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<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴
钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷二十六
体部四
曲线体
曲线体
设如长圎体径与髙皆七尺问积防何
法以长圎体径七尺用求圎面积法求得圎面积三十八尺四十八寸四十五分零九厘九十六豪二十五丝有余以髙七尺乗之得二百六十九尺三百九十一寸五百六十九分七百三十七厘有余即长圎体之积也如圗甲乙丙丁长圎体先以乙丙底径求得乙己丙戊圎面积而以庚辛髙乗之即得甲乙丙丁长圎体之积也
又法以长圎体径七尺用径求周法求得圎周二十一尺九寸九分一厘一豪四丝八忽五微五纤有余与髙七尺相乗得一百五十三尺九十三寸八十分三十九厘八十五豪有余为长圎体之外面积以半径三尺五寸乗之得五百三十八尺七百八十三寸一百三十九分四百七十五厘有余折半得二百六十九尺三百九十一寸五百六十九分七百三十七厘有余即长圎体之积也如圗甲乙丙丁长圎体先求得乙己丙戊圎周与甲乙髙相乗得甲乙丙丁外面积为底以庚甲半径乗之得庚甲丙辛长方体为甲乙丙丁长圎体积之二倍葢因长圎体之外面积与长方体之底面积等而长圎体之半径又与长方体之髙度等则长圎体为长方体之一半【见防何原本五卷第二十四节】故折半即得甲乙丙丁长圎体之积也
又法用长方体长圎体之定率比例以长方体积一○○○○○○○○○为一率长圎体积七八五三九八一六三为二率今所设之长圎体径七尺自乗以髙七尺再乗得三百四十三尺为三率求得四率二百六十九尺三百九十一寸五百六十九分九百零九厘有余即长圎体之积也此法葢以长方体与长圎体为比例定率之一○○○○○○○○○为长方体积而七八五三九八一六三为长方体同髙同径之长圎体积故以径自乗髙再乗得长方体积彼定率之长方体与长圎体之比即同于今所得之长方体积与所求之长圎体积之比也
设如尖圎体底径六尺中髙六尺问积防何
法以底径六尺用求圎面积法求得底面积二十八尺二十七寸四十三分三十三厘八十五豪有余以髙六尺乗之得一百六十九尺六百四十六寸三分一百厘有余三归之得五十六尺五百四十八寸六百六十七分七百厘有余即尖圎体之积也如圗甲乙丙丁戊尖圎体先以乙丁底径求得乙丙丁戊底面积以甲己髙乗之得庚乙丁辛长圎体为甲乙丙丁戊尖圎体之三倍葢因上下面平行各体与平底尖体同底同髙者其平底尖体皆得上下面平行体之三分之一【见防何原本五卷第二十三节】故以所得庚乙丁辛长圎体积三归之即得甲乙丙丁戊尖圎体积也
又法用尖方体尖圎体之定率比例以尖方体积一○○○○○○○○○为一率尖圎体积七八五三九八一六三为二率今所设之尖圎体底径六尺自乗以髙六尺再乗得二百一十六尺三归之得七十二尺成尖方体积为三率求得四率五十六尺五百四十八寸六百六十七分七百三十六厘有余即尖圎体之积也盖尖方体为长方体之三分之一而尖圎体为长圎体之三分之一故尖方体与尖圎体之比即同于长方体与长圎体之比也
又捷法定率比例以长方体积一○○○○○○○○○为一率尖圎体积二六一七九九三八八为二率今所设之尖圎体底径六尺自乗以髙六尺再乗得二百一十六尺为三率求得四率五十六尺五百四十八寸六百六十七分八百零八厘有余即尖圎体之积也此法葢以长方体与尖圎体为比例长方体积为一○○○○○○○○○则长圎体积为七八五三九八一六三将此长圎体积三归之则得尖圎体积为二六一七九九三八八故定率之长方体与尖圎体之比即同于今底径自乗髙再乗所得之长方体积与所求之尖圎体积之比也
设如尖圎体底周二十二尺自尖至底周之斜线五尺求中垂线之髙几何
