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原理讲得很清楚。
〔4〕“原目”第五条解释眼球的结构和功能说，眼睛外形为凸形，有聚光能力，叫做“外凸”；内部有伸缩能力，叫做“内长”。“原目”第七条说，眼球的前面是凸形，底部是凹形。这些说法主要来自《远镜说》，致使郑复光把眼睛的结构想象为一个微型伽利略式望远镜。
〔5〕凹不可混施：指非近视眼不能戴凹镜，近视眼的眼镜要“合目”。
〔6〕斯：乃，就。
【译文】
或许有人有疑问：三种望远镜，外端用浅度凸透镜既然是一致的，内端却有凹有凸，难道没有区别吗？回答是：
观象镜的外端为凸透镜、内端为凹透镜，运用的是变显限原理，本章第十四条。所以用凸透镜使远处物体显得放大，用凹透镜使模糊影像变得清晰，道理最明显不过。窥筒镜只有两枚凸透镜，运用的是距显限的原理，本章第十六条。较浅的［顺收］限与较深的［顺收］限的结合点，对于较浅凸透镜，是最大但不清晰的位置；“圆凸”第十六条。对于较深凸透镜，是物像最大而且显得清晰的位置；“圆凸”第十九条。对于眼睛，是较浅凸透镜［的影像］刚刚颠倒、尚未变小而进入大光明的位置；“圆凸”第十五条。因此虽然颠倒物像，望远却很出色，这个道理也是容易明白的。至于游览镜，那就兼有这两种法则。一是理解为以甲至丙［透镜组］组合成内端凹透镜，前面已有详细说明。本章第十一条。二是理解为以甲至丙［透镜组］组合成较深凸透镜。甲至丙［透镜组］组合就相当于凸度变深，这无须多解释。但一定要配备多枚的原因，见过的游览镜的内凸［组］，从三枚到六枚不等，这里虽然只举出甲至丙三枚作为示例，但实际上是贯通之论，概括性地说成是“多枚”。对两种法则都是必然的。那就是，要使凸透镜获得大光明，有丙乙就可以了，但不加上甲，就不能贴近眼睛起放大作用；要使凸透镜起切显限作用，有甲就可以了，但不加上乙丙就不能颠倒子［的影像］使它恢复为正像。因此，三种望远镜，制式虽然不同，但导致放大和明晰，道理却是一以贯之的。
一系：
望远镜的原理，简单地说，无非就是凸凹互相调剂，一个比例问题而已。眼球外形为凸，而里面的伸缩部分有凹形，“原目”第五条与第七条。它的［伸缩部分］长度以寸计，视野可以达到几里，假如使它延长到几尺，视野必定能达到几十里，这是一种必然的比例关系。至于它的凸凹互相调剂，则有几个佐证：
人之所以看物体能近而不能远，是因为远就会形状变小、颜色变淡。“原色”第七条。现在在眼睛前面加凸透镜并保持一定距离，相当于把眼球凸体推远。眼球凸体远了，远处的物体就显得近了，所以看起来变大。但是凸透镜不能望远，因为影像大而模糊，“圆凸”第二十三条。于是用凹透镜使它清晰。凹透镜是大光明。“圆凹”第十五条。这是从凸透镜得到的第一个佐证。
眼睛加凹透镜，相当于削减眼球凸度使它变浅。眼球凸度变浅，视野就延伸了。但是凹透镜［需要匹配视力］不能随便乱用，“圆凹”第十六条及第十八条。于是用凸透镜加以消解。这是从凹透镜得到的第二个佐证。
物体又远又小，则看起来模糊得像一点点堆积的灰尘，道理就如同老花眼看近处，不能分辨细节，“原目”第六条。于是用凸透镜予以加深。眼球凸，加上凸透镜，所以变深。老花眼看近处，有了凸透镜就能辨认分明。这是从老花眼得到的第三个佐证。
物体远，用凸透镜在眼睛前面拉开一点距离去看，则小的物体可以显得大而模糊不清，如同闪烁不定的光芒，“原目”第六条。道理就如同近视眼看远处，不能看得明白，于是用凹透镜加以削减。眼球和凸透镜都凸，再加上凹透镜，所以凸度削减。近视眼看远处，有了凹透镜就能看得清晰。这是从近视眼得到的第四个佐证。
二十一
远镜外凸愈浅则愈长，其能力〔1〕愈胜。然凸镜径寸半者，限四尺已几于平，而四尺之筒犹未足以观象，且凸过浅难于中度。用变浅限法，则凸顺收限二尺二寸，加侧收限四寸五分之凹，可变凸为七尺七寸焉，此亦妙用也。洋制佳者多有之。
一系：
凹若嫌深，亦可变浅。虽凹无顺限，借虚率，反此求之。凹用凸率、凸用凹率，如法入之〔2〕可用也。
论曰：
凡平镜相叠，恒如蒙气加厚，本章一。两凸相切亦然。独离之为距显限，则愈明，得其用故也。凸凹相切，既得其用，故无虑此矣。
【注释】
〔1〕物镜焦距越长，放大倍数越高，此处“能力”应即指此。
〔2〕入之：古算用语，意为将某种计算法纳入此处，即按某种既有计算法进行计算。入：容纳，纳入，采纳。见郭书春《九章筭术译注》，上海古籍出版社，2009年。
【译文】
外凸越浅的望远镜就越长，能力就越强。但是直径1.5寸的凸透镜，顺收限为4尺时已经差不多是平的，而4尺长的镜筒还不足以用于天文观测，而且度数太浅的凸透镜很难［制作得］精确。运用变浅限的规则，那么顺收限2尺2寸的凸透镜，加上侧收限4寸5分的凹透镜，就可以变成［顺收限］7尺7寸的凸透镜了，这也算一种巧妙的运用。上乘的西洋制品大多有这种组合。
一系：
如果嫌凹透镜太深，也可以使它变浅。虽然凹透镜没有顺限，借［凸透镜的换算率为］虚拟的换算率，按上面的例子反过来求取。凹透镜用凸透镜的换算率、凸透镜用凹透镜的换算率，按相应规则换算就行了。
论：
凡是平板透明体叠加起来，总是像雾气变厚一样。本章第一条。两枚凸透镜紧贴也是如此。唯独拉开距离成为距显限，就更加明晰，是作用得以发挥的缘故。凸透镜和凹透镜紧贴，既然作用得以发挥，就没有这方面的担心了。
二十二
两凸及两凹相切，则限加深，本章一。当名为变深限。〔1〕但凹加深，其限无可据，惟凸加深，则顺限必短，其理可得而详焉。
夫两凸同深，相叠则加深一倍，而限必减一半。〔2〕若甲深乙浅，相叠变深，则必短于甲之全限，而长于甲之半限可知也。〔3〕若乙愈浅，则变限愈长，而终不能长过甲之全限，亦可知也。〔4〕今揣其理：
如甲、乙俱深三寸，则变深必得寸五。设甲深三寸，乙或深六寸，其变深必得二寸二分五，何也？
盖三寸比六寸加深一倍，则三寸凸镜一面，即与六寸凸镜两面相并同。三寸凸并六寸凸，即与六寸凸镜三面相并同。两面三寸凸镜相并既变深为寸五，则四面六寸凸镜相并亦必变深为寸五。今三寸凸并六寸凸既如三面六寸凸镜相并，则其变深必长于四面六寸相并，短于两面六寸相并，而在两较之间〔5〕也。
夫四面六寸为寸五，两面六寸为三寸，其数为倍与半，则两较既在其间，必为寸五之半，而得七分五，故加七分五于寸五，共得二寸二分五也。〔6〕
爰推其算法：以甲凸加倍变深之限寸五，减乙凸限六寸，得较四寸五，为实〔7〕；以甲凸三寸除乙凸六寸，得倍数二，为法〔8〕；法除实，得二寸二分五，为所求。〔9〕
又法：以甲三寸除乙六寸，得倍数二；以倍数二除甲倍限〔10〕寸五，得七分五；减甲限三寸，得二寸二分五，为所求。〔11〕
论曰：
前法，以两凸同深者言之，则无倍数，亦无较数，而有变深限数；以两凸不同深者言之，则有倍，有较，又有变深限数，但其较数不可以例变深限。然两凸同深者，其甲倍限与乙顺限较，甲倍限者，谓甲凸三寸加倍之深限寸五也，下仿此。与乙顺限较者，谓乙亦深三寸，与甲倍限寸五相减之较寸五也。则所得之较数即如其变深数。故两凸不同深者，即借甲倍与乙之较以为较，则其倍数二与较数即如变深数四五〇之比，即同于倍数一与变深数即如较数二二五之比也。〔12〕此“异乘同除”之理〔13〕也。
又：
以甲三寸为主，使乙由三寸而杀〔14〕之，则变深自寸五而渐长，不能过三寸。以乙六寸为主，使甲由六寸而杀之，则变深自三寸而渐长，不能过六寸。故以寸半减深凸三寸，余亦寸半，为乙与甲同深，其变深与甲深之较。以是较减浅凸六寸，余四寸五，为乙与甲不同深，使浅凸乙变深之数。夫甲既三寸，则变深之数不能出三寸，而乃得四寸五者，以乙浅于甲之顺限有其倍故也。求其倍得二，以与变深数比例，则一倍与四寸五为原有数〔15〕，二倍为今有数〔16〕；以今有之倍二与原有之倍一，若原有之变深四五〇与今有之变深二二五也。〔17〕此“同乘异除”之理〔18〕也。
又法：
以寸五者，甲、乙同深之变深数，亦即变深数与深凸之较数也；今甲、乙不同深，则必有其倍数，求得倍数二，以除较数寸五，即得所求之较数七分五，以减甲深三寸，得二寸二分五，为所求之变深也。〔19〕
一系：
镜作凸凹，小浅大深为难。圆凸二。如图（图70）：
图70
乙丁与己辛同甲角，而庚壬虽长，己辛犹浅，欲求再长则难乎料矣；丙戊虽短，乙丁已深，欲求再短则难乎工矣；此凸法变浅所以妙也。有时用凹嫌深，亦可放〔20〕变浅法求之。本篇十二。至于两凸相切，不过使凸加深，为用甚稀。曾见洋制远镜，其外镜三面，子凸、丑凹，又加一寅为浅凸，未解其意。然度其理，殆因子丑相合稍觉其浅，故加一浅凸使略深耶？亦制作之巧也。
【注释】
〔1〕两枚凸透镜或两枚凹透镜密接，相当于一枚度数加深的透镜。所以“变深限”相当于两枚正负相同的透镜密接的系统焦距。
〔2〕从此句开始，郑复光将逐步推导变深限的线性插值公式。这是第一步。当焦距分别为f1和f2的两枚凸透镜密接时，若f1=f2=f，则系统焦距。这与现代理论值一致。
〔3〕第二步推导：甲（f1）深乙（f2）浅，即f1＜f2时，系统焦距最深的情况是f1=f2，最浅的情况是不叠加乙，所以。
