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即可说有零之数。然谓此虚位中有零之数，初同于谓：此中有可容“一”居之之虚位。今人之谓任何已成之数，为继续加一于零所成，亦同于谓：为此“一”之次第居于数之虚位所成。而一已成数之数，即同于“一”次第所居之虚位之数。然由此数之虚位，容“一”次第居之，又可以“一”名此虚位，而可说有“一”虚位，虚位中有“一”零之数。今有此一零之数为一数，更合于在此已成之数中“一”所居虚位之数，而计，则必较在此已成之数中“一”所居之虚位之数N多一，而为N+1。此即超限数之观念之所以成。然此超限数之为数，实即指数之虚位之数。已成之数之前程，恒有其虚位，故合此虚位而计之数中之虚位，自必永大于已成之数中之虚位，而非此已成之数中之虚位之数，所得而限，而为一超限数。然此上所谓数之虚位中，初无一之数，亦无任何数，而一切已成之数，初无不在此虚位中为虚，而数之观念在此亦为虚；则可不说此虚位为数之虚位，以致亦可不由此虚位之数，非已成之数所得而限，以言超限数；而可只说：此虚位为人心所知，而在人心。此虚位，即可称为人能超越于其心灵活动所已形成之数之外，其心之容量中，所余之虚位。如人之心灵之容量中，无此虚位，则人之次第加一于已成数，以构成更大之自然数，即成不可能；而本此自然数，以构成其他之数，更发现其关系之事，亦不能有。唯人有此心灵之容量，以有此虚位，以容人构成自然数，更构造成其他种种数，而发现其间之关系，乃有数学。则一切数与数学，亦只能存于此心灵之容量中，而在此心灵之虚位中进行，而数与数之关系之似无限，数学之似无限，即只依此心灵之虚位之有而有，而亦为此心灵之虚位之所涵容。则此心灵之虚位，即又如永在其所涵容者之外，而为此所涵容者之外限矣。
一一 观数概念与类概念之应用之效限
吾人上来说，自然数之系列中之数，由加一于零而成，即加一于数之虚位而成。此数之虚位，可说是零，亦可说只是一数之虚位、心灵之虚位。此至少自人之思想历程看，宜如此说。人之思想历程，初非始于知有数，而是知以一类概念，判断事物，而族类辨物。此人之以一般类概念判断物之时，初不知有数。即数之一、与数之零，亦初未尝有。然吾人亦无妨自外而说，因此时在人之思想中，任何一数皆无，而其思想中之数概念之数，即为零。吾人亦即可说人之思想“数”，即由数概念之数为零，至数概念之数为一或二。如知有一，则其数概念之数为一，知有一又知有零，或更知有二，则其数概念之数为二或三是也。然此皆自外而观之语。若在人未有数概念之时，则既无数概念，亦更不能知其数概念之数为一，或为二等也。然人无数概念之时，人可有一般之类概念，以有其对事物之判断，则类之概念先于数之概念。人在以某类概念判断事物，而见事物之内容，同于此概念内容时，即发现二者之贯通统一，人更知此“贯通统一”之同于任何判断中，人所发现之任何类概念之内容，与所判断事物之内容之“贯通统一”，而后人可进而形成统一之统一，或数之一之概念，还用此数之一，以指一般之内容之统一。由此一之次第加于零或心灵中之虚位，乃有自然数之系列之形成。如前文所说。
此上之说，乃谓数之观念之原始，在人之类概念与事物内容之贯通统一。此与依类之个体项目之一对一关系，以说数为类之类之说固不同；然此亦是先有类概念，更有其内容合于此概念内容之事物，为个体，然后有数之说，而亦是建数之基础于一般类概念之说。此中，吾人若专自吾人之用类概念，以形成一判断说，即是先以类概念，定一命题函值，而望有一个体，具此概念内容者，能满足此命题函值，以形成一真的命题。若专自吾人判断命题之形成之自身说，即是对一判断命题，更有一肯定或肯定之为真，而说：此判断命题是如此，亦即是如此。此即人之理性上之自肯活动，见于此判断命题之形成之中者。人必先有以类概念，定命题函值，有理性上之自肯活动，并形成一真判断命题，然后能说数之一。则此数之一，即可说为依于某个体满足某命题函值，亦依于某理性上之自肯活动，并依于某判断命题之为真而有者，亦可说此“一”为某个体满足命题函值之别名，或某理性之自肯活动之客观表现，或某判断命题之成为真之真理之客观表现。