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如何关系于其他之数项，只须对此为主词之数项为真。若此主词自身之涵义中，无此宾词之涵义，则此宾词不得对主词为真。此即见一数学命题，似必须为一分析的命题。如说三大于二，则此大于二之意义，似必须为三自身之所具，而可由“三”之意义中分析而出者。然数之自身，若说为由构造而形成，又可说为由次第加一，更综合之于以前之数所形成，而非只由分析其前之数之所成者；则由数而次第形成之数学命题，亦必有非由其先之数所合成之数学命题中，所可分析出者，而为不断增加于以前所有之数学命题之上，而综合地形成者。康德即依数之由不断综合而成，以说数学命题为先经验之综合命题者。然此所谓先经验之综合命题，在现代数学家则由其可以证明，而其证明之之道，不外本之于吾人先承认之数之定义与运用此定义之规则等，而谓其亦是分析命题。如二加二等于四，即可本来布尼兹之意，谓可由吾人对二与四之定义，加以证明。如由四之定义为三加一，三之定义为二加一，并依三加一之三，可以二加一代替之之规则；则四为二加一加一。而二之定义正为此一加一；更依二可代此一加一之规则，而四为二加二，再依移项之规则，而二加二为四。康德所举之七加五等于十二，亦可由此类似之方法以证明。凡数学命题之真者，应可证明，凡可证明者，必有为其前提之数学命题，而此前题之所由构成之数之概念或名项，必有定义，与为前题之前提之第一前提，是为公理。此定义本身，亦可视为一前题，而以定义公理为前提以推结论，必有推论之规则，亦即运用此定义公理之规则。则一切数学命题可证为真之根据，只在数之概念或名项，有如何如何之定义，与其最初设定之公理为何，运用定义公理或推论规则为何，而此等等皆可由追溯数学命题之如何次第证明，而加以发现者。由此而一切数学命题，亦即皆可由此以发见其中之数之原始定义，与所设定之原始公理及规则，而今更由定义、公理与规则，以推演出其涵义，即可更形成此一切命题。则此一切命题，自当为由此定义、公理、规则，所演绎出来之分析命题。
此上之一说，乃由诸可证明，或已证明为真之数学命题，再返溯其如何次第证明而成立之说。然于此首须知吾人并非必须先知有数学命题，而可先只知有数，更由对数之关系之发见，始建立一数学命题。此由数与其关系以建立数学命题，则明可为一综合的历程。如吾人于七加五等于十二加以证明时，固可说其为分析的。然吾人先只知有七，而说其加五，乃等于十二，则此明是于吾人先所知之七之意义上，加一意义，此岂不可说为综合的?由此以观吾人之于二说其为加二等于四者，于三说其为大于二者，亦同是一综合的历程。其次，复当知吾人亦非必须于数学命题被证明为真之后，然后方思得一数学命题为真，或方思得一数学命题与另一数学命题之同时为真。吾人之由思一数学命题为真，更思另一数学命题之亦为真时，此中之思想历程，亦可只为综合的，而非分析的。譬如吾人谓二等于四减二，二等于六减四，此二命题同时为真。然此二命题，初不能互分析出。因“四减二”与“六减四”，乃不同之概念。于此二命题初同时为真，吾人亦初不必本数学中公理法，如由六、四、二等之定义及其他数学规则等，加以证明，然后知之。吾人所以知此二命题之同时为真，可唯以吾人于六有减四之运作，及于四有减二之运作，皆见其结果为二；以知之。吾人于是可由其一之真，以推另一之真，谓六减四等于四减二。此纯为逻辑之推论，亦为纯分析的推论。因此同时为真之义中，即有六减四等于四减二之义故。但在吾人未说其同时为真之前，而由四减二等于二，思及六减四等于二之时，则由四减二之思想历程，至于六减四之思想历程，却必为综合的。唯对六有减四之运作或演算，与对四有减二之运作与演算后，其结果皆是二，二等于二，由二可分析出二；而后吾人可说六减四等于四减二，而此六减四之等于四减二，乃可说是分析的。