〔4〕f2越大，则F也越大，但最大不能大于f1。
〔5〕两较之间：指两数之较的中间值。较，古算书中称被减数减去减数所得的差为较数，简称较。
〔6〕以上推演步骤为：一、3寸焦距的透镜深度比6寸的加倍，所以一枚3寸焦距的透镜相当于2枚6寸焦距的透镜叠合；二、根据上一步，2枚3寸焦距的透镜叠合，系统焦距为1.5寸，那么4枚6寸的叠合系统焦距也是1.5寸；三、现在一枚3寸焦距和一枚6寸焦距的透镜叠合，相当于3枚6寸的叠合，则系统焦距大于4枚叠合，而小于6枚叠合，取值在二者之间；四、4枚叠合的系统焦距为1.5寸，2枚叠合为3寸，那么3枚叠合的系统焦距取值在1.5和3之间，大于1.5而小于3的部分为；五、最后，一枚3寸焦距和一枚6寸焦距的透镜叠合系统焦距为1.5+0.75=2.25（寸）。
按现代公式计算的理论值为。很明显，0.25的误差产生于线性插值。
〔7〕实：此处指被除数。见“圆叠”第十一条注〔6〕。
〔8〕法：古算书中通称乘数、除数以及二次多项式中的一次幂项的系数为法数，简称法。下面的“法除实”相当于说“除数除被除数”。
〔9〕此处的“算法”可视为“计算法则”即公式。虽然文中仍以实际数据表述，看上去像一个例题，但其实是一个一般公式。这带有中国传统数学的特征。中国传统数学中很少有刻意追求公理化的痕迹，即使有严格而精密的算法或求解模型，一般也只在计算实例中表现出来。此处的算法可按现代表示法表示为：
设甲凸顺收限为f1，乙凸顺收限为f2，叠合系统焦距（变深限）为F。
以甲凸加倍变深之限，与乙凸限f2相减，即为。以这个较（差）为实（被除数）；
以甲凸顺收限除乙凸顺收限，得到一个倍数。以这个倍数为法（除数）；
法除实得，即为要求的F。
〔10〕倍限：意为深度加倍的变深限，但郑复光以这个简称为专门术语，详后。
〔11〕另一算法：
以甲凸顺收限除乙凸顺收限，得到一个倍数；以这个倍数除甲倍限为，再将其从甲限中减去，得，即为要求的F。
综上所述，郑复光的变深限公式为：
如上言，文中虽以3寸和6寸为实际数据，按计算实例而非一般公式来叙述，但在后文中却明显把（1）式作为一般公式加以运用，在“圆率”章中尤为明确。
按：（1）式与现代几何光学公式相较，表面上看不出相通关系。我们对现代公式作如下变形：
可以直观看出，（1）对于（2）式，是一个比较精彩的近似公式。其近似性在于以2代替，后者取值在1到2之间（f1＜f2）。这个2的物理意义是，当两枚焦距相等的凸透镜叠合时，深力加倍而焦距减半；以限长（焦距）而论，谓之半限；以深力而论，谓之倍限。
在“圆率六”中，郑复光列出运用（1）式的六个应用例题，将例题中的数据与我们用（2）式计算出的数据作一比较，就更清楚（1）、（2）两式之间的近似关系了。见下表：
按：这一类定量公式，是全凭精密实验和线性插值建立起来的。可以说达到了缺少折射模型情况下的极限。所得结果虽然跟现代理论中的定律和解析解相比有差距，但这是从零开始的创造，其中表现出的科学精神是崇高的，成果也是巨大的。 《镜镜詅痴》全书中的所有定量结论，最大误差一般都在0到10%之间，用于当时的眼镜、放大镜、望远镜、简易投影机、取景镜等制造，已经算得上很精密，如此有深度的研究，在当时可谓独一无二，在今天则不应埋没其功绩。
〔12〕以上是对前面建立的“算法”的解释。当f1=f2=f时，其甲倍限与乙顺限较即为变深限F；当f1≠f2（f2＞f1）时，由于乙的顺收限变长、深力变小，所以与甲叠加后总的深力也较小，即变深限较长；郑复光认为，此时的较数还不能直接表征变深限，变深程度满足一个比例关系，即当前倍数与较数之比，等于甲乙相等时的倍数1与变深限F之比，由此得到注〔9〕，中的公式。
〔13〕古算书中把用比例式“”求x的方法叫做“异乘同除”。
〔14〕杀：减少。但须注意，凸透镜深力减小则焦距增大，焦距减小则深力增大，此减彼增。此处“渐杀”者，是指深力，故不可理解为焦距（3寸）减小，焦距反而是增大。以焦距f1为3寸的甲为主，f2越大（渐杀）则F也越大，但最终不能大于3寸（f1），因为大于3寸就不是变深了。这从郑复光的公式也可以理解，对于前面的（1）式，f2最大为∞，相当于在透镜上叠加平玻璃，此时F=f1（即3寸）。
〔15〕原有数：古代算数术语。在比例式“a·b=c·x”中，a和b叫做原有数。
〔16〕今有数：即上注比例式中的c和x。
〔17〕以上继续解释，当f1=f2=f时，乙顺限减甲倍限这个变深数直接就是变深限F，那么当甲、乙不相等时，为什么变深数不能等于变深限呢？因为变深限最大不能大于f1，但当f2不断增大时，有可能大于f1，这时还需考虑f2与f1之间的倍数关系。f1=f2时的倍数1和变深数为原有数，当前倍数为今有数，即：。按比例法，则相当于今有的倍数与原有的倍数1之比，等于原有的变深数与今有的变深数F之比，即：。
〔18〕古算书中把用比例式“a·b=c·x”求x的方法叫做“同乘异除”。
〔19〕此处提出另一解释模式。可以从较深凸透镜（甲凸）的角度来理解，把变深限理解为从甲凸顺收限的数值f1中减去一个表示变深程度的减数，这个减数在f1=f2=f时，为
当f1≠f2（f2＞f1）时，还要用此时的倍数去除，得到为表示变深程度的减数，将这个减数从甲凸顺收限f1中减去，得
即为要求的变深限F。
〔20〕放：通“仿”。
【译文】
两枚凸透镜或两枚凹透镜紧贴，则深限加深，本章第一条。理当命名为变深限。但凹透镜加深，它的深限没有实际依据，只有凸透镜加深，顺收限必定变短的情况，其原理是可以详细推究的。
两枚凸透镜深度相等，叠合起来深度就增加一倍，而深限必定减到一半。如果甲深乙浅，叠合起来变深，那么变深限必定比甲的整个深限短，同时比甲的半个深限长，这是可想而知的。如果乙更浅，那么变深限就更长，但最终不能超过甲的整个深限，这也是可想而知的。现在来揣测它的道理：
如果甲、乙的深度都是3寸，那么变深限必定得出1寸5。假设甲的深度为3寸，乙的深度姑且设为6寸，变深限必定得出2寸2分5，这是为什么？
3寸比6寸加深了一倍，那么1枚3寸深凸透镜，就相当于2枚6寸深凸透镜合并。3寸深凸透镜与6寸深凸透镜合并，就相当于3枚6寸深凸透镜合并。既然2枚3寸深凸透镜合并时变深为1寸5，那么4枚6寸深凸透镜合并时也必定变深为1寸5。现在3寸深凸透镜与6寸深凸透镜合并既然相当于3枚6寸深凸透镜合并，那么变深程度必定比4枚6寸的合并要长，比2枚6寸的合并要短，［取值］在两数相减的差数中间。已知4枚6寸的结果是1寸5，两枚6寸的结果是3寸，数值各是对方的加倍和减半，那么既然在两数相减的差数中间，必定是1寸5的一半，而得到7分5，于是把7分5加到1寸5上，总共就得到2寸2分5。
现在来推演计算法则：以凸透镜甲深度加倍的变深限1寸5，与凸透镜乙的深限6寸相减，得出差数4寸5，作为被除数；以凸透镜甲深限3寸除凸透镜乙深限6寸，得出倍数2，作为除数；除数除被除数，得出2寸2分5，为要求的结果。
另一法则：以甲深限3寸除乙深限6寸，得倍数2；以倍数2除甲的倍限1寸5，得7分5；与甲深限3寸相减，得2寸2分5，为要求的结果。
论：
前面的算法中，就两枚凸透镜深度相等的情况而论，就没有倍数，也没有差数，但是有变深限数；以两枚凸透镜深度不同的情况而论，就有倍，有差，又有变深限数，但此时的差数不能直接作为变深限的通则。然而在两枚凸透镜深度相等的情况下，甲的倍限与乙的顺收限相减，所谓甲的倍限，是指3寸深的凸透镜甲深度加倍时的深限1寸5，以下同。所谓与乙的顺收限相减，是指乙的深度也是3寸，与甲的倍限1寸5相减的差数1寸5。得出的差数就是变深数。所以对两枚凸透镜深度不同的情况，就借甲倍限和乙深限的差数为差数，则倍数2与差数等于当前变深数4.50之比，就等于倍数1与变深数等于当前差数2.25之比了。这是“异乘同除”的法则。
另一种思路：
以甲深限3寸为准，使乙深限从3寸开始减少，那么变深限就从1寸5开始逐渐变长，不能超过3寸。以乙深限6寸为准，使甲深限从6寸开始减少，那么变深限就从3寸开始逐渐变长，不能超过6寸。所以以1.5寸与较深凸透镜深限3寸相减，剩余还是1.5寸，这是乙与甲深度相等时，变深数与甲深限的差数。以这个差数与较浅凸透镜深限6寸相减，剩余4寸5，这是乙与甲深度不同时，使浅凸透镜乙变深的数值。既然甲深限是3寸，那么变深的数值就不能超过3寸，但却得出一个4寸5，这是因为乙比甲的顺收限浅是有倍数的。求这个倍数得2，用来与变深数进行比例计算，则1倍与4寸5为原有数，2倍为今有数；今有的倍数2与原有的倍数1之比，等于原有的变深数4.50与今有的变深数2.25之比。这是“同乘异除”的法则。
另一种算法：
由于这个1寸5是甲、乙深度相等时的变深数，也就是变深数与较深凸透镜深限的差数；那么现在甲、乙深度不同，就必定有一个倍数，求得倍数为2，用来除原来的差数1寸5，就得到当前要求取的差数7分5，用来与甲的深限3寸相减，得2寸2分5，就是要求取的变深限数。
一系：
