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五 数学中之美与数之意义与数之构造
上述人之文学艺术中之观照境之形成，在人之能直观一切类兼不类之性相。在音乐中人之能直感乐音之振动数之比例，即直观其类兼不类，而最见艺术境界之连于数。然其他在建筑、图画、雕刻中之形象之大小比例，亦莫不连于数。文学中一字之重复，与字句之长短、音节、韵律，亦莫不连于数。吾人于数之所以为数，亦即可连于文学艺术之观照与审美中之类兼不类之义，以说之。
人所形成之数，初为次序加一于零所成之一二三四……自然数之系列。自此系列由加一而成看，则数之形成，乃在一历时间之思想构造历程中形成。人对已成之数，更次第加以应用之历程，与可应用数于其上之客观事物，次第为人所感觉，皆在一时间历程中。故康德与今直觉派数学哲学，皆以数连于时间。然此数之形成之序，乃依一逻辑上理性上之先后，如必先一而后二。而数之应用之序，则可为主观心理上任意之先后，如先用二，而后用一亦可。而事物被感觉之先后，更可颠倒，如可先感觉为二之物，后感觉为一之物。此三者之形成之时间次序，即彼此不同，而此中之数之是一者恒是一，是二者恒是二。此即见数之为类之意义，乃可贯通于不同之时间之序，而见其超时间之序的意义；亦见数之先后之序，可直依逻辑理性而说，为理性之序，乃可不连时间而说，亦可不连主观心理与客观事物之时间之序而说者；知此，已可使人于数之类，数之序，只视若内外无所附着之观照心灵之所对，若凌虚而自在于一数之世界中者矣。
人依理性之序，而形成各类之数后；即可用之以定一类物中之个体物之数，吾人于依类成化境之论数，即以数之此义为中心而论。此为数之哲学之一面。数之哲学之另一面，则为关于不同类之数之如何次第构成，其次第构成之历程之相类处不相类处何在，表数之关系之数学之公式如何形成，以使数之种种运算成为可能之问题者。在前一面之数之哲学中，以数之指个体物之意义为中心，故可论之于依类成化境。在后一面之数之哲学中，则初唯以种种数之如何构成，与其关系，为所观，而于数亦不须连于人心中其他类概念，而有之指物的意义以说，则种种之数，只存于一观照凌虚境矣。
于此观照凌虚境中论数，更欲与上文之论美感之连于数之比例者，相衔接，吾当首说：人观数所自有之相类兼不相类之情形，即可形成一美感，如西哲之普恩加赉、怀特海，所已言及；而数之自身，亦可说有美与不美，或不同意义之美与不美之别。自然数之系列，依加一而次第形成者，其中亦有同时可视为依数之相乘以形成者。此数之由相乘以成数，即各以其自身之数，为其他“数之类”之数。如三乘四，即谓有三个四之类，四乘三，即四个三之类。一切数之相乘所成之数，即类与类之相乘所成之数。由此“数之相乘所成之数”，亦为在自然数之系列中之数，则吾人既已有由加一以形成自然数之系列，更有由数之相乘所成之数之类之后，亦可合此加与乘二者，以观自然数之系列之形成。则吾人可说：由加一于零以成一，为次序成数之始。而一乘一仍为一。再加一于此一，或加一于一乘一，皆成二。而以二乘一，或一乘二，亦只成二。于此二，再加一，则成三，更加一成四。然此四亦可视为二乘二所成，三可视为三乘一所成。于四加一成五，五亦可视为由二乘二加一所成。五加一成六，六亦可视为二乘二加二所成，或二乘三所成，……。则数由次第加一而成者，皆可说为乘数或加一于乘数之所成。此中凡可说数由乘而成之处，皆可说数为上述之类之类。然加一数于一数所成之数，则或只等于一乘其自身所成之数，或兼等于其他二数之相乘所成之数。此数之只等于以一乘其自身所成之数者，为素数，而其兼等于其他之数之相乘所成之数者，为非素数。一素数不等于其他之数相乘所成之数，即不与其他之数之乘积相类，而只自为一数之类，则其所涵之“类”之意义少。