法以底周二十二尺用周求径法求得底径七尺零二厘八豪一丝七忽有余折半得半径三尺五寸零一厘四豪零八忽有余为勾以自尖至底周之斜线五尺为?求得股三尺五寸六分九厘三豪三丝三忽有余即中垂线之髙也如圗甲乙丙丁戊尖圎体以乙丙丁戊底周求得乙丁底径折半得乙巳半径为勾以自尖至底周之甲乙斜线为?求得甲巳股即中垂线之髙也
设如圎 【与】球径二尺问外面积几
何法以 【球】圎球径二尺用径求周法求得周六尺二寸八分三厘一豪八丝五忽有余与径二尺相乗得一十二尺五
十六寸六十三分七十厘有余 【体】即圎
球之外面积也如圗甲乙 【半】丙丁圎球体以甲丙全径与甲乙丙丁全周相乗即得圎球体之外面积葢因圎面半径
径等者其圎面积为 【癸】球体外面积之
四分之一而圎面半径 【长】与球体全径等者其圎面积与球体外面【圎体此球体之乙见
几何】积等 【原】故圎球全径与全周相乗【本】而得圎球之
外面积 【十】也设如圎球径一尺二
寸问积 【巻】几何法以圎球径一尺二寸用径求圎面积法求得圎面积一尺一十三寸零九分七十三厘三十五豪四
【第】十丝有余以圎球径一尺二寸乗之
得一尺三百五十七寸一百六十八分零二十四厘有余为长圎体积三归之得四百五十二寸三百八十九分三百四十一厘有余倍之得九百零四寸七
百七十八分六百八 【八】十二厘有余即
圎球之体积 【节】也如圗甲乙丙丁圎球体求得戊己庚辛平圎面积以甲丙全径乗之得与圎球同径同髙之壬戊庚丁全径与长圎体之戊庚底径度等而
【有】球体之甲丙全径又与长圎体之壬
戊髙度等则球体积为长圎体积之三
分之【余以半径六寸乗之得二】二试以 【尺】圎球同径
之平圎面积为 【见】底圎球之半径为髙
作一甲乙丁尖圎体则其积为甲 【防】乙丁半球体积之半夫尖圎体与长圎体同底同髙其比例为三分之一而尖圎
【何】体又为半球体之二 【原】分之一则半
球体必为半长圎体 【本】之三分之二半
球体既为半长圎体 【十】之三分之二则全球体必为全长圎体之三分之二可知故以所得壬戊庚癸长圎体积三归
倍 【卷】之即得
甲乙丙丁 【第】圎球体积也又法以 【九】圎
球径一尺二寸用 【节】求圎球之外面积法求得圎球之外面积四尺五十二寸三十八分九十三厘四十一豪六十丝七百一十四寸三百三十六分四十九厘有余三归之得九百零四寸七百七十八分六百八十三厘有余即圎球之
体积也如圗甲乙丙丁圎 【百】球体先求得外面积乃以此外面积为底戊丙半径为髙作一戊己庚尖圎体其体积必
与 【零】圎球体积等葢尖圎体之底面【四】积与球体之外面积等尖圎体之髙度与球体之半径等则其体积【寸七百七十见防何原本五卷】亦必等故以戊丙半径与外面积相乗三归之即如得戊己庚尖圗体积
而为甲乙 【第】丙丁圎
球体积也又 【二】法以方邉球 【十】径相等方积球积不同之定率比例以方积一
○○○○○○ 【五】○○○为一率球积
五二三五九八七七五为 【节】二率今所设之圎球径一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率求得四率九
八分六百八十三厘有余即圎 【八】球之
体积也此法葢因 【十】圎球径与正方邉相等而圎球积与正方积不同故以圎球径自乗再乗作正方积为体与体之
比例如子 【三】丑圎球径为一○○○则其自乗再乗之寅邜辰巳正方体积为
一○○○○○○○○ 【厘】○而圎球径一○○○所得之子午丑未圎球体积
为五二三五九八七七五故 【有】以子丑圎球径一○○○自乗再乗之寅夘辰巳正方体积一○○○○○○○○【余】
○与子丑圎球径所得 【之】之子午丑未圎球体积五二三五九八七七五之比
即同于 【比】今所设之甲丙圎球径一尺二寸自乗再乗之戊己庚辛正方体积
一尺七百二十八寸与今 【也】所得之甲乙丙丁圎球体积九百零四寸七百七十八分六百
又法用 【寅】球积方积相 【邜】等球径方邉