镜片要做成凸形和凹形，小而浅和大而深是困难的。“圆凸”第二条。如图（图70）：
乙丁和己辛同为甲角［的弧］，此时庚壬虽然较长，己辛还是较浅，想要更长就难找到材料了；丙戊虽然较短，乙丁却已经较深，想要更短就很难加工了；凸透镜［叠加］变浅法的妙处就在于此。有时使用凹透镜觉得太深，也可以仿照变浅法解决。本篇第十二条。至于两枚凸透镜紧贴，只不过使凸度加深，用途很少。曾见过一具西洋制造的望远镜，外端镜片有三枚，子号凸透镜、丑号凹透镜，又加一枚浅凸透镜寅，不明白其中意图。但揣度它的道理，大概是因为子、丑叠合觉得稍微偏浅，所以加一枚浅凸透镜使它略微变深一些吧？也算是制作上的一种巧妙。
圆率〔1〕
一
凸限全率表〔2〕
用一：有单凸，正面侧收限二寸，求：深力即顺收限几何？
答曰：一尺二寸。
法：置〔3〕正面侧收限二寸。检表一顺收限得六，谓之单率六〔4〕，此为单率所恒用。入后止称单率六，以从省便。为法，乘之，即所求。又法：检表一较率〔5〕得五，以乘侧限，加之。
用二：有单凸，景面侧收限六寸，求：深力几何？
答曰：一尺二寸。
法：置景面侧收限六寸。检表一景面侧收限得三、顺收限得六，爰六乘、三除，即所求。又法：置六寸，倍之。
用三：有双凸，每面侧收限二寸，求：深力几何？
答曰：八寸。
法：置二寸。检表二顺收限得四，谓之双率四〔6〕，此为双凸所恒用。为法，乘之，即所求。又法：检表二较率得三，以乘二寸，加之。
用四：有畸凸，侧收限正面二寸、副面三寸八分，求：深力几何？
答曰：九寸八分。
法：以正除副，得倍数一九。检表三侧收限得相近略小者，正一〇，副一一。爰以副一一与一九相减，余较八。其顺收限四一，乃加较，得四九，为法，乘正面二寸，即所求。〔7〕又法：检表三较率得三，以乘正限二寸，得六寸，加副限三寸八分，亦得。
用五：有单凸，顺收限一尺二寸，求：正面侧收限几何？
答曰：二寸。
法：以单率六除之，即所求。又法：五因、三归之〔8〕。
用六：有单凸，顺收限一尺二寸，求：景面侧收限几何？
答曰：六寸。
法：六归、三因之，即所求。又法：半之。
用七：有双凸，顺收限八寸，求：侧收限几何？
答曰：二寸。
法：以双率四除之，即所求。
用八：有畸凸，顺收限九寸八分，侧收限正面二寸，求：副面几何？
答曰：三寸八分。
法：检表三较率得三，以乘正二寸，得六寸，为法，减顺收限，余得所求。
用九：有畸凸，顺收限一尺四寸一分，侧收限副面五寸一分，求：正面几何？
答曰：三寸。
法：以副限减顺限，余九寸，以较率三除之，即所求。
用十：有甲、乙两凸，侧收限甲一面四寸、一面一尺二寸，乙一面二寸、一面五寸。求：两凸异同。
答曰：甲单乙畸。
法：以深约〔9〕浅，恰得三倍者为单，不足三倍者畸也。
用十一：有双或畸凸，顺收限九寸，求：同深之单侧收限几何？
答曰：一寸五分。
法：以单率六除之，即所求。
若各以侧收限为问，则如法各先求其顺限，双法见用三，畸法见用四。以六除之。
一系：
表载全率，用或不具，凡制器者，每求一数，必兼数法考核之，则得数准确，不可不知。本《浑盖通宪》〔10〕。
【注释】
〔1〕圆率：指球面透镜的各种数值之间的相互关系，相当于“球面透镜的定量规则”。
〔2〕这个表中各个数值的意义和彼此间关系解释如下：
1. 表一、表二、表三分别为单凸（平凸透镜）、双凸（对称双凸透镜）和畸凸（不对称双凸透镜）三种凸透镜的成像常数换算表。
2. 成像常数共有6个：（1）顺收限，平行光会聚点距镜片距离，即像方焦距；（2）顺展限，成最大实像时的物距，数值上无限接近物方焦距；（3）顺均限，成等大实像时的物距或像距（二者相等），即二倍焦距；（4）侧收限，凸透镜内表面对平行光反射聚焦的焦距；（5）侧展限，凸透镜内表面反射成最大实像时的物距，数值上无限接近反射面焦距；（6）侧均限，凸透镜内表面反射成等大实像时的物距或像距（二者相等），即二倍反射面焦距。
3. 表中数据均为“比率”，即倍数。对任意一枚凸透镜，已知一个常数，即可通过查表，求取其余五个中的任一个。比如已知某双凸透镜侧收限为2寸，求顺收限，查表得知比率为4，即可得顺收限为8寸。
4. 表中各类凸透镜的两面顺收限都相等，故一律为薄透镜。
5. 收限和展限在数值上都表征焦距，二者应相等或接近，但表中数据展限一律比收限偏小10%，应是测量误差。可分析误差原因。展限是生实像的物距，小于焦距即不生实像，实际上还应该略大于收限。故唯一解释是收限测量值偏大。收限测量值偏大意味着入射光束不是理想平行光，即光源放置不够远。“圆凸”第十一条说：“收限之光、展限之壁，其距镜必远，方无改移。约灯体寸余、凸深即顺收限寸余，则远须尺余……今名曰限距界，愈远益确。”虽然郑复光接着就指出“凡验凸深浅宜用日月之光”。但大量的测量应在室内进行，否则也没有规定限距界的必要，而且观察实像需要暗室。尤其值得注意的是，郑复光规定的限距界是焦距的10倍，此时聚焦点位置恰好大于焦距10%左右：
6. 顺限和侧限的关系为现代几何光学所无，应着重分析。由“圆凸”第七条可知，畸凸的顺侧两限之比系由线性插值法求得。已知单凸两面侧收限之比为1:3时，顺收限为6；双凸两面侧收限为1:1时，顺收限为4。以上两种情况是凸透镜两个表面曲率比的最大和最小界限，曲率比在两者之间即为畸凸。按算术平均插值法可得，畸凸两面侧限比为1:1.1时，顺限为4.1；侧限比为1:2时，顺限为5；侧限比为1:2.9时，顺限为5.9。如下表（即“凸限全率表”的第一和第四行数据）：
可按现代几何光学对上表进行核算。根据Г.Г.斯留萨列夫著《几何光学》，图31（a）中的S（即侧收限）如下式：
对理想薄透镜，取d=0，得下面（1）式：
平凸顺收限如下式：
畸凸顺收限如下式（r1=r2时为双凸）：
以上诸式中，r1和r2分别为透镜第一表面和第二表面的曲率半径，取n=1.5，注意不同情况下曲率半径的正负号，可算出：
比较以上两表可知，郑复光原表中的平凸和双凸数值为实测值，与理论值相等。用线性插值法求得的畸凸数值自然有以直代曲的误差。
7. 原表最后一行为“两收限较”。“较”为“差”。所以这一行可以叫“差率”。也是用来进行换算。是用比率换算的另一法。比如，已知某双凸透镜侧收限为2寸，按比率顺收限为4倍，得8寸。按差率，顺收限比侧收限多3倍，所以在2寸上再加3个2寸即得8寸。不对称透镜的差率只计一面，另一面注明“此较无用”。
8. 表中各个数值并非二位数、三位数、四位数，而是小数。比如“六〇〇”并非600而是6.00。600在古代一般写作六百而非“六〇〇”。“六〇〇”恰恰是中国古代算术不写出小数点而用位置表示的书写法。在后面的所有应用例题中，都称为“六”而非“六百”。又如，“五五一”并非551而是5.51，在后面正文中也能看出来。这些数值都代表比率，而不是某种实际数据，当然是取个位数。
〔3〕置：本意为布置筹算，见“圆凹”第四条注〔1〕。
〔4〕单率六：单凸透镜的顺收限与正面侧收限的比率为6，故称单率六。
〔5〕较率：顺收限的率数与侧收限的率数之差。
〔6〕双率四：双凸透镜的顺收限与正面侧收限的比率为4，故称双率四。
〔7〕此例表达了“凸限全率表”作为一个线性插值模型的用法。表中载有两面侧收限之比为1:1.1和1:2的各比值，现在要计算的凸透镜两面侧收限之比为1:1.9，于是在前两者之间继续线性插值。
〔8〕五因、三归之：古人有一些速算法，将乘数或除数分解为几个一位数的因数，从而将乘法或除法运算化为个位数的连乘、连除。因：古人称一位数乘法叫“因”。杨辉《乘除通变算宝》中有“相乘六法”。其“单因”法：“细物一十二斤半、税一，今有二千七百四十六斤。问：税几何？”“术曰：八因以代一二五除也。”这相当于说2 746÷12.5=2 746÷100×8。又“重因”法：“绢二百七十四匹，每匹四十八尺，问：共几尺？”“草曰：置绢数，六因之，八因之。”这相当于说：274×48=274×6×8=1 644×8=13 152。此处的“五因”，为以10除、以5乘。在杨辉的速算法中，以15为除数的除法化为“二因、三归”。可见“二因”为以2乘、以10除，相当于以5除；反之，“五因”为以10除、以5乘，相当于以2除。这些古代速算法，有的在今天看来似乎不必要，但在筹算中是有效果的。归：除。见“圆叠”第十三条注〔8〕。
〔9〕约：本意为约减，此处为除。
〔10〕《浑盖通宪》：即《浑盖通宪图说》，利玛窦和李之藻合作翻译的介绍西方简平仪的著作，成书于1607年，底本为利玛窦的老师克拉维乌斯的《论星盘》（Astrolabium）。该书讲测量法，常常一个问题有数法，郑复光也经常提出“又法”，可见在思想方法上受其影响。其书中云：“凡位置，星辰必须兼前数术以相参验，始可无爽。”
【译文】
凸限全率表
应用一：有一枚单凸透镜，正面侧收限为2寸，求：深力即顺收限为多少？
答：1尺2寸。
求法：设定正面侧收限2寸。查表一顺收限得到6，称之为单率6，单凸透镜的换算率总是使用这个数值。为简便计，以后只称单率6。作为乘数，乘它，即为要求的结果。另一求法：查表一较率得到5，以它乘侧收限，再加上侧收限。