非素数则其自身为一类，又与其他数之乘积相等而相类，则其所涵之“类”之义多；而一数之愈能为不同之数之乘积者，其所涵之类之义愈多。当一数为不同数之乘积时，此不同之数，互不相同，而各为一类；然其乘积同，又为相类。故一数为不同数之乘积之涵义中，有此“不同数”之“不同类”，亦有“其乘积同为此数”之“同类”，而其涵义中，即兼有此“不同类”之义与“同类”之义。如十二为三与四之乘积，即三个四之类，或四个三之类，又为二与六之乘积，即二个六之类，六个二之类。则十二之涵义中，包涵其为三个四之类，与二个六之类等不同类之涵义。此二个六与三个四之乘积，又同为十二，而有同类之涵义。若吾人更自此“十二为二乘六”中之六而言，又可说六为二个三之类。于是此十二即为二个“二个三”之乘积。在十二以前之数中，唯十二能包涵此“为各种不同类之乘积”之不同类的意义。与“同为其乘积”之一同类的意义，吾人说一文学艺术境相中，所包涵之类兼不类之意义最多者，亦最堪为观照心之所运之境，而其境亦可称为更美。则十二之数，即可说为较以前之数，皆更堪为观照心之所运，而为较其前之数为更美者也。
上说凡为他数之乘积之数，皆外与他数之乘积相类，而具更多之类的意义者，而于一乘积之数，加一数以使之成一素数，即只自为一类，而所具之类的意义即最少者，则素数似为最不堪为观照心之所运，其自身若无美的意义者。凡素数皆由加一数于一为乘积之数所成。加一数于乘积之数，即可使其不复成为乘积之数，而只自成一类，更外无所类之素数。则此加一数于乘积之数，即一使外有所类之数，不成外有所类之数，以自成一类之原理。然此加一数于乘积之数，以新创一外无所类，自成一类之数，亦正为数之有不同之类之创造的原理，亦即数之世界之一创造之原理。有此加一数于乘积之数之事，以使不同类之素数，得次第创出，而皆如鹤立鸡群于数之世界，亦同时为使数之世界之全体中，有更多之同为数者，而又不同其所以为数之意义者。此亦即使数之世界之全体，有更多之美者也。
吾人上谓在自然数之系列中，有兼为他数之乘积，而外有所类之数，亦有外无所类，自成一类之素数。凡为他数之乘积之数，即由他数之相乘而成，素数则必由加而成。然由加而成之素数，亦可减其所加，以成一为他数之乘积之数。而由他数相乘而成之数，亦可由减若干之数，以成素数；更可由观其所自来之相乘之数，而除以其中之相乘之数之一个，或一个以上，以归于一不可更除之素数。于是此一自然数之世界中之一切数，即可由此加减乘除，以互相转化为素数与非素数，亦即互相转化为外有所类之数，或外无所类而自成一类之数者。此数之可由加减乘除而相转化，即合以形成数之世界中，相类者与不相类者之互成其类之一大美，而可供人之观照心之加以观照者。若万物莫不有数，万物之数莫不可由万物之互相接触感通而变化，亦由加减乘除其数，以相转化；则此万物中之一切变化，皆同有此可观照之大美。凡万物之一切形相与任何性相，有其类与不类之互相转化之处，亦无不可本此观照心，以见其有此大美。此整个之有数有类之相转化之世界，即可全化为一观照境，而见有天地之大美之无乎不在矣。
然此中吾人不拟更论万物之形象等之类与不类之相转化，唯拟更稍说人之数学的心灵之运于由加减乘除，以使数之类与不类，互相转化，以见其不类而类，即一观照心之所运之义。人之数学的心灵，初所形成之自然数之系列，原为正数之整数之系列。人由此自然数之系列，更构造出负数、分数、小数、乘方数、开方数、虚数、代数、函数、无理数等，皆与此正数之整数，为不同类之数。然此不同类之数，又皆实依于为正数之整数之自然数之系列，所构造出，而同为数之类。如所谓负数之构造出，吾人即可说乃原于自然数系列之数项中，后一项与其前之项之有一反关系。如二由一加一成，二对一之关系为多一。二于一所多之一，为正一。正一之数为正数。一对二之关系为少一，一对二即负一。此负一之数，即为负数。而此负一之数，亦即是本于此一对二之关系，为负一，所构造出。然吾人亦可说所谓正数，即对任何数之正面的加以肯定，而连此肯定，以观此所肯定之数，之所成；负数即对任何数加以否定，而连此否定，以观此所否定之数之所成。任何数皆有一负数，而全部之负数之数，与全部之正数之正数相等，以各成一类；而其相等，则又见其数之数为同类。是即正负数之间，互为不同类，而又同类也。