由此以观此整个之由六减四至四减二，至知其皆等于二，二等于二之一历程，即为先有综合后有分析之一历程，不能说其只为一分析的历程。在知其为分析的时，可说于“六减四”等于“四减二”，有证明；在未知其为分析的时，则无证明。然在无证明之时，“六减四”与“四减二”，已有同一之数值，“六减四等于四减二”已为真。此中吾人之由“六减四”，思及“四减二”，即综合的思有同一之数值之“二种数之连结关系”。此“六减四”与“四减二”之二种数之连结关系，并不同类。然依此二种数之连结关系，以有二分别的演算之后，知其数值皆为二，二等于二，则为同类。而此一整个之历程，即是由先思其中之“六减四”与“四减二”之不同类，更由演算以见其值之同类之历程也。
循此上之说，以观数学之命题之次第出现于人心，即不能说其自始即是出现为一分析命题，而可出现为同时并真之诸命题。吾人之由一命题，以思与之并真之其他命题，其数可无定限。如吾人可由“四减二”，而知其与“六减四”、“八减六”、“一加一”、“四之平方根”、“八之立方根”……等，其数值皆是二，而人说此等等之值为二之诸数学命题，即同时并真。而此“二”即分别为此诸数学命题得同时并真之共同根据。然吾人于此，却不必先有其证明。此证明，初唯由吾人之先回思：此二为一加一所构成，四为二加一加一所构成，此六为四加一加一所构成，四又同为二之乘方所构成，八为二之立方所构成；既知此不同之构成数之方式，可有种种不同数之出现，与不同数之诸关系之出现；更逆此构成之历程，而由此诸关系，各观其反关系，更顺此诸反关系而演算，方可知：四减二、六减四、四之开方、八之开立方，皆等于二，遂可谓“说此等等之值为二”之诸数学命题皆真。此不同之构成数之方式，为综合的。则逆此中之构成历程，而由其中之关系，见其反关系，而有之不同之演算方式，皆为综合的。今吾人构成数之方式，若再加一个，则演算之方式，亦可再加一个。若对吾人之综合的构成数之方式，不能加以限定，则对所增加演算之方式，亦不能加以限定。在综合的构成数之方式有限定处，吾人可反省出其如何构成，而知其构成之规则与基本的概念或名项之定义、基本的公理，则此所构成之一切数，与数学命题，皆可以此规则概念公理等，加以证明。凡用不同方式构成之种种数，若吾人能分别知其规则、概念名项之定义、公理，则可知其规则、概念、名项之定义、公理，之是否相类，并知此所构成之种种数，当如何加以演算，方可有共同之值；而后人于说其值之共同与否之命题，乃皆可加以证明，并证明其为由此诸公理、概念、名项之定义、规则中所可分析出者。此即数学中之公理法之所以可用。凡用公理法所证明之数学命题，亦皆可说为分析的。然一切公理法所设定之公理，必为有特定内容者，其涵义亦为有特定内容，而有其所不涵之义与排斥之义者。则此一定之公理等，所能推出之全部数学命题之系统，即仍为限于一定范围，而对此范围外之命题，则不能有所说者。若欲有所说，则须本于此公理等原所不涵之义及排斥之义，而造成系统内之矛盾。吾人即不能用此公理法，以谓任何由公理法所决定之系统之外，无其他真的数学命题。实则，自人之综合的构成数之方式，可无限定，其演算之方式，亦可无限定处看，则其次第依加一而构成之数之“数的关系”，而增加之演算方式，所成之数学公式、数学命题，即只能为一次第之综合的历程。而此中次第构成之数学公式、数学命题，亦即必有具数学的真理，而非先根据已有公理等，加以推演出或加以证明；而唯是由人之直观一数学关系之存有而构成，亦唯由人依之而演算之结果，为某一数值，而后知此公式命题之对此值为真者。数学之世界之所以可有不断之创造性的发现，恒正赖于此。如人由知二等于一加一，至知二为四之平方根与八之立方根，即对数之真理多一创造性的发现，多一综合性之思维。凡知一数为与其他数有某一关系之数，至知此同一之数又为一与其他一数，有另一关系之数，而知分别由其不同关系，以形成真的数学命题，皆是对数之真理之创造性所发见，或一综合性之思维也。