应用二：有一枚单凸透镜，影面侧收限为6寸，求：深力为多少？
答：1尺2寸。
求法：设定影面侧收限6寸。查表一影面侧收限得到3、查顺收限得到6，就以6乘、以3除，即为要求的结果。另一求法：设定6寸，将它翻倍。
应用三：有一枚双凸透镜，每面侧收限为2寸，求：深力为多少？
答：8寸。
求法：设定2寸。查表二顺收限得到4，称之为双率4，双凸透镜总是使用这个换算率。作为乘数，乘它，即为要求的结果。另一求法：查表二较率得到3，以它乘2寸，再加上2寸。
应用四：有一枚畸凸透镜，侧收限正面为2寸、副面为3寸8分，求：深力为多少？
答：9寸8分。
求法：以正面侧收限除副面侧收限，得倍数1.9。查表三侧收限找到相近但是略小的数值，为正面1.0、副面1.1。然后以副面比率1.1与1.9相减，剩余差数0.8。此时顺收限为4.1，就加上差数，得4.9，作为乘数，乘正面侧收限2寸，即为要求的结果。另一求法：查表三较率得到3，以它乘正面侧收限2寸，得6寸，再加上副面侧收限3寸8分，同样得出结果。
应用五：有一枚单凸透镜，顺收限为1尺2寸，求：正面侧收限为多少？
答：2寸。
求法：以单率6除它，即为要求的结果。另一求法：以10除并以5乘、再以3除它。
应用六：有一枚单凸透镜，顺收限为1尺2寸，求：影面侧收限为多少？
答：6寸。
求法：以6除、以3乘它，即为要求的结果。另一求法：将它减半。
应用七：有一枚双凸透镜，顺收限为8寸，求：侧收限为多少？
答：2寸。
求法：以双率4除它，即为要求的结果。
应用八：有一枚畸凸透镜，顺收限为9寸8分，侧收限正面为2寸，求：副面侧收限为多少？
答：3寸8分。
求法：查表三较率得到3，以它乘正面侧收限2寸，得6寸，作为减数，与顺收限相减，剩余差数即为要求的结果。
应用九：有一枚畸凸透镜，顺收限为1尺4寸1分，侧收限副面为5寸1分，求：正面侧收限为多少？
答：3寸。
求法：以副面侧收限与顺收限相减，剩余9寸，以较率3除它，即为要求的结果。
应用十：有甲、乙两枚凸透镜，侧收限甲一面为4寸、一面为1尺2寸，乙一面为2寸、一面为5寸。求：两枚凸透镜的区别。
答：甲是单凸透镜，乙是畸凸透镜。
求法：以较深一面侧收限除较浅一面侧收限，倍数正好为3倍的是单，不足3倍的是畸。
应用十一：有一枚双凸透镜或畸凸透镜，顺收限为9寸，求：同等深度的单凸透镜的侧收限为多少？
答：1寸5分。
求法：以单率6除它，即为要求的结果。
如果分别以侧收限来提问，就按规则先分别求得顺收限，双凸透镜的求法见应用三，畸凸透镜的求法见应用四。以6除它。
一系：表中的全部比率，不一定涵盖所有应用，但凡制作仪器时，每求一个数据，一定要用几种方法进行核算，结果才能准确，不可不知。根据《浑盖通宪》。
二
凹限全率表〔1〕
用一：有单凹，侧收限二寸，求：与凸相切适平，问凸顺收限几何？
答曰：一尺二寸。
法：置侧收限二寸，检表一深限得六，亦谓之单率六，乘之，即所求。此与凸侧限求顺限同，其又法不备载，余仿此。
用二：有单凹，侧收限二寸，求：与双凸相切适平，问双凸侧收限几何？
答曰：三寸。
法：置二寸，六乘、四除，即所求。
盖置二寸，六乘、四除者，先求得深限，再除得侧限也。
用三：有双凹，每面侧收限二寸，求：与凸相切适平，问凸顺收限几何？
答曰：八寸。
法：置二寸。检表二深限得四，亦谓之双率四，为法，乘之，即所求。
用四：有双凹，每面侧收限三寸，求：与单凸相切适平，问凸侧收限几何？
答曰：二寸。
法：置三寸，四乘、六除，即所求。
用五：有畸凹，侧收限正面一寸二分、副面三寸，求：与凸相切适平，问凸顺收限几何？
答曰：六寸六分。
法：以正除副，得倍数二五。检表三侧收限得相近略小者，正一〇、副二〇。爰以副二〇与二五相减，余较五。其深限五十，乃加较五，得五五，为法，乘正面一寸二分，即所求。此法与下用六互文见例〔2〕。
用六：有畸凹，侧收限正面一寸二分、副面三寸，求：与单凸相切适平，问凸侧收限几何？
答曰：一寸一分。
法：检表三较率得三，以乘正限，得三寸六分，加副限，以单率六除之，即所求。
用七：有双凹，侧限三寸，求：同深单凹侧限几何？
答曰：二寸。
法：四乘、六除，即所求。
一系：凹无顺限，而理与凸通，故借凸顺限为深限虚率用之。
【注释】
〔1〕此表原有一处明显误刻：侧展限最左边一个数据“六二一”为“二六一”之误，今已正之。深限最右边，应只有“六〇〇”而没有旁边的“〇”，但仍依原刻。
由于凹透镜在透射时不能会聚光束、不能产生实像，所以当时还没有测量凹透镜焦距的方法，郑复光在“圆凹二”中亦表明其“难以量取”。但凹透镜的两个表面对光反射时，能会聚光束，可供测量侧收限（以及侧展限、侧均限），故其深力“惟有侧收限可凭”。其实直接用这个可以实测的侧收限来表征凹透镜的深力，也是可以的，它与焦距的关系是简单的比例关系，仅相当于单位不同。郑复光在“圆凹四”中也明确表达了这一正确思路：“凹无顺限，以其侧限为深，未为不可……”结果同样是“凹愈深，限愈短”。但是郑复光想要“与凸通为一例”，并且考虑到畸凹的两面曲率不同，不能只凭任意一面的侧收限来换算深力。这里出现了一个问题，既然凹透镜没有顺收限，即没有实焦点，那么侧收限与深限的比率如何确定呢？郑复光认为可以“借凸率虚取之”，于是“凹限全率表”就是“凸限全率表”的侧三限部分。其中，单凹（平凹透镜）的“景（影）面”（平面）对光时，连侧收限也没有，所以表中注明“此行（列）无数”。
然而这种处理是有问题的。凸透镜侧收限是图31a中的S，是经第一表面折射进入、再经第二表面反射、再从第一表面折射出来而产生，与两面曲率半径的关系如“圆率”第一条注〔2〕中的（1）式所示；凹透镜的侧收限只是由第一表面的反射直接产生，与凹面镜完全一样，如图31b所示，侧收限与曲率半径的关系并非上述（1）式，而只是简单地等于第一表面的半径的二分之一。所以凹透镜的深限与侧收限之间的比率，在物理意义上是不能“与凸通为一例”的。郑复光很清楚“通光凹之面受光，与含光凹等”（“圆凹”第五条），但不清楚凸透镜的侧收限经过了两次折射而与之不同。在光的行为的解释上，缺少一个折射模型，这是当时中国的现状。于是郑复光虽然通过精密而系统的实验建立了正确的“凸限全率表”，但直接套用该表中侧三限部分的“凹限全率表”却与凹透镜深限的物理意义不符。按现代公式，凹透镜的侧收限为：
其中r为第一表面的曲率半径。不考虑负号，平凹透镜的焦距为：
双凹和畸凹透镜的焦距为：
其中r1和r2分别为透镜第一表面和第二表面的曲率半径。取n=1.5，根据以上三式可计算出下表的第三行。第一、二两行是“凹限全率表”中的数值。
从上表可知，郑复光所得的凹透镜深限，数值上与现代理论值相比一律大得多。这是一种系统误差，即每个数值的偏大程度都是一样的。应该指出，这并不妨碍郑复光对透镜构成的仪器进行合理的定量设计。因为，正如前面所言，这只是表明凹透镜的深限在物理意义上不表征焦距，但与焦距有比例关系，相当于单位不同而已。也就是说，当郑复光说某凹透镜深限为6寸时，相当于我们说焦距4寸；说4寸相当于2寸，说4.63寸相当于2.10寸，等等。
〔2〕互文见（xiàn）例：“互文”是古诗文中常用的修辞方法，通常是将一个句子的各部分分开写到两个句子里去（也有单句互文），要两句互相补充、渗透，才能表现出完整的意思。此处指两个应用题的已知数相同，但条件和所求不同，两个例题本可合并为一题多问，但分为两题，互相补充为一个完整的计算规则。例，条例，规则。
【译文】
凹限全率表
应用一：有一枚单凹透镜，侧收限为2寸，求：与某凸透镜紧贴而恰如平镜，问该凸透镜顺收限为多少？
答：1尺2寸。
求法：设定侧收限2寸。查表一深限得到6，也称之为单率6，乘它，即为要求的结果。这与凸透镜的侧限求顺限相同，另一解法不再提供，其余仿照此例。
应用二：有一枚单凹透镜，侧收限为2寸，求：与某双凸透镜紧贴而恰如平镜，问该双凸透镜侧收限为多少？
答：3寸。
求法：设定2寸，以6乘、以4除，即为要求的结果。
设定2寸，以6乘、以4除的意思是，先求出深限、再除得侧收限。
应用三：有一枚双凹透镜，每面侧收限为2寸，求：与某凸透镜紧贴而恰如平镜，问该凸透镜顺收限为多少？
答：8寸。
求法：设定2寸。查表二深限比率得到4，也称之为双率4，作为乘数，乘它，即为要求的结果。
应用四：有一枚双凹透镜，每面侧收限为3寸，求：与某单凸透镜紧贴而恰如平镜，问该单凸透镜侧收限为多少？
答：2寸。
求法：设定3寸，以4乘、以6除，即为要求的结果。
应用五：有一枚畸凹透镜，侧收限正面为1寸2分、副面为3寸，求：与某凸透镜紧贴而恰如平镜，问该凸透镜顺收限为多少？
答：6寸6分。
求法：以正面侧收限除副面侧收限，得倍数2.5。查表三侧收限找到相近但是略小的数值，为正面1.0、副面2.0。然后以副面比率2.0与2.5相减，剩余差数0.5。此时深限为5.0，就加上差数0.5，得5.5，作为乘数，乘正面侧收限1寸2分，即为要求的结果。这个求法与下面的“应用六”参互体现规则。