至于所谓分数，则异于吾人之自然数之为一整全之整数，而是由分一整数所构成。一整数之可分，则由整数之原可说为由合而成，即一之数，亦可说为合“一”与“零”或“一”乘“一”而成。合诸数以成一数，为合数类之数，以生一类之数。分一数以成诸数，则为由一类之数，以生多类之数。此分与合之事，不同其类，而合之方式与分之方式，则可互相对应，其方式之数又可相同，而同类。此中即见有合数与分数之不同类而同类。
至于有分子分母之分数式，则可说为表分子分母间之一种关系者。纯自此关系看，亦可不问此分子式中之分子，是否可为分母所除尽。此分母之数，往除分子之数，只代表此分母之数之将此分子之数，视为一整个之数，而欲由之分出若干数之一活动。此一活动，则与对此分子再乘以此数，而合为一数之活动，为异类之活动。然吾人却可说，凡以一分母除分子，所代表之数，如 ，即是再以m乘之，而等于n之数。而任何分数之为以一数除一数者，皆此中之除数之再化为乘数，而以之乘由此除所得之数，即成一原非分数之被除数者。于是一切分数，即皆可转化为非分数之被除数，而见分数与非分数可由此转化，而由不同类，以成为同类。
至于小数之所以为小数，原由整数之分为同等之单位而成。整数之所以可分为小数，则原由整数之诸单位合为一大数时，以大数之单位观其所由合成之诸单位，即可视之为小数。如说百为十个十，即以十为一单位，而此十所由合成之整数，即皆可视为小数。因一大数之单位，可以其所由合成之诸单位，为其小数，则任何吾人初视为大数之一单位之整数，亦可类同此大数，而视为其诸更小之数之单位，即小数所合成。故此小数之形成，亦即无异本此大数之由较小单位合成之性质，以观此较小单位之亦由其更小单位所合成而有。大数可更有其大数，而小数即亦可更有其小数，则此大数与小数虽不同，然其各有其更大之大数，亦各有其更小之小数，亦未尝不同，而同为有其大数与小数之类之数。而大数之可由分而成小数，与小数之可由合而成大数，则见其不同类，而可由此分合，以转化为同类。
至于所谓乘方数，则为乘数中特殊的一种，即数之自乘数。此乘方数之所以有特殊之地位，则在其乃由一类之数之自身乘其自身而成，而非由异类之数相乘而成。故其所由成之数之类，可称为一纯类。开方数之可开尽者，即皆见其为只包涵此纯类之数者。乘方数与开方数不同类，而皆为依此方而立之类，亦可由开方或乘方，以互相转化，而见其为同类者也。
此外，有所谓代数。此为以一数之符号如xy，代任何数之数。此乃由于一切数皆数之类，故可皆可以代数代之。然各数之类彼此不同，故有代数中之不同之项，以表其所代之数之类之不同。一切数学之演算，与代数之演算，则同在由对数之加减乘除，以知其可等于其他之数，亦即同在由加减乘除，以化出其他之数。而任何数之两端，以等式连结者，皆表其两端之数为同一值，即同一值之数之类。然除一数项之等于其自身之等式外，任何等式之两端之数项，又皆初不同其类，唯有由分别在两端中之加减乘除之运作，所合成之演算，得形成一数项等于其自身之等式，而见两端之数项，初互不相同者，自始为同一值之数。在未有此演算之前，此两端之数项，显然不同，即互为不同类。唯由此演算，乃形成一数项等于其自身之等式，而见其为同一值之数。而为同类。是见此数学演算，即于不同类之数项，对之有加减乘除之运作，以见其等于何数，或与何数为同一值，而与之为同类之事。是亦即于不同类者，见其得归于同类之事也。