然当吾人见有某个体物，其内容，合于某类概念，而满足某命题函值，以成某真命题、真判断时，吾人说有“某一物”之“一”时，吾人却不须说：其为满足某一命题函值之项目，为一个体，乃类似于满足其他命题函值之项目之为一个体者；“一”为类之类云云。诚然，吾人说有“某一物”之“一”时，直就此“一”而观，此“一”自有其普遍的意义，人凡于见有其他满足一命题函值之某一个体时，皆可说一。此处之“一”，即可称为类之类。然人在正说有某一物时，此“一”只缘人见某物之内容与一类概念之内容，有贯通统一而起，亦即直接由见有某一物满足一命题函值而起。人此时之用有普遍意义之一，即同时限定此“一”之意义，以应用于其直接见有之统一贯通之处。此时，此“一”之意义，即特殊化，非复为兼指其他凡有统一贯通之处，或凡有一物满足一命题函值处之一。人始知有一，亦当是先知此特殊化之一，如小孩乃先知某一人某一物之一，方更知此一之有其普遍的意义，以为遍用于一切人物之一。若人必先知有此遍用于一切人物之一，而后知某一物某一人之一，则人永无始知有一之时。此始知有一，乃知此特殊化之一，即只知某贯通统一之有，而依之以起之一。在此所知之一之义中，即“未尝知有普遍意义而为类之类”之“一”也。又人在知有某物之内容，同于一概念之内容，而见有贯通统一时，人自可知此某物内容之多少不同于此概念内容者，即可再对应人之特殊的概念判断，而见其为一特殊的个体。然此中人可并不知某物必为某类物中之唯一无二之个体，亦可不知此外之有无其他个体之等于此个体者；则亦更不须说：某物为某类物中之唯一无二之个体，或此外无其他个体（即若有，亦等于此个体）等，然后能知有一。则此一之概念，亦不待对此某物之为唯一无二之个体等有所知，然后能立也。至于上文说此一，为理性之自肯活动之客观表现，或判断命题之真理之客观表现等，固皆可说。然理性与真理之客观表现有种种，而不须只以数或数之一为其表现。此中，唯以人之理性表现为一特殊形态，即以“类概念”判断“事物”，而见其内容之贯通统一，方为数或数之一，所依之以生之原始。在有此内容之贯通统一处，吾人可说：某判断对某物为真，更说某物为一物，某判断为一判断。此中为真理之表现者，亦只是此“某判断中之类概念与某物内容之贯通统一”，及由之而有之某一物之“一”、与某判断之“一”，而更无其他也。
吾人方才说，由某判断对某物为真，即可更说某物为某一物，某判断为某一判断。由此而当某判断对某物为真时，吾人即可更作一判断，即“使某一判断为真之物之数是一”之判断，此判断亦为真。此即数之判断之始。而当此一判断，再对另一物为真；则此一判断兼对二物为真，而可化出“使此一判断为真之物之数是二”之判断。此判断亦为真。由此而吾人之应用任何类概念用以成就判断，皆可说有种种数之物，使之为真。此种种数之物，即皆为属于某类之物，而其数即某类之物之数。而吾人之判断某类之物之个数为何，即同于此判断中之类概念之可能应用于物，而得为真之次数之为何。然此判断中之类概念之应用于物而得为真之次数，合为一次序历程。此中吾人只须循一次序历程，以次第加一，而综合之，以得此中之类概念之应用于物之次数，亦即得吾人之判断中之某类之物之个数。此固亦非必须先知：此数之为：一切可应用此数于其类之个体之类之类也。
上文谓由吾人对某判断之为真，可说其次数，而对某类之物可说个数。此说某类之物之个数之命题，有某数可用，而说其个数为某数之命题，即得成为真，而某数之概念，亦得成为真。至于人所可能构造或发现之其他一一之数，则虽不对某类之物之数为真，然亦可对其他之一一类之物之数为真。世间之任何类之物，无论其个数为如何，亦总有吾人所可能构造或发现出之某一数，对之为真。由此而无论世间任何类之物之个数，如何增加减少，皆可有数之某一个，对之为真，而终逃不出此可有之数之网罗涵盖之外。此亦如世间之物，虽可不属此类，必属于彼类，终逃不出吾人可有之类概念之网罗涵盖之外。由此而可助成之一哲学，即以一切数概念与其他类概念之和所成之世界，为昭临于一切个体事物之上，而自己存在之柏拉图式哲学，如前文所提及。