应用六：有一枚畸凹透镜，侧收限正面为1寸2分、副面为3寸，求：与某单凸透镜紧贴而恰如平镜，问该单凸透镜侧收限为多少？
答：1寸1分。
求法：查表三较率得到3，以它乘正面侧收限，得3寸6分，再加上副面侧收限，以单率6除它，即为要求的结果。
应用七：有一枚双凹透镜，侧收限为3寸，求：同等深度的单凹透镜侧收限为多少？
答：2寸。
求法：以4乘、以6除，即为要求的结果。
一系：凹透镜没有顺限，但道理与凸透镜相通，所以借凸透镜顺限作为深限的虚拟比率来运用。
三
两凸相离距显限率表〔1〕
用一：有甲、乙两凸相等，顺收限二寸，求：距显限几何？
答曰：四寸。
法：并两顺收限，即所求。
用二：有甲、乙两凸不等，顺收限甲一寸五分、乙一尺九寸，求：距显限几何？
答曰：二尺零五分。
法：并两顺收限，即所求。
用三：有两凸不等，距显限二尺〇五分。或知深凸顺收限一寸五分，求：浅凸几何？或知浅凸顺收限一尺八寸，求：深凸几何？
答曰：深凸一寸五分者，浅凸一尺九寸。浅凸一尺八寸者，深凸二寸五分。此谓四凸不等，其两凸一深一浅，各为一距显限则相等者。
法：置距显限二尺〇五分，以减深凸一寸五分，余为所求浅凸一尺九寸。若减浅凸一尺八寸，余为所求深凸二寸五分。
用四：有深凸，顺收限一寸，求：足距〔2〕之浅凸几何？
答曰：八寸。
法：置深凸限一寸，八之，即所求。
用五：有浅凸，顺收限四尺，求：足距之深凸几何？
答曰：五寸。
法：置浅凸限四尺，八而一，即所求。
【注释】
〔1〕这个“两凸相离距显限率表”只是以数值表示两镜距等于两焦距之和，即L=f外凸+f内凸。
〔2〕足距：此足距为开普勒望远光组的数值规定，包括两镜距和两镜焦距比，此处指后者。伽利略式望远镜的两镜焦距比规定见于前面“圆叠”第十三条。开普勒式的两镜焦距比的足距规定却未事先给出，而是首次直接出现在这个例题中，并在后面的“作远镜”第十条中再次提出。按此足距规定，物镜和目镜的焦距比为8比1，在今天看来就是规定望远镜的放大倍数为8倍。
按：现代设计也以8倍为最恰当的放大率。这表明郑复光对望远镜的研制富有经验，从理论上说，也是他对望远镜的放大率、视场和亮度之间关系有深刻把握的必然结果。
【译文】
两凸相离距显限率表
应用一：有甲、乙两枚相同凸透镜，顺收限为2寸，求：距显限为多少？
答：4寸。
求法：两个顺收限相加，即为要求的结果。
应用二：有甲、乙两枚不同凸透镜，顺收限甲为1寸5分、乙为1尺9寸，求：距显限为多少？
答：2尺零5分。
求法：两个顺收限相加，即为要求的结果。
应用三：有两枚不同凸透镜，距显限为2尺零5分。如果已知深凸透镜的顺收限为1寸5分，求：浅凸透镜顺收限为多少？又如果已知浅凸透镜的顺收限为1尺8寸，求：深凸透镜顺收限为多少？
答：深凸透镜顺收限1寸5分时，浅凸透镜顺收限1尺9寸。浅凸透镜顺收限1尺8寸时，深凸透镜［顺收限］2寸5分。这指的是4枚凸透镜不相等，其中每两枚凸透镜一深一浅，分别构成一个相等的距显限。
求法：设定距显限2尺零5分，减去深凸透镜顺收限1寸5分，剩余差数即为要求的浅凸透镜顺收限1尺9寸。如果减去浅凸透镜顺收限1尺8寸，剩余差数即为要求的深凸透镜顺收限2寸5分。
应用四：有一枚深凸透镜，顺收限为1寸，求：足距的浅凸透镜顺收限为多少？
答：8寸。
求法：设定深凸透镜顺收限1寸，取它的8倍，即为要求的结果。
应用五：有一枚浅凸透镜，顺收限为4尺，求：足距的深凸透镜顺收限为多少？
答：5寸。
求法：设定浅凸透镜顺收限4尺，取它的八分之一，即为要求的结果。
四
凸凹相切变浅限率表〔1〕
凡到界则适平，平则无限。然既以为界，则无限而有数。故取以为率，期适其用而已。
用一：有凸，侧收限四寸；凹，侧收限八寸，相切。求：变浅限几何？
答曰：四尺八寸。
法：检表一界率三，乘凸限四寸，得一尺二寸。以凹限八寸减之，余较四寸。以加凸限四寸，得八寸，为侧限数。爰以单率六乘之，得四尺八寸，为所求。
用二：有凸，顺收限三尺六寸；凹，侧收限一尺一寸，相切。求：变浅限几何？
答曰：七尺八寸。
法：检表一界率三，乘凸限三尺六寸，得一丈〇八寸，为实。以单率六乘凹侧限一尺一寸，得六尺六寸。减实，余较四尺二寸。以加凸顺限三尺六寸，得七尺八寸，为所求。
用三：有凸，顺收限二尺三寸，变浅限五尺，求：相切之凹侧收限几何？
答曰：七寸。
法：检表一界率三，乘凸限二尺三寸，得六尺九寸，为实。以变浅限五尺减之，余较一尺九寸。以加凸顺限二尺三寸，得四尺二寸，为凹深限。爰以单率六除之，得七寸，为所求。
用四：有凸，侧收限五寸五分，变浅限七尺八寸，求：相切之凹侧收限几何？
答曰：九寸。
法：检表一界率三，乘凸限五寸五分，得一尺六寸五分。以单率六乘之，得九尺九寸，为实。以变浅限七尺八寸减之，余较二尺一寸。以加凸顺限三尺三寸，得五尺四寸，为凹深限。爰以单率六除之，得九寸，为所求。
用五：有凸，变浅限一丈，相切之凹侧收限一尺，求：原凸顺收限几何？
答曰：四尺。
法：检表一界率三，加一数，得四，为法。以单率六乘凹侧限一尺，得六尺。加变浅限，得一丈六尺，为实。法除实，得四尺，为所求。
附：天元〔2〕细草〔3〕
草曰：立天元一为〔4〕凸顺限，得〔5〕。以界率三乘之，得。以变浅限减之，得〔6〕。加一天元，得。寄左〔7〕。乃以单率六乘凹侧限一尺，得六尺，为同数〔8〕。消左〔9〕，得。下法上实〔10〕，除之，得原凸顺限。〔11〕
用六：有凸，变限七尺八寸，相切之凹侧收限九寸，求：原凸侧收限几何？
答曰：五寸五分。
法：检表一界率三，加一，得四，为法。以单率六除变浅限七尺八寸，得一尺三寸。加凹侧限九寸，得二尺二寸，为实。法除实，得五寸五分，为所求。
附：天元细草
草曰：立天元一为凸侧收限，得。以界率三乘之，得式。以单率六除变限，得一尺三寸，减式，得下。加天元，得。寄左。乃以凹侧收限九寸为同数。消左，得。下法上实，除之，得原凸侧收限。〔12〕
一系：凹求变浅，检表二，仿此求之。
【注释】
〔1〕该表的“表一”表示f凸与f凹之比为1:2，即凸深凹浅时，互相密接的结果相当于凸透镜变浅，变浅限（组合焦距）计算法为：以f凸乘“界率3”，减去f凹，为变浅程度；再加上f凸，为变浅后的组合焦距。“表二”为凹深凸浅时的凹变浅限。详见“圆叠”第十二条。
〔2〕天元：中国古代数学列方程方法“天元术”的简称。
〔3〕细草：意为“详细草稿”，传统算学中的详细布算过程（出现于宋元时期）。天元术脱胎于筹算开方式，所以天元细草为用算筹布列方程的过程。
〔4〕立天元一为：天元术专门用语。将要求的未知数立为天元一，相当于今天所说设未知数为x。
〔5〕从书中的几个天元草看，郑复光采用的列方程格式和术语，与天元术的创建者（宋）李冶所用一样。常数项旁边标“太”，一次幂项旁边标“元”。向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂。为省略“太”字和“元”字的列式，表示常数项为零，一次幂项系数为1，即x。
〔6〕：带一撇的算筹表示为负，此筹相当于-10+3x。
〔7〕寄左：天元术专门术语。将运算所得的中间结果（一般为多项式）放在左边。
〔8〕同数：天元术专门术语。指与左边多项式相等的另一个数或另一个多项式。前面处理的都是多项式，到“以某某为同数”这一步，得到方程。
〔9〕消左：天元术专门术语。将方程等号两边的所有项全部移到右边，使左边为零。此处相当于得到：，但算筹只摆出，表示上面为-16，下面为4，与现代算式含义相同。即相当于将不含未知数的项全部移项到右边，得到一个未知数的计算式。
〔10〕下法上实：以分数的分母为法（除数）、分子为实（被除数）。
〔11〕以上天元术列方程步骤如下：
立天元一为凸顺限，得：设凸顺收限为x
以界率三乘之，得式：3x
以变浅限减之，得：-10+3x
加一天元，得。寄左：-10+4x
乃以单率六乘凹侧限一尺，得六尺，为同数：-10+4x=6
消左，得。下法上实，除之，得原凸顺限：
右边方框内为16÷4的笔算草稿。第三行为被除数16，第五行为除数4，第一行为商数4。第二行为商数4乘除数4得到的结果16，用来减去被除数16，旁边加一撇表示负号。第四行的两个零，表示此次减法得数为零，即除尽。
〔12〕上草中，“得式”的“式”和“得下”的“下”均为“下式”的简称。“减式”为“减上式”。其天元术列方程步骤如下：
立天元一为凸侧收限，得：设凸侧收限为x
以界率三乘之，得式：3x
以单率六除变限，得一尺三寸。减式，得下：-130+3x
加天元，得。寄左：-130+4x
乃以凹侧收限九寸，为同数：-130+4x=90
消左，得。下法上实，除之，得原凸侧收限：
右边方框内为220÷4的笔算草稿，分为20÷4和200÷4两步。右列为第一步，求得个位数商为5。左列为第二步，200仍记为20，将负号（一撇）前移一位表示百位，将第一步求得的个位数商置于此时的个位数商位置，在十位数位置求得十位数商为5。最后得数为55（寸）。
【译文】
凸凹相切变浅限率表