至于数学中所谓函数，则为表一数之值之随他数之值而变。他数可为一常项，其函数则恒为一变项。若以一常项与一变项相连，即有不定之函值。若以一定之函值，为一常项，则此常项，又可为：与诸不同变项相连之共同函值。由此而任何常项之数，皆可由其连于变项之数，而以不同之数，为其函值。而任何数，亦皆可为：诸不同变项所相连之共同函值。而此中凡有函值之相等，即皆有数之类之同。而凡有常项与变项之不同，皆有数之类之异，而函数之演算，即皆由数之类之不同，而见其同类之演算也。
此外，在数中又有所谓无理数。无理数即不为“一切分数之平方”之数，亦即不能以一数与他数之比例表示之数。凡数与他数有一定之比例，其平方根亦有一定之比例之数者；即可分别加以开方，而见其根有一定比例，而可以分数表其比例之数者。如4与9即可分别开方，见其根之比例为二比三，即4之根为9之根之 。一切凡可由开方，而得其根之比例者，皆可以分数表之。而一切分数之系列，即表示一数之系列，与另一数之系列，其一一项之平方根，有一定比例关系存在之系列。然除此一切可能的分数之系列之外，尚有不可以分数表示之数，即为无理数。此即一切数之平方根，与其他数之平方根不成比例者之数，如2、3、5之平方根之 数，彼此间即不成比例。然此类之数虽不成比例，然亦有大小之关系，如 小于 小于 ，有如分数之系列中之诸分数，有大小之关系。由此而一一无理数，亦应一一在分数之系列之一一项间，有其一定之地位。如 小于 大于 ，则其地位应在 与 间。于是，此无理数之依大小而成一系列之数，亦应与分数之依大小而或一系列之数，可合为一系列之数，以观其关系。昔之数学家说此无理数之系列与分数之系列之关系者，恒视无理数之系列中之一一无理数，为诸有理数之分数之系列之极限。今之数学家则以唯于分数之系列之自身，可言极限。一一分数，皆可为其上段或下段之分数之系列之极限。数之系列之有极限者，即其数之系列，可说为有边界（Boundary）者。一有理数之分数之系列，即其系列中之项，皆可为其上段下段之数之极限，而其数之系列皆有一边界者。无理数之系列，则为无此所谓极限，亦无边界，而与有理数同为数之系列者。缘此而人可论此无理数与有理数之不相类而相类之诸关系等。
然吾意欲论此有理数与无理数之类与不类之关系，不如追问至此无理数之所以产生之根源而论。此无理数之所以产生，唯以有开方开不尽之数。因开方开不尽，故其与其他开方开不尽或开得尽之数之一定比例，即不得而说。既无一定比例可说，亦自不能以分数表其与其他数比例关系。数中之所以有开方开不尽之数，而吾人又设定其有方根者，唯以吾人将开方之一数学的运作，亦加于其数而来。此又唯由吾人于一切数，皆同视为一数，数有可开方而有方根者，则任何数便似当同可视为有一方根者。然数中实有开方开不尽之数，则吾人亦实非必须定一切数，皆有其方根，更非必须设定其方根之有一定比例，而可以分数表之。此数中之有开方开不尽之数，可溯源于自然数系列之形成，其由加一于零次第形成者，固亦有同时为由数之相乘或数之自乘而成者，然加一于零次第形成之数，必加至某阶段，乃出现一数，兼为由数之相乘而成者；数之由相乘而成，又不必为由数之自乘而成者。凡非由数之自乘而成之数，则初皆可视为一开方必开不尽之数。以其原非乘方之所成，开方即乘方之反关系故。如自然数之一二三，皆加一于零而成，不可径说三由三乘一成，二由二乘一成，一由一乘一成，此必先预设有三二一故。唯加一于三成四，此四乃同时兼为二乘二，或二自乘之所成。又必加一于四成五，再加一于五成六，六乃兼为二乘三所成。更必加一于六成七，加一于七成八，加一于八成九，九乃兼可视为三乘三，或三自乘之所成。此中凡对一数加一，必继续加至等于一数之阶段，乃得一可兼视为二数相乘之数。如对二加一成三，三非二数相乘而成之数。对二必加一，再加一，即加二，乃得四，方兼为二与二之相乘之数。对三则必加一加一，再加一，即加三，乃得六，方兼为二与三之相乘之数。