、子戌丑、午亥未、午酉未，一共形成八个凸面。这些影像各自附着［在相应的表面上］，无法分别图示出来，以横放的符号加以辨别。透射时虚影不起作用，深力为1，那么反射时虚影起作用，深力必然是8。两面［加起来］是8比1，那就可以推测出单是一面必定是4比1，因此把4作为换算率。（图32右）
单凸透镜，凸面有一个而虚影有三个。所以透射时虚影不起作用，深力为1，那么反射时［虚影］起作用，深力是3。但是单凸透镜的凸面，相对于双凸透镜要减半，于是单凸透镜的深力也必定减半。深力减半，收限必定加倍，所以把6作为换算率。深力为3，加倍得6。
双凸透镜必定是两面一起合成深力，推算它的数值，折合七五折。深力8比6相当于100比75。
又论：
双凸透镜的凸面，之所以知道有八个，是通过与单凸透镜和畸凸透镜对照求证而得。镜片以光为作用，而光是照在面上，面虽然没有厚度，但能含纳各种距离的影像，“原景”第十条。所以物体有多少种，镜面上就有多少个形象。镜片有两个面，透镜正面映出背面的影像，所以一个镜片具有两面。物体的影像就会出现两个。畸凸透镜在性质上等同于两个单凸透镜合并，然而畸凸透镜朝着光的是一面，它发出光线的是另一面，它的凸力为8，都附着在发出光线的一面。两枚单凸透镜合并，它朝着光的是一面，发出光线的却有两面，朝着光的面不能发出光线。所以凸力也是8，于是分别附着在发出光线的两个面。因此，推算的原理，本来可以和畸凸透镜相通，但推算的规则，畸凸透镜却是另一种。
如一图（图33上），为畸凸透镜。乙面朝着光，则丑面反射影像，发出［会聚于］午的光线，乙面不起作用。丑面朝着光，则乙面反射影像，发出［会聚于］庚的光线，丑面不起作用。
二图（图33下），为两枚单凸透镜合并。乙面和丑面［与畸凸透镜的情况］没有差别，但各有一个正面、一个影面发生反射，就有了长短不同的两种光线。
七
畸凸正面一寸，其副面自可任长之。然长至三寸则为单，短至一寸则为双，不成畸矣。故双与单即为畸凸限两界，而其率亦可推求。其法：先以正除副，得其倍数。夫双凸余面得正面一倍者，其率为四；单凸景面得正面三倍者，其率为六，则畸凸副面得正面二倍者，其率必五。盖一倍与三倍之中数为二倍，而四与六之中数则五也。然则由二倍而减至一倍一者，其率必为四一〔1〕；增至二倍九者，其率必为五九可知也。〔2〕余仿此求之。
解曰：
以数明之。如单凸，正面侧限一寸，顺限六寸。若并一单，使正面侧限二寸，则顺限必加深而杀于六寸矣。以推之畸，将毋同乎？然两单相并，其侧限是分测所得，畸正面与副面是合测所得，正、副联体，举一并双。设平其一，则限变长。故并两单以证畸，可以明加深之理。而用以求率，则畸与双、单，例自相通。而两单相并，另为一支。详后“圆叠”。
【注释】
〔1〕“四一”和下面的“五九”是古代对小数的写法，意为4.1和5.9，而非41和59，后者则称“四十一”和“五十九”。
〔2〕以上双凸透镜和平凸透镜的焦距（顺收限）和内表面反射焦距（侧收限）之比，是实验测量的准确数值；不对称双凸透镜的比值用线性插值法计算。详见“圆率”第一条注释。
【译文】
畸凸透镜的正面［深限］为1寸时，副面本来可以有任意长度。但是长到3寸就成了单凸透镜，短到1寸就成了双凸透镜，不成其为畸凸透镜了。所以双凸透镜和单凸透镜就为畸凸透镜限定了两头的界限，同时它的换算率也可以推求。其方法是：先以正面［侧收限］除副面［侧收限］，得到它们的倍数。双凸透镜的余面和正面为1比1时，换算率为4；单凸透镜的影面为正面的3倍时，［顺限和侧限］换算率为6，则畸凸透镜的副面为正面的2倍时，换算率必为5。因为，1倍和3倍的中间数是2倍，而4和6的中间数就是5。这样的话，就可想而知，从2倍减少到1.1倍时，换算率必为4.1；增加到2.9时，换算率必为5.9。其余情况仿照这个规则来求取。
解：
以实际数据来说明。设有一单凸透镜，正面侧［收］限为1寸，顺［收］限为6寸。如果把它和另一枚单凸透镜叠在一起，使正面侧［收］限变为2寸，则顺［收］限必定加深而小于6寸了。把这种情形推广到畸凸透镜，难道会有不同吗？只不过两枚单凸透镜叠合，两个侧［收］限是分开测量所得，畸凸透镜的正面和副面［侧收限］是合在一起测量所得，正、副两面连为一体，拿起其一就兼有一双。假设把它的其中一面削平，限就变长。所以叠合两枚单凸透镜来求证畸凸透镜，可以明了加深的道理。而用来求换算率，则畸凸透镜与双凸透镜、单凸透镜，规则自然相通。至于两枚单凸透镜叠合，另是一个话题。详见后面的“圆叠”章。
八
凸镜线不可见，借光原光三。乃见。一在发光，原光三。一在晕光，原光十八。皆于取景征之。〔1〕
解曰：
发光兼含光、通光镜两种而言。〔2〕取景者，侧收限所用也。如单凸，以平面对光体，或日或灯。稍侧之，以纸蒙板片，取其洁白，或白板亦无不可。切镜稍离，用承其光，渐离渐小，小极即见倒光象，是为侧收限。过限渐大而淡，无复光象，徒发光而已。（图35）
图35
晕光专指通光镜一种。取景者，如单凸，以凸面正对光体，板承其下，切镜渐离，镜透之光镜圆则圆，镜方则方，光随乎镜，则方圆不等，皆同镜形。渐离渐小，小极即见倒光象，是为顺收限。过限渐大而淡，无复光象，与侧收限同。再离渐暗，至倍限则见镜黑景，原景九，原镜九。更远则黑景外见虚光，愈远愈大，此晕光也。〔3〕缘日大而远，故景与镜略相等。若光小于镜，则景渐大。若光大而近，则景渐小。原景六。而晕光则恒大者，出于镜线侈行故耳。凡此皆诸凸所同，专言单凸者，取其于收光之理易见也，观图自明。依显，光线必有镜线为之根。（图36）
图36
【注释】
〔1〕郑复光认为一切光学系统必借光，因为它们不是自己发光的“本体之光”，只有在借光之后才发生光学行为。此处的“发光”则专指反射。“晕光”，按下文，指透镜被投影时的半影区。 “取景”一词也在此明显表现出多义性，既专指聚焦，也泛指一般的取得影像的行为。
〔2〕此指反射聚焦成像有反光镜反射和透镜表面反射两种。
〔3〕此时像屏（板）上所见不是光源的像，而是镜片的投影。“黑影”为本... -->>
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