卷二十五 (1/2)

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    钦定四库全书

    御制数理精蕴下编卷二十五

    体部三

    各体形总论

    直线体

    各体形总论

    体之为形成于面面之相合为厚角故凡体形皆自厚角所合而生面之所合不能成厚角则体亦不能成形惟浑圆则无角然求积之法亦合众尖体而成浑圆是虽无角而实赖于角也方体有正方斜方尖方方环阳马堑堵之异圆体则有浑圆长圆尖圆之殊至于各等面体惟成于三角四角五角之面而兼尽乎方圆之理函于圆者其角切于球之外面函圆

    者　　　　【为】球之外面切于各面之中心而各体又有互相容之妙因其各面皆等故其中心至每边之线皆同就其各形而分视之则成各等边面形因其各形而细剖之则成各同底尖体形然求积总以勾股为准则葢体成于面面生于线理固然也有积求边则必

    以方圆为比例是以边线等者体积不等如　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【七】圆球径与各等面体之一边俱设为一○○○则正方体

    积为一○○○○○○○○　　　　　　　　　　　　　　【六】○圆球体积为五二三五九八七七五四面体积为一一七八五一一二九八面体积为四七一四○四五二一十二面体积六三一一八九○三二十面体积为二一八一六九四九六九此各形之体积皆以方积比例者也或以圆球体积设为一○○○○○○○○○则圆球径

    得一二四○小余七○○九八如圆　　　　　　　　　　　　　　　　　【十】球径与各等面体之一边俱设为一二四○小余七○○九八则【面】圆球体积为一○○○○○○○○○正方体积为一九○九八五九三一七四面体积为二二五○七九○七七八面体积为九○○三一六三一七十二面体积为一四六三五四七九○五一二十面体

    积为四一六六七三○四六三此各形之体积　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【体】皆以球积比例者也葢因各形之边线相等体积不同

    故皆定为体与体之比例也体积等者边线不　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【之】等如圆球体积与各等面体积俱设为一○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○则

    正方体之每边为一○○○○○○　　　　　　　　　　　　　　　　　【每】○○而圆球径为一二四○七○○九八四面体之每边为二○三九六四八九○八面体之每边为一二八四八九八二九十二面体之每边为五○七二二二○七二边为七七一○二五三四此各形之边线皆以方边

    比例者也或以圆　　　　　　　　　　【算】球径设为一○○○○○○○○则圆球体积为五二三五九八七七五五九八二

    九八八七三○七一九二三如　　　　　　　　　　　　　　　【之】圆球体积与各等面体积俱设为五二三五九八七七五五九八二九

    八八七三○七一九二三　　　　　　　　　　　　　【本】则圆球径为一○○○○○○○○正方体之每边为八○五九九五九七四面体之每边为一六四三九四八八一八面体之每边为一○三五六二二八五十二面体之每边为四○八八一八九五二十面体之每边为六二一四

    四三三二此各形之边　　　　　　　　　　　　【也】线皆以球径比例者也葢因各形之体积相等边线不同故皆定为线与线之比例也要之边求积者亦皆本于勾股而积求边者一皆归之正方此方所以为立法之原入

    直线体

    设如正方体每边二尺今将其积倍之问得方边几何

    法以每边二尺自乘再乘得八尺倍之得一十六尺开立方得二尺五寸一分有余即所求之方边数也如图甲乙丙丁正方体每边二尺其体积八尺倍之得一十六尺即如戊己庚辛正方体积每边得二尺五寸一分有余试于戊己庚辛正方体形内作甲乙丙丁正方体形则其外之戊己乙甲壬丁丙庚辛癸磬折体形即与甲乙丙丁正方体积相等也

    设如正方体每边二尺今将其积八倍之问得方边几何

    法以每边二尺倍之得四尺即所求之方边数也如图甲乙丙丁正方体每边二尺其体积八尺八倍之得六十四尺即如戊己庚辛正方体积其每边得甲乙丙丁正方形每边之二倍是故不用八倍其积开立方止以毎边二尺倍之而即得也此法葢因两体积之比例比之两界之比例为连比例隔二位相加之比例【见几何原本十巻第四节】故戊己庚辛正方体积六十四尺与甲乙丙丁正方体积之八尺相比为八分之一而戊己庚辛正方边之四尺与甲乙丙丁正方边之二尺之比为二分之一夫六十四与三十二三十二与十六十六与八八与四四与二皆为二分之一之连比例而六十四与八之比其间隔三十二与十六之两位故为连比例隔二位相加之比例也