吾人若了解吾人对一数与其他数之关系之外，更可由综合的思维，以创造地发见此同一之数与另一数之另一关系，则此同一之数所有之此二关系，即不同类，而二关系中皆有此数，则为同类。数学中之创造的发见，即皆为由同类之数，以发见其不同类之关系，而由不同类之关系中，发见有同类之数之事。人在数学中，恒有只见关系之不同类，而不知其有同类之数之情形，亦有见同类之数，而不知其可入于与他数之不同类之关系之情形。故人恒于此持举某一数，而问：其与在何种之不同关系下之某其他数，可经由某一之演算方式，以见其为同类，而等待此不同关系下之其他数之呈现于人心。此正有类似于人之对现实事物，虚举虚持一数，以等待可用此数于其上之现实事物，而不知此事物之情形。但又略不同。此乃是虚举虚持一数，以等待其可能与之成为同类之某其他数，而不知此数为何之情形。此即形成一数学中之问题之情形。如吾人问：任何偶数，是否皆可分为二素数之和?此一数学之问题，即问任何偶数，是否皆有二素数之和，与之同值，而在有此同值上，与之为同类。又如问：是否有一奇数为一完全数（Perfect Number?）所谓完全数，即数为其一切除数之和者。如六之除数有一、二、三，而六为一、二、三之数之和，故六为完全数。又二十八之除数，有一、二、四、七、十四，而二十八亦适为此诸数之和。故二十八为一完全数。然二十八是偶数。 [5] 今问是否有一奇数，亦为一完全数?则初为人所不知，而亦只为一数学之问题。然此问题，亦即问：除偶数之为之完全数者之外，是否有奇数亦为完全数，而与偶数之为完全数者，为同类?凡此问一类之数，是否其外更有与之相类之数，皆为只直接分析此一类之数之意义，所不能加以答复，而必待人之求于其外之综合性的思维者也。
吾人以上之论数学，在根本义上实极简单，即人若纯自其数学命题已证明者上看，则对此一切已证明之数学命题之如何证明，加以反省，人皆可为之造一公理系统；而以此一切命题，皆本此诸公理、概念或符号之定义与推论原则，所演绎出之分析命题。但以数学中之命题，有未被证明而仍为真者。而人之知其为真之时，亦初非必然已有其证明者。则数学之命题，不能说为皆由此公理法，所已决定其真或假，亦非可只视之为由公理、概念符号之定义等所演绎出之分析命题。而当自吾人之可由一真数学命题，以更求知与之同为真、非由之直接推出者之命题，即见此数学中真命题之次第发见，依于一综合性的思维，亦不断有综合的真命题之形成者。至于人在数学之思维中，于一真命题，更求其证明之事，亦即不外求得与此一真命题同时为真之其他命题之结合，以见其有同一之真值，而在有同一之真值上为同类之事。今克就一真命题得证明之处以观，则凡得证明之命题，即皆如由为其前提之原始之公理等演绎出之分析命题者。于是此数学之心灵之由知数学之诸真理，更求其证明之历程，即为一“由综合不同类之命题，更求见其为同类，而为可互相分析而出之命题”之历程，而其所运之境，即为以综合与分析，交相为用，以于数学命题之不类者中，观照其相类者而成之境。而对此境中之命题，若只以之为综合命题，由直观而得，与只以之为分析命题，由逻辑之推演而出，或于其中只见有一一不相类之命题，与一一皆为同类之命题，即皆为一偏之论，而未见此数学命题之世界，为观照心所运之不类而类之境者也。
七 几何学与观照凌虚境