然此上之义并无必然性。人若顺观其用类概念以判断时，必前向于一定之事物，而次第观其个数；则人在对一定之事物，只有一定之类与数概念，能用以形成真判断时，其余之一切类概念、数概念，即皆不能应用，而若应用之，即皆只对此一定之事物为假者。故在一定之物上看，除某些类概念之内容存于其中者外，其余一切类概念之内容，皆不存于其中，亦皆全部为知此一定之物之心灵活动所废弃。而当所知一类之物之数只为某数时，其余一切数，皆不存于其中，亦全部为此心灵活动所废弃。则此其余一切类概念，对此一定之物言，皆无所指，而其所规定之类，皆同为一空类，而无分别。此其余一切数，对一定之物之数言，其数皆无所指，而在一定之物之数中，此其余之一切数皆不存在，而其存在之次数为零数。然此说其为空类、为零数，仍是先思及其余一切类概念，或数概念，而更观：在此一定之物中无有此等概念之内容之辞。若在吾人只知有一定之物与其数之时，则人可根本不思此外之类概念与数概念，则此空类之类，零数之数，亦不得而说，而根本无外于此一定之类概念与数概念者之存在。又吾人用类概念判断，而不知其个体之数时，则只有类概念，而无数概念。至于在吾人未形成一类概念时，则连此类概念亦无。克就此人之心灵活动，可不知有数，亦不知有类之际以观，则此心灵活动，即存于类与数之世界以外，一无类无数之世界。此即如心灵活动在无所思之状态所见之境。此心灵有此境，即有此世界。若有此世界，则此有类、有数之世界，即为心灵所可超拔之世界，而非心灵所必须凭之以网罗涵盖具体事物之世界者。若人不凭之以网罗涵盖具体事物之世界，则谓其昭临于具体事物之世界之上，或谓世界中之具体事物，皆为表现此数与类之世界中各数各类之内容者，即皆不得而说矣。
一二 类概念及数概念与感觉经验事物之次序相应生起之历程与客观存在事物
吾人若不以类与数之世界，为昭临于具体事物之上而自己存在者，则吾人可反而唯自吾人之数与类之概念，初连于吾人之判断；而更观：在吾人之判断历程中，吾人恒由发现吾人所持以判断之概念，不得吾人对事物内容之经验之印证，而恒即自废弃之；而更本吾人对事物内容之新经验，以另形成一类概念；则知吾人之类概念之形成，大可后于吾人对事物内容之经验。人对事物内容之经验，尽可初只是一纯粹之感觉经验，而与其他经验，初无所谓类与不类者。类概念，则为由发现一感觉经验内容，有贯通其他感觉经验内容之普遍意义，而继之以形成者。若然，则人之类概念之次第形成，即为随顺人之感觉经验之次第前伸，而后次第形成者。既形成，而以之判断后起之感觉经验中之事物，若见其内容不相贯通，即须自撤回而后退。此所谓后退，即一经验内容之自消逝，以容一新经验内容之呈现更重现，以便形成其他之类概念。由此而人遂有不同感觉经验内容之自身，更迭的重复于新经验之中，而吾人亦即可随顺此感觉经验之内容之自身之更迭的重复，而更迭的形成不同的类概念。吾人之用此不同之类概念，以次第判断后继之感觉经验之生起，亦为对此不同的类概念，更迭的次第运用，以求应合于此后继之感觉经验之生起的次第。于此中，若再得其应合，则吾人更自加强对此不同类概念之更迭的次第运用，此更迭的次第运用，既由加强而成习惯之后，则吾人之更迭的运用此诸类概念，亦如吾人心灵活动之绕此诸类概念而旋转，而亦渐更不求自逃于此旋转之活动之外。此即吾人通常所谓客观外在之属某种类之事物之概念，所由以形成，而为吾人之所以得见有属各种类之事物所合成之现实存在之世界之本，兹更解释如下文。
原吾人之所以谓有客观存在的属某种类之事物，固原于经验。然此乃原于一特殊类之经验。非人之任何类之经验，皆可形成一客观存在的属某种类之事物之想。亦非只须吾人之用一类概念以判断，而知其对某事物为真，吾人即能谓此某事物为客观存在之事物。因吾人之知此概念对某事物为真，即知其对某事物之经验为真，而见吾人前后经验之贯通。此并非必然可产生此某事物为客观外在之想者。此某事物之为客观外在之想，非只由于吾人知用一类概念以判断，而知其对某事物为真，而当是由吾人之可相继的用不同之类概念，以成相继的判断，而见此诸概念与诸判断之次第更迭的在相继生起感觉经验事物中成为真。