故由加一而成之数，兼为二数之相乘数者，即少于由加一而成之数之不为乘数者。至为二数之相乘数，而兼为自乘数者，则必待此二相乘数中之一，次第加一，至成一等于其自身之数，乃有一自乘数。如对三可乘以一，仍是三。乘以一加一，即乘以二，则是六。乘以一加一加一即乘以三，方为三之自乘数之九。故为二数之相乘数者，亦不必为自乘之乘方数。于一乘方数，如再加一而未至形成另一乘方数之时，则其所成之数，皆非乘方数，亦皆开方开不尽之数。凡对此等数，设定之为可开方者，则其方根皆为无理数。此开方开不尽之数，既有大小而成一系列，则其设定之方根，自亦可说有大小，而成一系列。然其方根间，则必不能有以确定分数表示之比例。因其原非由确定之数乘方而成之数，其方根自不能有确定比例也。由此以看此所设定为开方开不尽之数之方根，所成之无理数之系列，自为不同于分数比例数之为有理数，之另一种数之系列。而此数之系列之有大小，与其中之数之所以多于有理数之系列中之数，则纯由其所自产生而为此方根之乘方之诸原数之有大小，而在此诸原数所在之系列中，为乘方之数者，本少于不为乘方之数者而来。此一无理数之系列之设定为有，唯由吾人之设定任何数皆可视为有方根之数，亦可视为由乘方之数之而来之故。此任何数之可视为一乘方之数，若更溯其本，即当说为由此不为乘方之数，皆原可视为一乘方之数，加某数而成，而其中亦包涵有一为数之乘方之意义在。故开方开不尽之数，亦可开之为“某数之乘方，再加另一开不尽之方根”，如六可开为 。依此以比较开方开不尽之数之方根之大小，而排之于一系列之中，则此系列中之数，即虽有次第之大小关系，而无比例关系，亦为不能以分数表其比例关系之数之系列矣。
总此上所说，以论无理数之系列，其所以产生之理，即根柢上只在数之系列中之数，有乘方数，亦有非乘方数，乘方数之可由加一数，成一非乘方数。此则更可追源于：由加而成之数，原非皆兼由乘或乘方而成者，而由乘而成之数，亦非必兼由自乘或乘方而成者。亦即由于同为数之类者，其数之“由加一以依序而成”之类者，非必为“由数之相乘或自乘而成”之数之类；而同由乘成之数之类，其由二不同之数相乘而成者，亦非必由自乘而成之数之类。此中唯数之为由自乘而成者，方为一可开方数，故可开方之数之少，不可开方之数多，而其多少，亦不相类也。
此外数中更有虚数，此虚数者，即为负数之平方根之数，如 之类。依正数之乘方为正数，负数之乘方亦为正数，而一正数之方根，可为正数或负数。一负数之方根，则既不能为正数，亦不能为负数，即为一想像中之虚数。然人之所以谓有此虚数，唯由吾人于正数既谓其可开方，负数与正数同为数，便应亦可开方。负数与正数之所以同为数者，以负数皆可说由正数而来。于任何正数，如吾人以之减其较大之数，即对此较大之数为负某数者，如2-3＝-1，则二对三为负一之数。负数既由正数来，以同为数，正数既可开方，负数亦应可开方。由此有虚数。如x 2 ＋1＝0则x 2 =-1而 。此所谓-1，若不对其他零以外之数而说，即直对零而为-1。此对零而为-1之数中之1，再设定为可开方者时，此1可说为1之正乘方数，而负一即负此一正乘方数。如一正乘方数可理解，则负此一正乘方数，亦可理解。此中所负者，乃正乘方数之1。此正乘方数之1，原可开方而得1，则此所负者，非不能自开方，而以1为其根。盖此中之开方，原非对负号之自身而开方，乃对所负之数而开方。此所负之数，既自为正乘方数，则将此负号连上而成之数，即应亦为一可开方之数。而此-1之可开方，即与其他正数之可开方为相类，而只在其为负，与其他正数之为正不相类而已。然一切正数，既皆可视为对大于其数之他数，为一负数。则一切为正数之平方根之实数，与为负数之平方根之虚数，亦可互相转换，以成一数学之演算，并于此演算之历程，见其数值之在何情形为相等而相类，而实数与虚数，即相类而不相类，亦可由不相类而见其相类者矣。