    设如长方体长一尺二寸阔八寸高四寸今将其积倍之仍与原形为同式形问得长阔高各几何法以长一尺二寸自乘再乘得一尺七百二十八寸倍之得三尺四百五十六寸开立方得一尺五寸一分一厘有余即所求之长既得长乃以原长一尺二寸为一率原阔八寸为二率今所得之长一尺五寸一分一厘有余为三率求得四率一尺零七厘有余即所求之阔也又以原长一尺二寸为一率原高四寸为二率今所得之长一尺五寸一分一厘有余为三率求得四率五寸零三厘有余即所求之高也或以阔八寸自乘再乘倍之开立方亦得一尺零七厘有余为所求之阔以高四寸自乘再乘倍之开立方亦得五寸零三厘有余为所求之高也如图甲乙丙丁长方体甲乙高四寸丁戊阔八寸甲戊长一尺二寸将其积倍之即如己庚辛壬长方体此两长方体积之比例即同于其相当二界各作两正方体积之比例【见几何原本十巻第五节】故依甲乙丙丁长方体之甲戊长界作甲戊丑子正方体将其积倍之即如己庚辛壬长方体之己癸长界所作之己癸卯寅正方体故开立方得己癸为所求之长也既得己癸之长则以甲戊与丁戊之比即同于己癸与壬癸之比得壬癸为所求之阔又甲戊与甲乙之比同于己癸与己庚之比得己庚为所求之高也若以原阔自乘再乘倍之开立方亦得一尺零七厘有余为今所求之阔原高自乘再乘倍之开立方亦得五寸零三厘有余为今所求之高皆如以其相当二界各作正方体互相为比之理也

    设如长方体长一尺二寸阔八寸高四寸今将其积八倍之仍与原形为同式形问得长阔高各几何法以长一尺二寸倍之得二尺四寸即所求之长又以原阔八寸倍之得一尺六寸即所求之阔又以原高四寸倍之得八寸即所求之高也如图甲乙丙丁长方体甲乙高四寸丁戊阔八寸甲戊长一尺二寸将其积八倍之即如巳庚辛壬长方体其每边得甲乙丙丁长方体毎边之二倍是故不用八倍其积开立方止以各边之数倍之而即得也此法盖因两长方体之比例既同于其相当二界各作正方体之比例而两正方体之比例比之二界之比例为连比例隔二位相加之比例故两长方体积之比例较之两体各界之比例亦为连比例隔二位相加之比例也

    设如堑堵体形阔五尺长十二尺高七尺问积几何法以阔五尺与长十二尺相乘得六十尺又以高七尺再乘得四百二十尺折半得二百一十尺即堑堵体形之积也葢堑堵体形即平行二勾股面之三棱长体如甲乙丙丁戊己堑堵体形其两端之二面皆为勾股形一为甲乙丙一为丁戊己俱平行以乙丙阔与丙丁长相乘成乙丙丁己长方面形又以甲乙高再乘成甲乙丙丁庚戊长方体形凡平行面之长方体自其一面之对角线平分为两三棱体此两三棱体之积相等【见几何原本五卷第十七节】夫一长方体所分两三棱体之积既相等则三棱体积必为长方体积之一半故将所得之甲乙丙丁庚戊长方体积折半即得甲乙丙丁戊己堑堵体形之积也

    又法以阔五尺与高七尺相乘得三十五尺折半得一十七尺五寸与长十二尺相乘得二百一十尺即堑堵体形之积也如甲乙丙丁戊己堑堵体形以甲乙高与乙丙阔相乘折半得甲乙丙一勾股面积又与丙丁长相乘即得甲乙丙丁戊己堑堵体形之积也

    设如刍荛体形阔四尺长十二尺高四尺问积几何法以阔四尺与长十二尺相乘得四十八尺又与高四尺相乘得一百九十二尺折半得九十六尺即刍荛体形之积也葢刍荛体形即平行两三角面之三棱长体【有直角为堑堵体无直角为刍荛体】如甲乙丙丁戊己刍荛体形其两端之二面皆为三角形一为甲乙丙一为丁戊巳俱平行以乙丙阔与丙丁长相乘成乙丙丁已长方面形又以甲庚高再乘成辛乙丙丁壬癸长方体形凡平行面之三棱体积为平行面方体积之一半【见几何原本五卷第二十节】故将所得之辛乙丙丁壬癸长方体积折半即得甲乙丙丁戊己刍荛体形之积也