此则必待于感觉经验事物，相继生起时，其自身所次第更迭的表现之内容，同于吾人次第更迭的生起之概念之内容。吾人之次第更迭生起之概念，若为吾人随意制造者，则吾人不能谓感觉经验事物之相继生起，其次第更迭的表现之内容，必同于吾人次第更迭生起之概念之内容。必须吾人次第更迭生起之概念，亦先是随顺感觉经验事物之内容之次第更迭生起，而次第形成，更次第更迭生起者；方能与感觉经验事物之次第更迭生起时所表现之内容，相应合。而当吾人次第形成而更迭的生起之概念，必须应合于感觉经验事物之次第更迭的生起表现之内容，而不容吾人之随意制造其内容与次第时；吾人即感到此感觉经验事物之次第更迭的生起之秩序，乃外在于吾人之心灵之随意制造，而对之为客观存在者。由是而吾人乃得有此所经验之事物，为客观外在之想。由此感觉经验事物之诸内容为次第更迭的生起，即见此诸内容，皆各为能反复重复出现之普遍者，即一类概念之内容；而此诸内容之依其更迭的生起之序，而合成之概念，即亦为一类概念。世所谓“客观存在，而属于某类之事物”之概念，亦即“其诸内容，乃依其更迭的生起之序，而相关联，所组成”之概念也。
今欲举例明上所述，亦甚简单。如吾人谓此一桌为客观存在之属桌类之物，此非直由吾人对桌之经验之内容，同于吾人之桌之概念之内容，便可说其为客观存在。此对桌之一经验，亦可能只是吾之一幻觉。实则吾人之经验一客观存在之桌，吾人必须对一桌有次第生起之不同经验。在此不同经验中，吾人可在一时经验此桌为方或为斜。此方斜皆不同之类概念。然吾人对桌之不同之方斜经验，可由吾人循不同角度，而次第观桌之时，次第生起，而依任何一定角度，以观桌，皆有一定之方与斜之生起；此中不容吾人更于次第感觉此方斜之时，想像此方斜不如此次第生起。吾即由此以谓此桌为一客观外在之桌；并谓其自身有此次第表现为方斜之性质，即其所以为此桌之内容上的性质。此中，吾人之所以判断此桌之方斜等为如此次第生起，而相联结，其所用之一切概念，则皆初由吾人先有次第相联结之方斜之感觉经验之生起，而更随顺之以形成者也。此一切概念既形成，用以作判断，而更在继起之自不同观点，以观桌之所生起之次第经验中，得其应合，吾遂得谓此桌之实有此方斜等之相联结，为其性质内容，而为合于吾人所有之对桌之概念，之桌之类矣。
由上所论，则吾人之知有客观存在之属于某类之事物，必先有：相继之感觉经验事物之内容之次第更迭生起，而于此更迭的生起，见此内容之可重复而为类。次为：吾人之概念之随顺之而次第形成，亦更迭的生起，而持之以形成判断。再次：为见其后之感觉经验事物之次第更迭的生起，其内容，亦应合于此判断中之概念之次第更迭生起中之内容。此中，若专自后来之感觉经验事物之内容，应合于吾人之概念之内容上看，并不能断定此感觉经验事物，为客观外在。必吾人之概念，先随顺于感觉经验事物之次第内容，而次第形成，并次第求在内容上与之应合而见其为同类，而自知不能随意形成其概念；再以其概念判断事物，而感此次第更迭生起之事物内容与概念内容二者之相应合而实为同类；然后有此属某类之事物为客观存在之想。故此物之客观存在之想，乃多重之相“类”的关系之发现与形成之产物。吾人之谓世界由种种客观存在的同类事物所合成之世界，亦即由吾人之随处有此多重的类的关系之发现与形成之结果。（关于事物之客观存在如何建立之问题，上文只及其一义。于后文之感觉互摄境，道德实践境，更有所进论。）
依上列之说，人对事物欲有真知识之成立，固必须用类概念以成判断。然自此类概念之自身，初须随顺感觉经验以形成，又终必于继起之感觉经验中，求其应合以观，则此概念仍只为前后之感觉经验求贯通统一，所经之桥梁与道路，而不能超临于感觉经验之事物之上。则一切只由吾人之必用概念，以成判断，又可用种种不同之概念，以形成种种不同之判断，以涵盖网罗经验事物，而主张具体存在之事物，只为表现此概念之内容之柏拉图主义之说，即尽失其所据。唯有随顺感觉经验事物之内容之重复的次第生起，以形成概念，再用之于感觉经验，方为形成事物之真概念、真知识之途；亦为吾人之所以得肯定有客观存在之经验事物或具体事物之道也。