几何学别于数学。数学之基础在一般之自然数，几何学之基础在一般之形量。形量有范围，即有区域，区域之方向，为形向。人之知构造自然数之系列，更于一一时间之段落地位中，应用一一数于所经验之事物，与此事物之次第生起，皆是在一次第之时间历程中。人之知一物有形量，除于时间中知之外，更可同时直观一形量之全体，于空间之某一地位之中。然数之构造与应用，在时间历程中，无碍于此所构造出之数，可遍用于一切时间空间中呈现之事物，而有其超时间亦超空间的普遍意义，以为人之观照心之直接所对，而不见“数”之在时空；亦如人之直觉一形量之全体，初乃于空间之某一地位中直觉之，无碍于此所直觉之形量，可遍用于一切空间时间中呈现之事物，而有超空间，亦超时间之普遍意义，以为人之观照心之直接所对，而不见此形量之在某时空。几何学之不能说只为一空间之学，亦如数学之不能说为一时间之学，而当说为：由物在空间中邻次呈现，而人知构造种种形量，将此种种形量，自物与空间游离脱开，而四无依傍，以更观照形量间之关系之学。如数学之为由事物在时间相继呈现，而人知构造种种数，将此种种数，自事物与时间游离脱开，而观照数与数关系之学。故此中之观照心，皆在时空之上一层位运行，亦皆在吾人所谓感觉互摄境之上一层位运行，其应用此所知之数之关系与形量关系，于时空中之事物，则为其居上层位，以通至其下层位中事物之事。吾人固不可以有此事，而自下观上，以谓数学、几何学为时空之学，然亦不碍吾人之说此数学几何学之观照心灵，乃依时序、空位等，以形成其观照之所对，而更观照其关系所成之学也。
在人观照形量关系时，此形量之大小关系，似与数之多少关系相类。形量之可伸缩，如数之可加减；形量之可分合，如数之可乘除；形量之可相等，亦如数之可相等。形量之有其大小相等之关系，可容人知其关系，以定出几何公式、几何学命题，而可本之以对形量有伸缩分合之运作，以化一形量为另一形量；亦如数间之有多少相等之关系，以定出数学公式、数学命题，而可本之以对数有加减乘除之运作，以化一数为另一数。任何形量自身，至少可说是一形量；则此数之一，即可用于形量。由此而吾人如对一有大小之形量，设定另一形量为一单位，而以之计算此形量中所包涵之诸单位，即其中所包涵之诸一；则一形量之大小，即皆可以数之多少，加以表示。然任一形量中所涵之单位形量，又皆可伸缩，而变大变小，则当此单位变更之时，吾人以较少之数说之者，皆可以较多之数说之，以较多之数说之者，亦可以较少之数说之。由形量之单位之大小可伸缩，则对任一形量，皆可设定一单位，以计量之，使此形量等于一定数之某单位。任何一定之数，亦皆可由人所设定之形量单位之伸缩，而成一可以应用于任一形量之数，而任一形量，即皆可分为任何数之诸形量单位。如一形量等于一，此一形量，同时可以任何数除此一，所成之分数，表其一单位之量；而此一形量，即等于此诸单位之量之和，亦即等于再以此分数中之分母，乘此分数所成之乘积。由此而吾人可说任一形量，皆可以任何数计量之，而应用任何数以说之。此中之任何数，各为一定数，而彼此不同类。然在其可应用于一形量处，则又为同类。在单位不同之情形下，以一数分别用于不同之形量，而见此不同形量，皆可以此数计量之，而应用于其上以说之之时；则此诸形量，在形量上为不同类，而在其可以此数说之之时，即亦为同类。由此形量与数之交相为用，而一形量，即可化一切不同类之数，为同表此一形量之数之类；一数，亦可化一切不同类之形量，为同可以此一数表之形量之类。形量与数，即互为一“使不类者表现为相类者，亦使相类者表现为不相类者”，而“使类者兼为不类，不类者兼为类”之一原理。若有数而无形量，或有形量而无数；则一切数虽可由其自身之加减乘除，以由不类而类，然却不能有此由一切数之同可用以表一形量，所看出之一切数为同类；形量自身虽可由分合伸缩而成同类，亦无此由一数之可用于一切形量，所看出之一切形量之为同类。故此数与形量之交相为用，即在天地间增加一于不类见类，使类表现于不类之原理者也。