六 数学与观照凌虚境
吾人以上说数有种种不同之类，而此不同类之数，可于数学之演算历程中，见其值之等于其他类之数之值，即在其同此值之一点上，见其相类。此乃一数学演算中，人所共知之一事实。人依公式而进行。数学之演算，皆可发现一数之等于“对其他数更加减乘除以其他之数，所成之数”。如数之有大小之差别者，皆可由加或减此中之差别，以化为二彼此相等之数值。凡对彼此相等之数值，加以移项，而使之自相减，莫不可等于零。一切数学公式，亦皆在“可成为一等值之公式，与可移项，而自相减，以见其等于零”一点上，以同属于数学公式之类。则一切依数学公式而演算之事，皆是化数之不同类者，而使之成为等值，而同属此等值之数之类，亦同属于形成一等值公式之数之类，并同属于可由移项，以见其可自相减，以等于零之类之事；即皆是化不同类之数为同类之数之事。吾人若本此一观点，以看人之一切数之演算，与在数之演算历程中之数之世界，则此整个之数之世界，即为一吾人由观照数之关系，而依之以演算，以见其“不相类者，皆可化为相类，相类者皆由不相类者来”之一“无穷的，由不相类而相类。而相类者自其由不相类来处看，又不相类”，之一“类与不类、相与为类，而其相类者，又皆可由相减，以等于数之零”之一世界。于是一切数之演算之事，皆可说是“出没升降于一零之世界中”之事。此零是数之世界中之零。数之世界中之零，有其特定之意义，但亦是“其中无任何数量之具体事物存在”之零，故零之义连于空类 [3] 。自零之中无任何数量之具体事物存在，而连于空类而言，此零即是“一切具体事物世界不存在于此”之表示。此零中，亦即有“此具体事物世界于此不存在，而为虚、为空”之一意义。则此零，不只为零之一数，数之世界中之一数；亦为有“具体事物存在于此为虚为空”之一意义，而为有“在一切具体事物世界之外之上之一虚一空”之一意义之零。若一切数之演算之事，皆可视为在零中升降出没，则一切数之演算，即依于此零之有此具体事物世界，于此为“空”为“虚”之意义。若此人之一切知种种数，而为种种数之演算之事，皆依于人之观照数之关系而有；则此一切知数，为数之演算之事，皆依于此一观照而有；而由此一观照而知数，为数之演算之事，亦皆凌于此“虚”此“空”之上，而皆属于一观照凌虚境中。吾人今依此数与其演算，皆属于此观照凌虚境而言，则数之世界不得说为只依存于一客观的现实事物之世界，如经验的实在论者之所说；亦不得说其属一超现实之柏拉图式的客观世界，又不得说为纯由人之主观构造而成，复不得说为只是人依其对数之概念与名项符号之定义及若干公认之设定，依若干推演规则，而形成之符号系统；而唯当视为属于此观照凌虚境之一世界。
此数之世界之所以不得说为只依存于客观现实事物之世界者，以数明非存在事物。吾人以数指物作判断，亦不同于以对其他事物之所经验性相之概念，作判断。以任何其他之对事物所经验性相，作判断，于所判断之事物自身之内容，即有所合，亦有所不合。合处此概念可用，而可形成真判断、真命题；不合处则不可用，用之必成假判断、假命题。然以数作判断，则对事物之任何内容，皆可说有数。任一内容，总是一内容，则至少皆同可对之说“一”。若内容为二，则对之可说二。无论事物有多少内容，与其内容如何变，吾人皆可有数以说之。故数之可用，不依于事物之有何内容，只依于其有内容。用一数以判断一事物之内容之数，固亦可假。然一数用之而得假者，人恒可转而自行构造出他数而用之，以得真。然一经验概念若用于一事物而假，则必待人本其继起经验，方有其他经验概念之形成，可用之而得真。经验概念不能由人自行构造。即此已足证明数之概念，不同于一般经验概念，而自其可用于任何内容之事物，又不待此内容之经验，即可容人自行构造言，即为先验的概念。