一旦到界则恰如平镜，平镜就没有限。但既然用来作为界，那就没有限但有数值。于是取来设为界率，以待发挥它的作用而已。
应用一：有一枚凸透镜，侧收限为4寸；一枚凹透镜，侧收限为8寸，互相紧贴。求：变浅限为多少？
答：4尺8寸。
求法：查表一界率得到3，乘凸透镜侧收限4寸，得1尺2寸。减去凹透镜侧收限8寸，剩余差数4寸。以它加上凸透镜侧收限4寸，得8寸，为侧收限数。然后以单率6乘它，得4尺8寸，为要求的结果。
应用二：有一枚凸透镜，顺收限为3尺6寸；一枚凹透镜，侧收限为1尺1寸，互相紧贴。求：变浅限为多少？
答：7尺8寸。
求法：查表一界率得到3，乘凸透镜顺收限3尺6寸，得1丈零8寸，为被减数。以单率6乘凹透镜侧收限1尺1寸，得6尺6寸。与被减数相减，剩余差数4尺2寸。以它加上凸透镜顺收限3尺6寸，得7尺8寸，为要求的结果。
应用三：有一枚凸透镜，顺收限为2尺3寸，变浅限为5尺，求：与之叠加的凹透镜的侧收限为多少？
答：7寸。
求法：查表一界率得到3，乘凸透镜顺收限2尺3寸，得6尺9寸，为被减数。以变浅限5尺与它相减，剩余差数1尺9寸。以它加上凸顺收限2尺3寸，得4尺2寸，为凹透镜深限。然后以单率6除它，得7寸，为要求的结果。
应用四：有一枚凸透镜，侧收限为5寸5分，变浅限为7尺8寸，求：与之叠加的凹透镜的侧收限为多少？
答：9寸。
求法：查表一界率得到3，乘凸透镜侧收限5寸5分，得1尺6寸5分。以单率6乘它，得9尺9寸，为被减数。以变浅限7尺8寸与它相减，剩余差数2尺1寸。以它加上凸透镜顺收限3尺3寸，得5尺4寸，为凹透镜深限。然后以单率6除它，得9寸，为要求的结果。
应用五：有一枚凸透镜，变浅限为1丈，与之叠加的凹透镜的侧收限为1尺，求：原先凸透镜的顺收限为多少？
答：4尺。
求法：查表一界率得到3，加上1，得4，作为除数。以单率6乘凹透镜侧收限1尺，得6尺。加变浅限，得1丈6尺，作为被除数。除数除被除数，得4尺，为要求的结果。
附：天元细草
草：立天元一为凸透镜顺收限，得。以界率3乘它，得。与变浅限相减，得。加上一个天元，得。放在左边。就以单率6乘凹透镜侧收限1尺，得6尺，为［右边的］相等数。进行消去左边的变换，得。下为除数、上为被除数，做除法，得出原先凸透镜的顺收限。
应用六：有一枚凸透镜，变浅限为7尺8寸，与之叠加的凹透镜的侧收限为9寸，求：原先凸透镜的侧收限为多少？
答：5寸5分。
求法：查表一界率得到3，加1，得4，作为除数。以单率6除变浅限7尺8寸，得1尺3寸。加凹透镜侧［收］限9寸，得2尺2寸，作为被除数。除数除被除数，得5寸5分，为要求的结果。
附：天元细草
草：立天元一为凸侧收限，得。以界率3乘它，得下式：。以单率6除变浅限，得1尺3寸。减上式，得下式：。加天元，得。放在左边。就以凹透镜侧收限9寸为［右边的］相等数。进行消去左边的变换，得。下为除数、上为被除数，做除法，得出原先凸透镜的顺收限。
一系：求凹透镜变浅，查表二，仿照以上算法求取。
五
凸凹相离变显限率表〔1〕
用一：有凸，顺收限九寸六分，求：加凹得变显限足距，问凹侧收限几何？
答曰：八分。
法：以凸率一二为一率，凹率一为二率，今凸限九寸六分为三率，得四率，即所求。此用表二之率。
又法：置凸顺限，二归、又六归，即得。盖凸顺限二归之为凹深限，故以单率六归之得凹侧限也。此用表一之率。
用二：有单凹，侧收限三寸，求：加凸得变显限足距，问凸顺收限几何？
答曰：三尺六寸。
法：以凹率一为一率，凸率一二为二率，今凹侧限三寸为三率，得四率，即所求。
又法：置凹侧限，六因、二因，即得。
用三：有单凹，侧收限三寸；凸，顺收限九寸六分。求：差距变显限几何？
答曰：二寸五分六厘。
法：先求足距同用一。以定率一二为一率，定率一为二率，今凸限九寸六分为三率，得四率八分，为足距之凹侧限。爰以今凹侧限三寸为一率，足距八分为二率，今凸顺限九寸六分为三率，得四率，即所求。
用四：有凸，顺收限九寸六分，知差距变显限二寸五分六厘，求：原凹侧收限几何？
答曰：三寸。
法：先同用一，求得足距八分。爰以变显限二寸五分六厘为一率，凸限九寸六分为二率，足距八分为三率，得四率，即所求。
用五：有单凹，侧收限四寸，知差距变显限二尺七寸，求：原凸顺收限几何？
答曰：三尺六寸。
法：先同用二，求得足距凸顺限四尺八寸为首率，变显限二尺七寸为末率。用连比例法〔2〕，以首率、末率相乘，得十二尺九十六寸〔3〕。开平方，得中率三尺六寸，即所求。
附：天元术草〔4〕
术曰：以定率一二乘凹限，与变限相乘，为正实〔5〕。从空〔6〕。一为负隅〔7〕。平方开之〔8〕。
草曰：立天元一为凸限。以定率一乘之，得。合以定率除之，不除，便为足距内寄为母。〔9〕又以凸限乘之，得。合以凹限除之，不除，便为差距内寄为母。寄左。以两母相通〔10〕，得。以变限距得，为同数。相消，得。开平方。〔11〕
【注释】
〔1〕该表仅表示郑复光规定的伽利略式望远镜的足距定率，表一指凹透镜侧收限和凸透镜侧收限的比率为1:2，表二指凹透镜侧收限和凸透镜顺收限的比率为1:12。根据我们在“圆叠”第十三条注中的分析，这些数据没有实际意义。
〔2〕连比例法：指通过比例式a:x=x:b求x。a为“首率”，b为“末率”。x2=a·b，开平方求之。
〔3〕“九十六寸”应作“九寸六”。
〔4〕此处和以下“天元术草”分为“术”和“草”。“术”为列方程所得的最后开方式，“草”为用算筹布列方程的详细过程。
〔5〕正实：中国古代称方程中的常数项为“实”，“正实”为正数的实。
〔6〕从空：中国古代称方程中的一次幂系数为“从”（纵），又叫方、从方、从法。“从空”意为从为零。
〔7〕负隅：中国古代称方程中的最高次幂系数为“隅”，又叫法、隅法、常法。“负隅”为负数的隅。
〔8〕平方开之：即开平方。中国古代将开平方（x2=a）和解一般的二次方程（ax2+bx+c=0，即隅不为1，从不为空）都叫做开平方。此术所列方程为：-x2+1 296=0。
〔9〕“合”意为“本该”，这个x本该要用12除，才是足距侧收限。但是在筹算中，每一步都摆出分母是很不方便的，所以将分母寄在旁边，叫做“内寄某某为母”，以待后来进行去分母计算。 “不除，便为足距”：省语，“便”下省“以之”，“为”下省“带分”。意为本该要除，但是先不除，姑且以它为带着分母的足距侧收限。这种术语与李冶《测圆海镜》中的一致。李冶在该除而先不除时往往说“不受除，便以此为某某”，同时必注明“内带某某为分母”，相当于郑复光说“内寄某某为母”。内，内部，其中。寄，寄存，存放。母，分母。
〔10〕通：通分运算之类的等量变换叫做“通”。
〔11〕以上天元草是根据“圆叠”第十三条中的公式列方程。公式为。其中，为凹透镜足距侧收限，为凹透镜差距侧收限，L差为差距变显限，L足为足距变显限。由于在筹算列式中，最后要以L差为同数，故变换为。四项中两项为已知数，。另外两项中含有未知数f足=x。按“定率”规定，。按足距规定，L足=f足=x。于是得：。这样一个列式在今天很方便，但在筹算中需要逐一布列。其步骤如下：
立天元一为凸限。以定率一乘之，得：设f足=x，乘1，得x。
合以定率除之，不除，便为足距内寄为母：本该以定率12除天元x，即为足距侧收限，但是先不除，姑且以它为带着分母的足距侧收限。这一步得到，分母12寄在旁边。
又以凸限乘之，得：。
合以凹限除之，不除，便为差距内寄为母。寄左：本该以4除上式，即为差距镜筒长，但是先不除，姑且以它为带着分母的差距。把分母4寄在旁边。此时得到，把这个中间结果放在左边。
以两母相通，得：用两个分母乘两边，左边分母消去，右边为48。
以变限距得，为同数：“距”下疑脱“乘之”。右边再乘上差距变显限27，得到方程x2=1 296。
相消，得。开平方：进行消去左边的变换，得：-x2+1 296=0。解方程。表示常数项为1 296，表示一次幂项为零，表示二次幂项系数为-1。
右边方框内为开平方笔算稿。先列出上、中、下三栏。上为常数项即正实1 296。中为一次幂系数，为零，故称“空从”。下为二次幂的负系数即负隅，为-1。其开方法和今天是一致的：
右列，因302＜1 296＜402，估得初商为30。将30置于正实1 296上面。将30乘负隅，得-30，置于空从下面。再置30于其下。二者相乘得-900，置于正实之下，与之相加，得396。以初商30乘2、乘负隅，得-60，置于从栏最下面，预备作为下一步的从。因其为负数，在下一步中称负从。
左列，为求次商（即根的个位数），另起一式进行计算。此时被开方数即正实为396，负从为-60，负隅为-1。估计次商，因60×6＜396＜60×7，估得次商为6，置于正实396上面个位数的位置。以6乘负隅，得-6，置于负从之下，与之相加，得-66，置于从栏下一行，作为除数。以次商6乘除数-66，得-396，置于正实之下，与之相加，得零，为除尽，即开方开尽。初商30加次商6，得36，为最后所得的根。