形量虽皆有数，数亦皆可用于形量，以有“形量之数”之概念；然形量之概念本身，毕竟与数之概念不同其类。数以多少关系为本，形量以大小关系为本。人说多少时，可进而知多者大，少者小，此乃化数为量之后之事。如不化数为量，不说此多者大与少者小亦可。人说大小时，亦可进而知大者多，小者少。此乃以数定量之后之事。若不以数定量，则不说此大者多，小者少亦可。人于一形量，设定一更小之单位，计其单位之数，而以数定量，乃是于一整体无内在分别之形量，造成一分别。则反之，而忘此中之单位之数，还只观之为一量，即由分别，再至无分别。故于大小说多少，即将无内在之数之分别之一大一小者之中，更起一数之分别；将多少化为大小，即将有内在之数之分别之一多一少者，化为无此数之分别者。形量不以数定之时，虽无内在分别，然一一形量之大小不同，仍有此大小所成之外在之分别。此大小等分别，在不凭数以设想之之时，即只为大者能包涵小，亦能掩盖小者，而小者不能包涵大者，掩盖大者之别。二物之大小之量，能互相包涵，亦互相掩盖者，则称为有同大同小之量或等量者。此形量，在不以数加以分别时，仍可自有其大小等之分别，即见数之分别，为人所泯除之时，形量之分别，仍不可泯除。人超越数之世界之分别之后，仍有一形量之分别所呈之世界分别在。在此义上，则形量之分别，乃较数之分别，为高一层次之分别，而更难于加以超越者。人之欲超越此形量之分别，若只取化形量为数之途，则为落到下一层之数学的几何学或量度的几何学之思想。纯由形量自身看其分别如何可由形量之伸缩分合，而成为等量，以通贯各不同之形量，而于其分别中见无分别，则为纯粹之几何学或描述之几何学，与投影之几何学之思想。此形量之世界之可视为上一层位之世界，更可由以数定量之量度几何学中，恒发现有不能以确定之有理数计之形量而说。如直角三角形之勾方加股方等于弦方。此中如设定弦方之量为四，勾方股方之量各为二。则勾股之边之长，不能以有理数计量，只能说其为 之无理数。此无理数所规定之量，则为不能确定的计算出者，此中之勾股之边，自各是一形量。其形量之乘方之和等于弦方。此乃一形量自身间之相等之关系，而可由几何学以证明其必然如此者。此中，若吾人根本不欲以数定勾股二边之长，则无此无理数之出现。吾人若分别就勾或股之量，可以任何之数定之而观，亦非必以无理数定其边之长。如吾人亦可设定勾股之边之长各为二，则二为有理数。然当吾人以勾股边之长为二时，勾方股方各为四，则弦方为八，而弦之长为8，又为无理数。人仍不能逃此一无理数之应用。此则由于在数之世界中，一数之乘方加另一数之乘方之和，不必为一确定的有理数之乘方，而此和，即无确定的有理数，为其方根；而一数之有有理数为方根者，再视之为二数之和，此二数亦不必皆有有理数为其方根之故。此乃由数之构造之原理，原非皆本于数之自乘之乘方之原理而构成，而兼依于加一数于一数或二数相乘而构成，即不能无此无理数之故。此可参考上节所说。然此无理数在数之世界中，亦有其一大小之关系。故人亦可以不同之无理数，表示不同之大小之量。故勾股之量为以 表之者，其量乃小于以 表之者。然过此以往，则无理数毕竟不能以之定一形量中之单位之数，而对人之定单位之数之目标，乃无所用者也。
此无理数，虽不能用以定一形量中之单位之数，然任何形量，可以无理数表示者，亦皆可变换其定量之单位，以有理数表示之，而可见此以无理数表示者，之等值于一以不同之单位定量，而以有理数表示之量。则数之世界中，虽有无理数，而量之世界中，则无一量之自身，可称为属于一无理数之无理量。纯自量之世界看，则一切量若不以无理数或有理数表示，其自身间，自仍有其大小或相等之关系，可由其量之相包涵与否之关系，而直接加以规定者。此即见量之世界，如浮升于数之世界之上一层位，而独立存在，以为一纯粹之几何学或投影几何学之所对。
此纯粹之几何学，可只以观种种形量之大小相等之关系为事，而构造出纯粹之形量概念，如点、线、面、体、三角形、圆形、方形、球形、立方体等，而见其相互之包涵与否等关系。依此等关系，对形量加以伸缩分合之几何学之运作，则为使各不同之形量，由不相类化为相类，由有分别以成无分别；或由相类而化为不相类，以由无分别而有分别；以使“一切形量出入于类与不类，分别与无分别之间，亦使一切不类而相分别者，皆由一无分别而相类之中而出，再还入其中”之枢纽。此正如在数学中之加减乘除之运作，为使一切数化为等值，更可由移项而相减，以等于零，而于此零中出入之枢纽。依此对形量之伸缩分合，以看一几何学心灵所运行之世界，即亦可说为一观照之境，而非可视同现实存在事物之境，亦非纯为人之主观自由构造之境，复非自为一超越的实在之境，再非只为一由几何学之概念或名项之定义公理，或推论规则，所合成之一几何学的公理法，所演绎出之一几何学的分析命题之系统矣。