    又法以阔四尺与高四尺相乘得一十六尺折半得八尺与长十二尺相乘得九十六尺即刍荛体形之积也如甲乙丙丁戊己刍荛体形以乙丙阔与甲庚高相乘折半得甲乙丙三角形面积又与丙丁长相乘即得甲乙丙丁戊己刍荛体形之积也

    设如方底尖体形底方毎边五尺自尖至四角之斜线皆六尺问自尖至底中立垂线之高几何法以底方每边五尺求对角斜线法求得底方对角斜线七尺零七分一厘零六丝有余折半得三尺五寸三分五厘五豪三丝有余为勾以自尖至四角之斜线六尺为?用勾?求股法求得股四尺八寸四分七厘六豪八丝有余即自尖至底中立垂线之高数也如图甲乙丙丁戊方底尖体形先求得乙丙丁戊底方面之乙丁对角斜线折半于己得乙巳为勾以自尖至角之甲乙斜线为?求得甲己股即自尖至底中立垂线之高也

    又法以底方每边五尺为平面三角形之底以自尖至四角之斜线六尺为两腰用平面三角形求中垂线法求得一面中垂线五尺四寸五分四厘三豪五丝为?以底方每边五尺折半得二尺五寸为勾求得股四尺八寸四分七厘六豪七丝有余即自尖至底中立垂线之高数也如图甲乙丙丁戊尖方体其四面皆为平面三角形一为甲乙丙一为甲丙丁一为甲丁戊一为甲戊乙任以甲乙丙三角形之乙丙为底以甲乙甲丙为两腰求得甲庚中垂线而以此甲庚为?底邉折半得庚己为勾求得甲己股即自尖至底中立垂线之高也

    设如方底尖体形底方每边六尺高三尺问积几何法以下方每边六尺自乘得三十六尺又以高三尺再乘得一百零八尺三归之得三十六尺即方底尖体形之积也如甲乙丙丁戊方底尖体形以乙丙一边自乘得乙丙丁戊正方面形又以甲己高再乘得庚乙丁辛扁方体形此扁方体与尖方体之底面积等其高又等故庚乙丁辛一扁方体之积与甲乙丙丁戊尖方体三形之积等【见几何原本五卷第二十三节】试将甲己高倍之得壬己与乙丙丁戊底面积相乘得癸乙丁子正方体形此正方体之乙丙丁戊子寅癸丑癸乙丙丑戊丁子寅乙戊寅癸丙丁子丑六方面皆与尖方体之底面积等又自甲心依各棱至各角剖之则成甲乙丙丁戊甲子寅癸丑甲癸乙丙丑甲戊丁子寅甲乙戊寅癸甲丙丁子丑六尖方体此每一尖方体俱为倍高正方体之六分之一既为倍高正方体之六分之一则必为同高扁方体之三分之一故将所得庚乙丁辛之同高方体积三分之而得甲乙丙丁戊尖方体之积也

    设如阳马体形底方毎边六尺高亦六尺问积几何法以底方毎边六尺自乘得三十六尺又以高六尺再乘得二百一十六尺三归之得七十二尺即阳马体形之积也如甲乙丙丁戊阳马体形以乙丙一边自乘得乙丙丁戊正方面形又以甲丁高再乘得己乙丁甲正方体形此己乙丁甲一正方体之积与甲乙丙丁戊阳马体三形之积等故三分之即得阳马体之积也此阳马体与尖方体形虽不同而法则一葢尖方体形尖在正中阳马体形尖在一隅然大凡体形其底面积等高度又等则其体积亦必相等【见几何原本二巻第二十二节】故今阳马体之乙丙丁戊底面积即如尖方体之底其甲丁高度即如尖方体之高度故形虽不同而积则一也

    设如鼈臑体形长与阔俱四尺高九尺问积几何法以长与阔四尺自乘得十六尺以高九尺再乘得一百四十四尺六归之得二十四尺即鼈臑体形之积也葢鼈臑体即勾股面之尖体如甲乙丙丁鼈臑体形以丁丙长与乙丙阔相乘成乙丙丁戊正方面形以甲丁高再乘成甲庚戊乙丙己长方体形此一长方体之积与甲戊乙丙丁阳马体三形之积等而甲乙丙丁鼈臑体之积又为甲戊乙丙丁阳马体积之一半葢各类尖体其底面积等其高又等则其体积亦等【见几何原本二卷第二十二节】今甲乙丙丁鼈臑体之乙丙丁底积为甲戊乙丙丁阳马体之乙丙丁戊底面积之一半则甲乙丙丁... -->>

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