中国古代的开方术，最初带有几何思维模式。将被开方数视为某个面积，将要求的根视为边长。如图71，根由初商a和次商b构成。即，边长为a+b，面积为a2+2ab+b2。上述开方，面积为1 296，即a2+2ab+b2=1 296。a为使a2最接近1 296的整数，即初商。试得初商为30，得60b+b2=396。60b的几何意义为图中的两个长方形，故60称“从方”。因从方为两个a·b，故第二步的从（一次幂系数）为2乘a（2×30=60）。b为使60b最接近396的整数，试得6，开尽。
图71
【译文】
凸凹相离变显限率表
应用一：有一枚凸透镜，顺收限9寸6分，求：加上凹透镜得变显限足距，问凹透镜侧收限为多少？
答：8分。
求法：以凸透镜定率12为一率，凹透镜定率1为二率，当前凸透镜顺收限9寸6分为三率，求得四率，即为要求的结果。这是用表二的比率。
另一求法：设定凸透镜顺收限，以2除、再以6除，即得。因为凸透镜顺收限被2除就是凹透镜深限，所以以单率6去除就得到凹透镜侧收限。这是用表一的比率。
应用二：有一枚单凹透镜，侧收限3寸，求：加上凸透镜得变显限足距，问凸透镜顺收限为多少？
答：3尺6寸。
求法：以凹透镜定率1为一率，凸透镜定率12为二率，当前凹透镜侧收限3寸为三率，求得四率，即为要求的结果。
另一求法：设定凹透镜侧收限，乘6、乘2，即为要求的结果。
应用三：有一枚单凹透镜，侧收限3寸；一枚凸透镜，顺收限9寸6分。求：差距变显限为多少？
答：2寸5分6厘。
求法：先按“应用一”的方法求出足距侧收限。以定率12为一率，定率1为二率，当前凸透镜顺收限9寸6分为三率，求出四率为8分，为足距的凹透镜侧收限。然后以当前凹透镜侧收限3寸为一率，足距侧收限8分为二率，当前凸透镜顺收限9寸6分为三率，求出四率，即为要求的结果。
应用四：有一枚凸透镜，顺收限9寸6分，已知差距变显限为2寸5分6厘，求：原先凹透镜的侧收限为多少？
答：3寸。
求法：先按“应用一”的方法，求得足距侧收限8分。然后以变显限2寸5分6厘为一率，凸透镜顺收限9寸6分为二率，足距侧收限8分为三率，求出四率，即为要求的结果。
应用五：有一枚单凹透镜，侧收限为4寸，已知差距变显限为2尺7寸，求：原先凸透镜的顺收限为多少？
答：3尺6寸。
求法：先按“应用二”的方法，求得足距凸透镜顺收限4尺8寸为首率，变显限2尺7寸为末率。用连比例法，以首率、末率相乘，得12尺9寸6。开平方，得中率3尺6寸，即为要求的结果。
附：天元术草
术：以定率12乘凹侧收限，与变显限相乘，作为正实。从空。1为负隅。开平方。
草：立天元一为凸透镜顺收限。以定率1乘它，得。应该以定率除它，先不除，就以它为［带分母的］足距［凹透镜侧收限］含有寄存的为分母。再以凸透镜顺收限乘它，得。应该以凹透镜侧收限除它，先不除，就以它为［带分母的］差距含有寄存的为分母。放在左边。以两个分母通乘［两边］，得。以变显限长度［乘它］，得，为［右边的］相等数。左右相消，得。开平方。
六
相切变深限率表〔1〕
半甲限即甲倍限。圆叠二十二论注。明其理曰：甲倍限，据其数曰半甲限。
用一：有甲加乙凸，顺收限甲四寸、乙一尺六寸，问：变深限？
答曰：三寸五分。
法：以甲除乙，得四倍，为法。乃检表一，其半甲限五，谓之半率五，入后止称半率，五从省。以折甲限，得二寸。即以减乙限，余较一尺四寸，为实。法除之，为所求。
用二：有单凸甲加乙，侧收限甲二寸、乙四寸，问：变深限？
答曰：九寸。
法：以单率六各乘，得顺收限。甲一尺二寸，乙二尺四寸。以用一法入之〔2〕，得所求。
又法：以甲除乙，得二倍，为法。以半率五折甲限，得一寸。即以减乙四寸，余较三寸，为实。法除之，得一寸五分，为侧限中数。以单率六乘之，亦得。
用三：有双凸甲加乙，侧收限甲一寸、乙五寸，问：变深限？
答曰：三寸六分。
法：以双率四各乘，得顺收限。以用一法入之，得所求。
又法：求得侧收限中数九分，以双率四乘之，亦得。即用二又法。
用四：有畸凸甲加乙，侧收限甲正面六分、副面一寸二分，乙正面二寸、副面三寸。问：变深限？
答曰：二寸五分。
法：先各求其顺收限。法详圆率一之用四。求得甲顺限三寸，乙顺限九寸。爰以甲三寸除乙九寸，得三倍，为法。以半率五折甲限三寸，得一寸五分。即以减乙限九寸，余较七寸五分，为实。法除之，得所求。此即用一之法。
一系：有单凸加双或畸，及有双凸加畸，法皆先求其顺限，以用一法入之。至于单、双互变，畸例双、单，详圆率一，变通在人，兹不备具。
用五：有变深限二寸，甲凸顺限三寸，问：乙顺限？
答曰：四寸五分。
法：以半率五折甲限，得一寸五分。以乘甲限，得四尺五寸，为实。副〔3〕以变深限二寸，减甲限三寸，余较一寸，为法。除之，得所求。
附：天元术草
术曰：以变限减甲限，余一寸，为一率；以半率五折甲限，得一寸五分，为二率；甲限三寸为三率。推得四率，即乙限。〔4〕
草曰：立天元一为乙限，得。合以甲限卅分除之，不除，便为倍数内寄为母。副置甲限，半之，得，为半甲限。以母通之，得，为带分〔5〕半甲限。以母通天元，得，为带分乙限。内减带分半甲限，得，为带分较数〔6〕，为实。以倍数天元除之，得，为变深限。寄左。以变深限为同数。消左，得。下法上实，合问。〔7〕
论曰：此法，用天元如常，而前有寄母、后不寄母〔8〕，及改寸为十分，最易眩惑，故为解之：
本法〔9〕求较，用半率五以折甲限三寸，则得一寸五分，是不得不改寸为分，以就单位也。至寄母三十分，本寄于天元内，后复以天元除带分数，则所寄之母即已消去，故寄左数遂无寄母也。试取较，改草曰：
合以天元法除之，不除，便为变深限内寄天元为母。寄左。副置变深限，以天元母通之，得，为同数。消左，得。与前法同。〔10〕
用六：有变深限九寸六分，乙凸顺收限三尺，问：甲顺收限？
答曰：一尺二寸。
法：以乙顺限三尺乘变限九寸六分，得二百八十八尺，为负实。乙顺限三尺为正从。半率五厘题以分为单位，故半率当退位为厘。为负隅。以和数〔11〕平方开之，得所求。〔12〕
附：天元草
草曰：立天元一为甲顺限。以除乙顺限，得式：，为倍数，为上法〔13〕。副置天元，半之，得〔14〕，为半甲限。以减乙顺限，得，为较数，以为实。合以上法除之，不除，便为带分变深限数内寄上法为母。寄左。副置变深限，以母通之，得，为同数。消左，得和数。平方开之〔15〕，合问。〔16〕此开得第一数也，第二数四尺八寸无用。〔17〕
用七：有子、丑两单凹侧收限，求变深。法与求凸用二同。求凹俱与求凸同。余仿此。
用八：有子、丑两双凹侧收限，求变深。法如用三。
用九：有子、丑两畸凹各面侧收限，求变深。法如用四。以凹深限虚率当凸顺限数算。
一系：凹无顺限，无缘得有变深数以求子或丑也，如虚设数为问，则依用五、用六法求之，无容设例矣。
【注释】
〔1〕如同变浅限的关键常数是“界率3”一样，变深限的关键是“半甲限”。只要用相叠加的两枚透镜的焦距比作为“倍数”去除“半甲限”，即得变深程度，即组合焦距比甲的焦距短的那一段。故表中数据给出甲、乙两凸同深（均为10）时的半甲限为5。子、丑两凹同深亦仿照两凸。半甲限也表示顺收限不等于10而等于其他数值时，也将其折半。
〔2〕以用一法入之：意为按“应用一”的计算法进行计算。
〔3〕副：“副置”的简称。副置：（唐）李籍《九章筭术音义》解释说：“别设筭位，有所分也。”意为在旁边另外进行一项相关计算时的第一步，另外布置一个数。李籍语引自郭书春《九章筭术译注》。
〔4〕此术为根据比例式来求取f2。即通过10:15=30:x，求得x=45。右边方框内“三〇”和“一五”两个数据的位置互换，为误刻。
〔5〕带分：“带有［被寄存的］分母”的省文。
〔6〕此处的“数”不是一个数值而是多项式。后文中的“寄左数”也是指放在左边的多项式。放在右边的“同数”既可为一个数值，亦可为一个多项式。“较数”既可为两数相减所得的一个数值，亦可为一个相减的多项式。
〔7〕以上“天元草”为根据“圆叠”第二十二条注〔9〕中的公式来列方程。步骤如下：
立天元一为乙限，得：设未知数乙限为x。
合以甲限卅分除之，不除，便为倍数内寄为母：这一步是布置这个“倍数”，此时f2为未知数x。x本该被f1（30）除，才是倍数，但先不除，就以它为带着分母的倍数，把分母30寄放在旁边。这一步得到倍数为。
副置甲限，半之，得，为半甲限：另外布置甲限，取其一半，为，得15。
以母通之，得，为带分半甲限。以母通天元，得，为带分乙限：这一步最有迷惑性，郑复光在后面也说“最易眩惑”，相当于以分母30分别乘半甲限15（即）和天元x（即f2），同时又让它们都带上分母30。在现在看来等于以30乘、以30除，什么也没有做。但在筹算中，一开始就寄放了一个分母，最后总要消掉，所以在消掉之前就要带上。以分母30乘半甲限，得450，为带着分母30的半甲限（算筹只摆出，即450）；乘天元得30x（算筹在太位下为一次幂），为带着分母的乙限。
内减带分半甲限，得，为带分较数，为实：以带分乙限减带分半加限（即-），得，为带着分母的差数（即相减式）。在算筹式中，分母30不摆出来而寄在旁边。