由数可由人自行构造，而可用于有任何内容之事物，故当吾人以一数，判断一事物之内容中之数时，此数之概念，可永不为一黏附于事物之概念。如吾人以一经验概念判断事物，此经验概念可黏附于一事物，以其内容可即事物之属性故。但吾人以一数如“二”判断一事物，如谓一事物之数为二，则此二不为此中任一事物之属性，而可只说此“二”为“此二事物”，与“其他亦为二之事物”之相类之处。故吾人于说二事物为二之后，可更以此“二”说其数为二之任何事物，而此“二”，即不能黏附于任何事物，以为事物之属性。故当吾人提举一数之概念如二之时，吾人可以此二观待任何其数为二之事物之类，而用之；用之之后，亦恒有其可再用之地。其有可再用之地，而不实际上再用之，则此二，即只为人可凭之以观一切其数为“二”之事物，而不观此其数为二之“事物”本身之一“凌空的二”。此“凌空的二”，自是与一切为二事物之“二”，为同一之“二”，而此“一切为二之事物之二”，即皆为“凌空的二”所照及，而此中之事物，却非此凌空的二之所触及者。因吾人可只注意有此“凌空的二”，一切为二之事物之二，而不注意于此为二之一切事物故。由此而吾人之思一凌空的二，而观之，即可形成：以此二，观照一切为二之事物之二，而不触，亦不着此中事物之观照境，或方着之，亦即更透过之之观照境。此即如人之专持二以观物者，可于世界处处见有二物之相对之事，亦时时于以二说其所已见之二物之后，更提举此二，以观其外之物。而哲学中单纯的二元论者， [4] 即时时以二观任何物，亦不着于所已观之一切物，恒能使此二不黏附于此已观之物而透过之，更本之以观其外之物者。人可有二元论之哲学，遇物即分之为二，亦可有三元、四元论之哲学。为四元论之哲学者，如邵康节，即尝自言其见物，即分之为四片。此人之可只提举一数，以观一切物，而不着于物，即见此提举一数之心灵，在一切物之上一层面。其不着物，而能观物，而又能透过物，更提举此数以观他物；则见其所观之物，对之恒为一透明之物，而其所正观与可能观之物，对之如恒在一遥相距之境，以似实而虚者。由此而吾人可说凡人之提举一数，以如此观世界之物，其心灵，在一观照凌虚境。在此观照凌虚境，人可自其所观者，皆可透过而为透明，以说此世界中除此数之外，更无实物，而此世界亦为只有此数之一无实而自凌虚之一世界。吾人若欲以各种不同之数，观此世界，此世界亦为只有此一切数而无实之世界，而整个之世界，即可化为似只充满此一切数之一世界。此当为辟萨各拉斯等，以世界唯有数之哲学之真实的立根之处。
人之只以数观世界者，世界虽无实，然当人自反观其以数观世界时，则初必以此数为实。吾人可本种种数，以观世界，则此种种数皆实。由此而可形成一柏拉图式之以数之世界为超现实事物之世界，而自为一超越实在世界之思想。
此种数之世界之为一超越的实在世界之思想之根据，在人虽可由构造而生数，如由次第加一于零而成二三等，然此人所构造之数既成之后，人立即可发见其各是其自身，亦可发现其间有种种之必然一定之关系，非吾人构造之之时所见及者。如人由加一成二、加二成三之时，人未必思及三多于一者为二。然既有一与三，人即可发见三对一，有多二之关系。故一自然数之系列，虽皆可只由加一于零，以次第形成，而自然数之系列中数之关系，则有无穷之复杂，非人构造此系列时之所知者。此诸关系，皆必然而一定，非任何人之思想所能自由加以改变，而任何人又皆可发现同样之关系，即又似必须谓此诸关系，为客观的存有于数之世界之关系。本此以观人初之由加一于零，而次第形成自然数之系列之事，即亦可只视为人之由加一于零而次第发现数之事，而此自然数之系列，亦即可视为原是客观的存有者矣。