此几何学心灵运行之境，非可视同现实存在事物之境，可证之于几何学中之形量，皆可用于任何现实事物，或无现实事物之处。人亦可思一形量，而虚提虚举此形量，以观照一切具此形量之事物，以至形成一以此形量之概念，观整个宇宙之哲学，如以直线进行或圆周进行观宇宙之哲学；而几何学中之概念内容，更明非必现实事物之所实有。几何学中之点线面体之概念，可纯由吾人之几何学的心灵，由任一设定之有量之形为起点，而依一定规则，向不同方向之空间伸展或缩进而形成。如由一点直向一方向前伸，而成直线；环绕而成圆，再将一直线向另一方向，平等横伸成面；纵伸此面成体，再缩此体成面，缩面成线，缩线成点。此皆人之所不难设想而理解之构成几何学概念之历程也。
然人之先胶执于现实事物之形量，以观此诸几何学概念之形成者，恒欲于现实事物之形量中，求此诸概念如何自其所观得之现实事物之形量中，次第抽象构造而出，则可有种种之问题。如先谓现实事物，皆是一有形体者，则面线点皆只是由形体中抽象而出者。然人如何可由一有体之形体，抽象出一无体之面、无宽之线、无长之点?自有体之形体之物抽出者，岂不可仍只有一有形体者?又吾人如何可想像无体之面、无宽之线、无长之点之存有，亦是问题。于是有哲学家谓此纯面线点，只是一极限之概念。此一极限处之面线点等，只是吾人可次第向之接近，而永不能接触者。如数学中之谓在有无穷次序之实数之全部系列之中，无论吾人如何向其极限进行，以求一与此极限之数差别更小之数，总有一与此极限之数，差别更小之正数。如前一数在此数之系列中之次序，可以N表之，即总有大于N之n次序之数，其与此极限之数之差别更小者。由此而人可说：对任一无论如何小的为正数之实数E言，皆有一大于此一正数之次序之整数N之次序n之实数，属于此系列之一项，可名为a n 者，其与极限之数之差别，更小于此E者，为极限之定义 [6] 。由此而人可说，面是吾人在体之一度量上，次第缩减，所辐辏之一极限，线或点为在其二度量，或三度量上次第缩减之一极限，而实皆永不能达之一极限，即皆唯是一虚构，以表此诸极限者。在实际世界中，固无无高之面，无无高与宽之线，亦无无长宽高之点也。然此说唯由人之必由有形体之现实事物之思维，以理解此几何学中之概念而形成。其意唯在对此诸概念，由其与现实事物之形体之关系处而了解。故转使人觉多曲折而难于了解。实则此诸概念，皆可循上文所提及之意，谓由人之几何学的心灵，以任一形量为一运动之始点，以形成。此任一形量为一运动之始点，即是点。其向一方向而伸，即成一直线，再将此直线，向另一或二方向而伸，即成面、成体；可伸者，即可缩，而再复其原。则体自可缩为面、为线、为点，而此点即原初之伸之始点。此始点，初可正为一有形量之物。然此中之线面体等，乃依于人之以此有形量之物，向一方向或二方向或三方向，而伸之所成，则初不关此有形量之物之自身。此中之线、面、体，即所以表此伸之为向一方向，或二或三方向等，而非表此为始点之有形量之物。则其由伸而缩，所缩者亦是此诸方向之伸，而缩回至一点，无向任何方向之伸，即无向任何方向伸而成之长宽高之量，而只有无长宽高之量之无量之量。此一点之无量之量，可称为一量，如零数之可称为一数。此一点之量之可称为无一切量，亦如零数之可说为其中无一切数。吾人之理解零之数，乃透过其中无其他数而理解，吾人之理解点之量，亦透过其中无其他形量而理解。然若自始无数之成，更观其被减而消除，则亦无零。若自始无形量之伸，而更观其被缩而消除，亦无长高宽之量之点。