不同之定率比例 【正】以圎球径一○○○○○○○○为一率正方邉八○五
九九五九七为二率今所 【方】设之圎球径一尺二寸为三率求得四率九寸六分七厘一豪九丝五忽一微六纤有【邉】余为与圎球积相等之正方体每邉之数自乗再乗得九百零四寸七百七十
八分六百四十九 【八】厘有余即圎球之
体积 【○】也此法葢以圎球积与正方【五】积设为相等使圎球径与正方邉不同先定为线与线之比例既得线而后自
乗再乗 【九】之为体也如子丑圎球径一○○○○○○○○其所得之体积开立方则得八○五九九五九七即为寅
邜辰巳正方体之 【九】每一邉是子午丑未圎球积与寅邜辰巳正方积相等故子丑圎球径一○○○○○○○○与五九七之比即同于今所设之甲丙圎
【积】球径一尺二寸与今所得之戊巳正
方邉九寸六分七厘一豪九丝五忽一微六纤有余之比既得戊己正方邉自乗再乗得戊己庚辛正方体积即与甲
乙丙丁 【六】圎球体积为相
等也又法以二十一分为一率十一分为二率今所设之圎球径一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率求得四率九百零五寸一百四十二分
八百五十七厘有余 【尺】为圎球之体积也葢以正方体积一○○○○○○○
【问】○○圎球体积五二三五九八七七
五之定率约之则正方体积二 【径】十一而圎球体积得一○九九有余进而【防】
为十一则圎球体积稍大 【何】故今所得之圎
球体积亦稍大也设如圎球
法用 【○】球径方邉相 【○】等球积方积不
同之定率比 【○】例以球积一○○○○○○○○○为一率方积一九○九八
五九三一七为二率今所 【○】设之圎球积六尺为三率求得四率十一尺四百五十九寸一百五十五分九百零二厘
有 【○】余为与圎球径相等之正方邉之正方体积开立方得二尺二寸五分四
厘五豪零二 【○】忽有余即圎 【为】球之径也葢圎球积为五二三五九八七七五
则正方积为一○○○○ 【二】○○○○○若圎球积为一○○○○○○○○○则正方积为一九○九八五九三一
七 【率】其比例仍同故以圎球积一○○
○○○○○○ 【也】○为一率者即如以圎球积五二三五九八七七五为一率而以正方积一九○九八五九三一七为二率者即如以正方积一○○○
又法用 【○】球积方积相 【○】等球径方邉不同之定率比例以方邉一○○○○○○○○为一率球径一二四○七○
○九八为二率今所设 【○】之圎球积六尺开立方得一尺八寸一分七厘一豪二丝有余为三率求得四率二尺二寸
五分四厘五豪零二忽有 【○】余即圎球之径也此法亦以圎球积与正方积设
为 【○】相等使圎球径与正方邉 【○】不同故以圎球积开立方得立方邉为线与
线之比例葢方邉为八○五 【○】九九五九七则球径为一○○○○○○○○
若方邉为一○○ 【为】○○○○○○则球径为一二四○七○○九八其比例仍同故以方邉一○○○○○○○○为一率者即如以方邉八○五九九【二】五九七为一率而以球径一二四○七○○九八为二率者即如以球径一○率也
设如撱圎体大径六寸小径四寸问积几何
法以小径四寸用径求圎面积法求得圎面积一十二寸五十六分六十三厘七十豪六十丝有余以大径六寸乗之得七十五寸三百九十八分二百二十三厘有余为长圎体积三归之得二十五寸一百三十二分七百四十一厘有余倍之得五十寸二百六十五分四百八十二厘有余即撱圎体之积也如圗甲乙丙丁撱圎体以乙丁小径求得戊己庚辛平圎面积再以甲丙大径乗之得壬戊庚癸长圎体此撱圎体积即为
长圎体积之三分之二亦如圎 【大】球体积为同径同髙之长圎体积之三分之二故以所得壬戊庚癸长圎体积三归倍之即得甲乙丙丁撱圎体积
也又法以小径四寸自乗得十六寸以径六寸再乗得九十六寸为长方体积
乃用方积 【为】球积不同方 【撱】邉球径相等之定率比例以方积一○○○○○