由数与数间之有客观的必然关系，即可见数纯为主观之自由构造之说之不能立。然数与数间之必然之关系，又唯次第见于一切能知有数之人心，次第发现之之历程中，则又实不能离此人心之次第之发现活动，而有其自身之存在。其为客观，亦唯对一切人之心或与此人心同类之心，而为客观，则亦不能离此一切人之心及与人心同类之心，而自为客观。若其为客观只是对此心为客观，即非实有一独立自存之客观时数的世界。此独立的数的世界，不能为实有，可说在此所谓数的世界中诸数间，其关系，若非相等之关系者，皆有一互为对反之关系。上文说：凡数之有相等之关系，皆可由移项而使相减，以等于零。凡有相等关系之数，亦有此相减而等于零之关系，由此零以观一切相等之数，所合成之数的世界，即可说有无穷之数，亦可说此无穷之数合为一零。此零固亦是数。然零有“具体事物世界于此中不存”之义，亦有“其余一切数所合成之数之世界于此不存”之义。今若只有此一零之数在数之世界中，并不能必然建立数之世界之实有，以零中亦有一切数于此不存，而非实有之义故。至于数之关系非相等之关系，而有互为对反之关系者，人亦可依此对反关系从事相反之演算，以消除其中之数，亦消除其中关系，以使之隐而不见，乃更不得肯定其中之数之为实有。所谓数之世界中诸数之关系，本身有互为对反之关系者，即如甲数大于乙数，甲对乙有大于之关系，而乙对甲，则有小于之关系。此大于与小于，即相对反之关系。又如二于五有小三之关系，五于三有多二之关系。此二关系亦相对反。由此而人在一数之世界中，可由一数，循其一关系，以思及他数，而呈现他数，以说他数之实有者，皆可再循其反关系，以消除此数，更不见有此数，使人不得更说此数之实有。如吾于由二而说实有一“对之有多三之关系”之五之后，吾即可于五再减三，以消除此五中所涵之三，以成二，而于其成二之时，此五中之三既消除，而五非五，亦非实有，则五对二之有多三之关系，即亦消除，而非实有。凡数与数有某关系，而此关系非相等之关系者，即有一对反关系。凡一关系有其对反关系，皆启示一足以消除此关系之演算方式，使此关系隐而不见。则透过数学之演算，以论数之关系，即皆为可于其呈现时，被肯定为实有，而在其由演算以隐而不见时，不再被肯定为实有者。今若去此数与数之关系，而唯存一一之数，而由一一数之各自等于其自身，即可各自减其自身，以等于零，而亦被消除，则亦不得谓为实有。由此而谓数与数之关系所合成之数之世界，为超越的实有，或客观的独立自存者，即可说而又不可说。合此可说与不可说，仍为不可说。而数之世界为超越的实在世界之论，即不能成立。
由此上之数之世界依于一般客观存在事物而有、与纯由主观自由构造而有、及自为超越的实在世界之说，皆不能立；于是有谓数与其关系及数之演算，乃本于人对若干数之概念或数之名项符号之定义、若干数学公理之设定，依若干逻辑之推演规则，以形成之符号系统之说。此说以数学纯为符号系统，实即由对数学符号之“种类之同异”与“安排组织之次序”之觉识，以形成有关数之种类、次序等概念，亦实非无概念；而言数学之概念之种类、次序，亦必以符号种类之同异、次序等表示。故言数学之基本概念，与言其基本名项符号，实无大分别。此诸说之一共同之点，即数学中之命题之真者，皆人对所谓数之名项之意义关系，先以定义、公理，加以界定或规定，更依运用此名项与公理之规则，加以运用而成。此诸命题之意义，即皆不出吾人先所界定规定之诸名项、公理、规则等所本涵有之意义之外。此数学命题之意义，即皆为自其本涵有之意义中，分析而出者。此中所关联之根本问题，则为数学命题之毕竟为分析的或综合的。
此一数学命题之难称为一综合命题，在其非经验命题。经验为次第综合者，故吾人可加一对事物之经验内容，于对其他事物之经验内容，而成一综合命题，以对此综合之经验为真。数学之命题，非经验命题，则不能由综合人对事物之内容之经验而形成，自亦非经验的综合命题。在数学命题中，若设定一数为一主词，则其宾词，为说其如何关系于其他之数项者。此如何关系... -->>
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