以倍数天元除之，得，为变深限。寄左：这一步做完整个分数多项式。即以倍数（即）除，寄存的分母30在此时消去，得，为变深限。算筹式中（30）在太位为常数，（-450）在上面一行为负一次幂。将这个表示变深限的多项式放在左边。
以变深限为同数。消左，得：上面寄左的多项式与已知的变深限20相等，得到方程，进行消去左边的变换，得：。
下法上实，合问：以下面的法数（除数）10除上面的实数（被除数）450，所得符合所问。
〔8〕前有寄母、后不寄母：指前面以甲限30除天元时寄存分母，而后面以带所寄分母的天元除带分母的相减式时却不寄存分母。实则此时分母已消去，无所寄。
〔9〕本法：指上述解法为基本解法，系相对于下面的解法为变法而言。本，基本，原本。
〔10〕从相减式-450+30x这一步开始，改变算法，另起算草为：
本该以天元x为除数（法）去除上式，则表示变深限，但是先不除，就以上式为带着分母的变深限，将分母天元x寄在旁边。将所得多项式放在左边。另外布置变深限20（于右边），以分母天元x同时乘左右两边，左边寄存的分母在此时消去，得等式：-450+30x=20x。进行消去左边的变换，得：。与前面的方法所得一致。
〔11〕和数：各个数相加所得的项。既可为几个数相加所得的一个数值，亦可为一个相加的多项式。
〔12〕此“法”为方程-0.5x2+300x-28 800=0。
〔13〕上法：“法”为除数，此数为稍后要用到的除数，故“上法”为预先得到的法（除数）。
〔14〕在这个算筹符号中，“元”在左，表示0.5x。若“元”在右，则为5x。
〔15〕古代将解一元二次方程也叫做开平方。
〔16〕以上“天元草”为列出方程：。其中f1=x，f2=300，F=96。列方程步骤如下：
立天元一为甲顺限：设甲顺限为x。
以除乙顺限，得式：，为倍数，为上法：以x除乙顺限，得，为变深限的倍数，作为预留的法数（除数）。
副置天元，半之，得，为半甲限：另外布置天元x，取其一半，得0.5x（即），为半甲限。
以减乙顺限，得，为较数，以为实：以半甲限与乙顺限相减，得300-0.5x，为变深限的差数，作为被除数。
合以上法除之，不除，便为带分变深限数内寄上法为母。寄左：本该以上法除上式，即为变深限，但先不除，就以它为带分母的变深限，将分母寄在旁边。将整个式子放在左边。这一步得到。
副置变深限，以母通之，得，为同数：将变深限96置于右边，两边同乘300以去分母，右边得28 800，作为与左边相等的数。
消左，得和数。平方开之，合问：进行消去左边的变换，（右边）得到多项式各项之和（左边为零，左右相等）。按今天的习惯，左右与古代相反，得方程：-0.5x2+300x-28 800=0。解方程，所得符合所问。
右边方框内为解一元二次方程-0.5x2+300x-28 800的笔算列式。
右列，上为常数项即负实-28 800，中为一次幂系数即正从300，下为二次幂的负系数即负隅-0.5。因1002＜28 800＜2002，估得初商为100。将100置于负实-28 800上面。将初商100乘负隅-0.5，得-50，置于正从300下面，与之相加，得余从250。以初商乘余从，得25 000，置于负实之下，与之相加，得-3 800。再以初商100乘负隅-0.5，得-50，置于余从250之下，与之相加，得200，预备作为下一步的从。
左列，为求次商，另起一式进行计算。此时被开方数即负实为-3 800，从为200，负隅为-0.5。估计次商为20。以20乘负隅-0.5，得-10，置于从下，与之相加，得190。以次商乘190，得3 800，置于负实之下，与之相加，得零。开尽。初商100加次商20，得120，为要求的根。
由上可知，中国古代的开平方运算与解一元二次方程运算，是同一个程序，故一律称作开平方。像此题这种一次幂项不为零的情况，又称“带从开平方”。
〔17〕上述方程有两个根，另一个为x=420，这个根对于上述应用题的题意来说无用。
【译文】
相切变深限率表
半甲限就是甲倍限。“圆叠”第二十二条论注。道理讲明了就是：甲倍限，从数值上说就叫半甲限。
应用一：有甲、乙凸透镜组合，顺收限甲4寸、乙1尺6寸，问：变深限为多少？
答：3寸5分。
求法：以甲顺收限除乙顺收限，得4倍，作为除数。然后表一，其半甲限为5，称之为半率5，以下只称半率，5从略。以它将甲顺收限折半，得2寸。就以它与乙顺收限相减，剩余差数1尺4寸，作为被除数。以除数除它，为要求的结果。
应用二：有单凸透镜甲和乙的组合，侧收限甲2寸、乙4寸，问：变深限为多少？
答：9寸。
求法：以单率6分别乘侧收限，得出顺收限。甲1尺2寸，乙2尺4寸。以“应用一”的解法求解，就得到要求的结果。
另一求法：以甲侧收限除乙侧收限，得2倍，作为除数。以半率5将甲侧收限折半，得1寸。就以它与乙侧收限4寸相减，剩余差数3寸，作为被除数。以除数除它，得1寸5分，为侧收限的中间数。以单率6乘它，也能得出结果。
应用三：有双凸透镜甲和乙的组合，侧收限甲1寸、乙5寸，问：变深限为多少？
答：3寸6分。
求法：以双率4分别乘侧收限，得出顺收限。以“应用一”的解法求解，就得到要求的结果。
另一求法：求得侧收限中间数9分，以双率4乘它，也能得出结果。即“应用二”的另一解法。
应用四：有畸凸透镜甲和乙的组合，侧收限甲正面6分、副面1寸2分，乙正面2寸、副面3寸。问：变深限为多少？
答：2寸5分。
求法：先分别求出它们的顺收限。求法详见“圆率”第一条的“应用四”。求得甲顺收限为3寸，乙顺收限为9寸。然后以甲顺收限3寸除乙顺收限9寸，得3倍，作为除数。以半率5将甲［顺收］限3寸折半，得1寸5分。就以它与乙顺收限9寸相减，剩余差数7寸5分，作为被除数。以除数除它，就得到要求的结果。这就是“应用一”的解法。
一系：如果碰到单凸透镜加双凸透镜或畸凸透镜，以及双凸透镜加畸凸透镜的情况，方法都是先求出它们的顺收限，以“应用一”的解法求解。至于单、双互相换算，畸例比双、单，详见“圆率”第一条，变通在于人为，此处不再一一列举。
应用五：有变深限2寸，甲凸透镜顺收限3寸，问：乙凸透镜顺收限为多少？
答：4寸5分。
求法：以半率5将甲顺收限折半，得1寸5分。以它乘甲顺收限，得4尺5寸，作为被除数。另以变深限2寸，与甲顺收限3寸相减，剩余差数1寸，作为除数。除数除被除数，就得到要求的结果。
附：天元术草
术：以变深限与甲顺收限相减，剩余1寸，作为一率；0以半率5将甲顺收限折半，得1寸5分，作为二率；甲顺收限3寸为三率。推得四率，即乙顺收限。
草：立天元一为乙顺收限，得。本该以甲顺收限30分除它，先不除，就以它为［带分母的］倍数含有寄存的为分母。另外布置甲顺收限，取其一半，得，为半甲限。以分母对它作通分乘法，得，为带有分母的半甲限。以分母对天元作通分乘法，得，为带有分母的乙顺收限。其中减去带有分母的半甲限，得，为带有分母的差数，作为被除数。以倍数天元除它，得，为变深限。放在左边。以变深限为［右边的］相等数。进行消去左边的变换，得。下为除数、上为被除数［进行除法］，所得符合所问。
论：以上解法，为正常运用天元术，但前面寄存分母、后面不寄存分母，还有把1寸改为10分，最容易让人迷惑，所以对此作一点解释：
原本的解法中求差数时，用半率5将甲顺收限3寸折半，结果得1寸5分，这样就不得不改寸为分，以便将就单位。至于寄存的分母30分，本来就寄在天元之中，后来又以天元除带分母的项，所寄的分母就已经消去，所以寄在左边的项就没有寄存的分母了。试从差数这一步将天元草改为：
本该以作为除数的天元去除它，先不除，就以它为［带分母的］变深限含有寄存的天元为分母。放在左边。另外设置变深限，以天元分母通乘［两边］，得，作为［右边的］相等数。进行消去左边的变换，得。与前一方法相同。
应用六：有变深限9寸6分，乙凸透镜顺收限3尺，问：甲凸透镜顺收限为多少？
答：1尺2寸。
求法：以乙顺收限3尺乘变深限9寸6分，得288尺，为负实。乙顺收限3尺为正从。半率5厘题目上以分为单位，所以半率当退位为厘。为负隅。对和数进行开平方运算，得所需结果。
附：天元草
草：立天元一为甲顺收限。以它除乙顺收限，得下式：，为倍数，为预置的除数。另外布置天元，取其一半，得，为半甲限。以它与乙顺收限相减，得，为差数，以它为被除数。本该以预置的除数去除它，先不除，就以它为带分母的变深限数含有寄存的预置除数为分母。放在左边。另外布置变深限，以分母通乘［两边］，得，作为［右边的］相等数。进行消去左边的变换，得和数。开平方，所得符合所问。这是开方所得的第一个数，第二个数4尺8寸无用。
应用七：有子、丑两枚单凹透镜的侧收限，求变深限。解法与求解凸透镜的“应用二”相同。求解凹透镜一律与求解凸透镜相同。其余仿照此例。
应用八：有子、丑两枚双凹透镜的侧收限，求变深限。解法如“应用三”。
应用九：有子、丑两枚畸凹透镜的各面侧收限，求变深限。解法如“应用四”。把凹透镜深限虚率当作凸透镜顺收限数来计算。
一系：凹透镜没有顺限，无由从变深限数来求子或丑的限，如果虚设数值来提问，则依照“应用五”、“应用六”的解法求解，无须再设置例题了。