在此义上，零即为通过数，而消除数之数，而无数者，点即为通过形量，而消除形量之量，而无量者。故吾人可由零以观照其所以成零之故，在数之被消除；亦如吾人之可由点以观照其所以成点之故，在形量之被消除。零可为观一切数之相消除之一观点，如点之可为观一切形量之相消除之一观点。以零定事物之数，则事物之为零类者，非事物；以点定事物之量，则事物之只为一点者，亦非事物。存在之事物之量之不得为点，亦如存在之事物之数，不得为零。此亦同时证明此点与零之非具体事物，而只存于观照此零与点，或以之为观点，以观一切形量与数之相消除之心灵中者也。
此几何学中之概念如点线面体等，固由人心之构造而出。然既构造出，其间又有一定之必然关系，为一切人心或有心能观照之者，所同可次第知者。此必然关系，即有其客观意义。故人之循此点线面体之关系，有此客观必然意义看时，即可视此点线面体与其关系，合成一超越实在的形量关系之世界。然此说之不能立，亦正如数学中之超越实在论之不能立。因此点线面体与其关系，可为有心而能观照之者，所共次第知，而对之为客观必然，并不能证明其能离此次第知之之心灵，而独立为实在。其客观必然，亦唯对此知之之心灵之主体，为客观必然。至于其所以不能自成一客观实在之形量关系之世界之故，亦可自此中之形量关系，其非相等者，必有一互为对反关系相等者，则可互相包涵，亦互相掩盖，而相消除处说。盖凡有互为对反之关系之形量，人皆可循其一关系之反关系，对之加以伸缩分合，而还至一形量，以消除其与他形量之此关系。任一形量与其自身之形量相等者，则皆可以其自身之量减其自身之量，而使之成无量之一点。此正如数之不相等者，必有反关系，其相等者可由相等而相减以等于零。一数与他数有对反关系者，皆可循此反关系，以对他数加减乘除，以还至一数之自身；更以此数自减其自身，以等于零。零可说为数而无数者，点可说为量而无量者。无数，则无数之关系之独立实在，无量，则亦无一切量之关系之独立实在，而皆不可自成为一超越的客观实在矣。
复次，几何学亦不可只视为本几何学之概念、名项之定义、公理、推论规则，所成之公理法，所演绎出之一几何学命题或几何学公式之系列，亦不可说几何学命题皆分析命题。此概念、名项、公理、规则，乃人本其已有之几何学公式或几何学命题，而更反省其所自形成时之所发现。既发现之之后，更本之推演，自可再得此诸公式命题，而见其为分析的。然几何学之思维，初自为一“发现一形量与其他形量之关系，而见在不同关系下之不同形量，可由其伸缩分合，以成同一形量”之综合的历程。谓一形量与其他形量，有某关系，必对此一形量，加以一“关系于他形量”的宾词。此即对此形量之意义，有一增加的了解，而形成一对此形量之综合的命题。人谓一形量同时与其他形量有不同关系，即可同时循此不同关系，以同时建立不同的几何学公式或几何学命题，而使人可由其一之真，以见及另一之真，亦为一综合之历程。如吾人由直角三角形之弦之平方，而知其等于勾之平方加股之平方之量，显然为一综合的历程。此直角三角形中之勾股定理，在几何学中有种种之证明法。此证明之事，似皆为就已有之前提而分析出之事。然吾人亦非必须经此分析，然后能知此弦方与勾股方之和，有此等量关系。此等量关系，可初只由直觉之综合而得。此如二对角之相等，非必须由吾人之知此二对角皆为平角之减一角而成，方知其相等，乃人为原可直觉其对称而知其相等者。在直角三角形之形成中看，吾人可说直角三角形之弦，即由勾之线之一端，向股之线所定之股方向，运动伸展以达股之线之一端而成。吾人又可先设定勾股弦之线，各与其平方同时展现，则当人初只见有勾之线时，只有此勾之平方之展现。唯当此勾之线之一端，向股之线所定方向，运动伸展而渐成弦时，乃有此弦之平方之渐展现。然此弦乃由人依勾之线，向股之线运动伸展而成。勾有此向股之线之运动，股之线亦即渐展现于人前，而此股之线之平方，即与此弦之平方之展现，同时展现。