○○○○为 【圎】一率球积五二三五九八七七五为二率今所得之长方体积九十六寸为三率求得四率五十寸二百六十五分四百八十二厘有余即撱圎体之积也葢函撱圎之长方体与所
函撱圎体之比 【体】同于函球之正方【之】体与所【积也见几何原本十卷第十】函球体之比如甲乙丙丁撱圎体甲丙大径六寸乙丁小径四寸以乙丁小径自乗又以甲丙大径再乗遂成戊己庚辛长方体形此长方体积与撱圎体积之比即同于正
【四】方体积与圎球体积之比故以定率
之正方 【节】体积为一率圎球体积为二率今所得之长方体积为三率求得四率
设如撱圎体积五十寸大径比小径多二寸问大小径各防何
法用方积球积不同方邉球径相等之
定率比例以 【开】球积一○○○○○○○○○为一率方积一九○九八五九三一七为二率今所设之撱圎体积五十寸为三率求得四率九十五寸四百九十二分九百六十五厘八百五十豪有余为长方体积乃以大径比小径多二寸为长与濶之较用带一縦开立方法算之得濶三寸九分九厘二豪有余即撱圎体之小径加大径比小径多二寸得五寸九分九厘二豪有余即撱圎体之大径也如圗甲乙丙丁撱圎体【立】用球积与方积之定率比例即成戊己庚辛长方体形其戊己长即甲丙大径壬庚濶即乙丁小径甲丙大径比乙丁小径多二寸即长濶之较故用带一縦方法算之得濶为撱圎体之小径得长为撱圎体之大径也
设如上下不等圎面体上径四尺下径六尺髙八尺问积防何
法以上径四尺用径求圎面积法求得上圎面积一十二尺五十六寸六十三分七十厘六十豪有余又以下径六尺用径求圎面积法求得下圎面积二十八尺二十七寸四十三分三十三厘八十五豪有余又以上径四尺与下径六尺相乗得二十四尺开方得中径四尺八寸九分八厘九豪七丝九忽四微八纤有余用径求圎面积法求得中圎面积一十八尺八十四寸九十五分五十五厘八十五豪有余三数相并得五十九尺六十九寸二分六十厘三十豪有余与髙八尺相乗得四百七十七尺五百二十二寸八十二分四百厘有余三归之得一百五十九尺一百七十四寸二十七分四百六十六厘有余即上下不等圎面体之积也葢上下不等圎面体立法与上下不等正方体同理但上下不等正方体上下俱系方面故求得上中下三方面积相并与髙相乗三归之而得体积此上下俱系圎面故求得上中下三圎面积相并与髙相乗三归之而得体积也
又法以上径四尺与下径六尺相减余二尺折半得一尺为一率髙八尺为二率下径六尺折半得三尺为三率求得四率二十四尺为上下不等圎面体上补成一尖圎体之共髙乃以下径六尺用径求圎面积法求得圎面积二十八尺二十七寸四十三分三十三厘八十五豪有余与所得共髙二十四尺相乗得六百七十八尺五百八十四寸一十二分四百厘有余三归之得二百二十六尺一百九十四寸六百七十分八百厘有余为大尖圎体之积又以髙八尺与共髙二十四尺相减余十六尺为上尖圎体之髙以上径四尺用径求圎面积法求得圎面积一十二尺五十六寸六十三分七十厘六十豪有余与上髙十六尺相乗得二百零一尺六十一寸九百二十九分六百厘有余三归之得六十七尺二十寸六百四十三分二百厘有余为上小尖圎体之积与大尖圎体积二百二十六尺一百九十四寸六百七十分八百厘有余相减余一百五十九尺一百七十四寸二十七分六百厘有余即上下不等圎面体之积也如圗甲乙丙丁上下不等圎面体如戊甲丁小尖圎体遂成戊乙丙大尖圎体故于戊乙丙大尖圎体积内减去戊甲丁小尖圎体积而得甲乙丙丁上下不等圎面体之积也
又法用上下不等正方体与上下不等圎面体之定率比例以正方体积一○○○○○○○○○为一率圎面体积七八五三九八一六三为二率上径四尺自乗下径六尺自乗上径四尺与下径六尺相乗三数相并以髙八尺乗之得六百零八尺三归之得二百零二尺六百六十六寸六百六十六分六百六十六厘有余成上下不等正方体积为三率求得四... -->>
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