当人转而将此弦循股所定之方向，再缩回其运动，以再同化于勾时，此股与股之平方又全隐；则证由弦之再同化于勾，而弦之平方同化于勾之平方时，其所缩减之量，同于股之平方之量；而弦之平方之量，即必当为勾之平方之量，加股之平方之量。此则不待证明，而人亦可直观弦方等于勾方加股方之一道。而实则人如自始无此类之直观，则何以会忽然念及此弦方之有等于勾方股方之可能，而更求证明之事，即不可理解。而人在几何学中之有种种创造性的发见之公式，亦皆当初是由人之有综合性的直观一形量之可能与其他不同形量，有等量或其他关系，而后此公式之发见为可能。此则皆不能依于人之就其原所知之形量及其公式，直加分析，或本之演绎，而可有者也。
然几何学之诸公式虽由综合性的直观而后发见，然亦不碍此几何学之诸公式形成之后，人可反省出其所由成之根据，其所本之概念，名项之定义、公理、推论规则等，而以公理法加以演绎，以使之成为一分析命题之系统，如数学中之命题之皆可由公理法，以使之成由数学之公理等演绎出之分析命题之系统。然人在几何学中，可有不同之概念与公理等之设定，而有不同之几何学，如欧氏非欧氏等，亦如数学中之亦可依不同之公理等，而有不同之数学系统。不同之公理等所定之不同数学系统，可由其公理等之原始意义之同异，而加以关联，以见不同数学系统中之公式之相对应而皆真。几何学中之不同之几何学，亦可由其公理等之原始意义之同异，而加以关联，以见不同类几何学中之公式之相对应而皆真。不同之数学系统，与不同之几何系统中之公式命题，即未尝不可互相转换，以见其有不同类之意义，而亦可有同类之意义之处。然人可依不同公理等，而有不同之数学几何学之系统，更可观其类与不类，则又见人之数学几何学之心灵，能综合地并观此不同公理等，与其所形成不同的数学几何学之系统，而位居于其上一层位；亦见任何由公理法所定之数学几何学之系统，皆不能谓其系统之外，无数学几何学之真理。然人无论如何造不同之数学系统，根柢上终不能离数之关系。人无论如何造不同之几何学系统，其根柢上不能离形量之关系。一切数之不同，皆可由加减乘除之运作，使之同；一切形量之不同，亦皆可由伸缩分合之运作，使之同。在此点上，一切数学系统即为彼此同类，一切几何学系统，亦彼此同类。在不同类之数或不同类之形量，皆可由人之运作，而使之同类一点上，数与量亦为同类也。在数学中有由减而成之负数，在几何学中有由缩而成之负量。在数学中有负数之平方根之虚数，在几何学中则凡在一坐标中，其为负号所规定之诸方向中之平方，其根之量，即皆可称为一虚量。数学中有函数。当一数为其他变数之函数时，可随此其他变数，以有不同之值，而其值可无定。而在几何学中，则有投影几何学。在投影几何学中，当一形量对一变化之形量投影，则其影亦有种种不同之形量而不定。吾人能加负数于正数，以观其数之和，即如于数减数之可归于无数之零。吾人如加相当之负量于正量，以观形量之和，即如于量减量之可归于无量之点。于一切可能有之正数，加可能有之相当的负数，则一切数归于无数之零。于一切可能有之正量，加可能有之相当的负量，则一切形量归于一无量之点。由数之可随他数，而变为任何数，一形量亦可由投影，而显为任何形量，则见一切数之可化归于一类之数，一类之数可化归于一切类之数；及一切形量可化归于一类之形量，一类之形量之可化归于一切类之形量。如人之以方形绘于眼镜之上，而一切形量投其影于眼者无不方，以圆形绘于眼镜之上，则此投影又无不圆。而就一切形量皆可由伸缩分合，使之成方、成圆而观，则任一方或任一圆之连于“对其外之一切形量之可能有之伸缩分合之事”，即可尽天下之形量，而化同之于此一方或此一圆而无余。若再缩此一方或此一圆于一点，则此一点，即虚涵一切形量之负量于其中，而可由之以观照一切形量之虚涵于此一点之中。此皆见几何学中之可化一切形量，以成为一与人心遥相距相望之观照凌虚境者也。