卷十 (1/2)

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    <子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴

    钦定四库全书

    御制数理精蕴下编卷十

    线部八

    方程【和数类　较数类　和较兼用类和较交变类　附法】

    方程

    方者比也程者式也因设数齐其分以比方之定为已成之式凡法皆如之故曰方程葢用互乗者所以齐其分使其首数皆同减尽而余一法一实以得一数也法虽有三色四色以至多色不过累乗累减亦归于一法一实而已其二色者设二行三色者设三行有几色者必设几行若三色设二行四色设三行即不可算若二色设三行三色设四行则其一行又可以不用是故解方程者又谓凡设数必成方而后可算也然其要总在于分和较和数相比者则互乗而相减较数相比者古人定为正负之名以辨加减异同之号正负异号则相加正负同号则相减其理与盈朒同葢正者为主之数负者虚比之数其始也任以首色为正互乗众色与首色同类者皆正也与首色异类者皆负也其继也以互乗所得之数视正负之同异而加减之然加减之余又有正变为负负变为正者总之因彼此而分正负由多少而成虚实互乗之后任以一层为主凡异号相加者悉依本层其号皆不变也若同号相减者本层多其号亦不变本层少反减者则正变为负负变为正葢此多则彼少彼少则此多也至于首色减尽则第二色即为首色故加减之后首色为负者悉变之以便互乗加减始不淆也今定为例和数者不用正负之号较数者则用正负之号和较兼用者和仍不用正负之号而较则用之和较交变者则随其法而辨别之以定其号焉或有非方程之本法而可以方程算者则又别为设问以附其后古人所谓以御错糅正负者庶乎尽于此矣

    和数类

    设如马四匹牛六头共价四十八两马三匹牛五头共价三十八两问马牛各价几何

    法以马四匹牛六头共价四十八两列于上马三匹牛五头共价三十八两列于下乃以上马四匹遍乗下马三匹牛五头价银三十八两得马十二匹牛二十头价银一百五十二两又以下马三匹遍乘上马四匹牛六头价银四十八两得马十二匹牛十八头价银一百四十四两两下相较则马各十二匹彼此减尽牛二十头内减十八头余二头价银一百五十二两内减一百四十四两余八两爰以余牛二头除余银八两得四两卽牛每头之价以牛五头乘之得二十两为牛五头之共价于马牛共价三十八两内减去二十两余十八两为马三匹之共价以马三匹除之得六两卽马每匹之价也此法葢以首色二数遍乘各数使其分数齐等卽互乘齐分之理故马四匹遍乘马三匹牛五头价银三十八两则为各増四倍马三匹遍乘马四匹牛六头价银四十八两则为各増三倍两下各色既俱各増倍分则其比例皆同是故马两下相平而减尽无余牛两下相减余二头价银两下相减余八两是为相当之数葢一百五十二两内减去一百四十四两卽减去马十二匹牛十八头之共价而所余之八两为牛二头之价也

    又如以牛数列于前马数列于后则先得马价法以牛六头马四匹共价四十八两列于上牛五头马三匹共价三十八两列于下乃以下牛五头遍乘上牛六头马四匹价银四十八两得牛三十头马二十匹价银二百四十两又以上牛六头遍乘下牛五头马三匹价银三十八两得牛三十头马十八匹价银二百二十八两两下相较则牛各三十头彼此减尽马二十匹内减十八匹余二匹价银二百四十两内减二百二十八两余十二两爰以余马二匹除余银十二两得六两卽马每匹之价以马三匹乘之得十八两为马三匹之共价于牛马共价三十八两内减去十八两余二十两为牛五头之共价以牛五头除之得四两卽牛每头之价也此法用互乘后则牛两下相平而减尽无余马两下相减余二匹价银两下相减余十二两卽为相当之数葢二百四十两内减去二百二十八两卽减去牛三十头马十八匹之共价而所余之十二两为马二匹之价也大凡方程之法各色俱可以更互相求者皆如此类也

    设如缎二疋纱六疋防八疋共价八十四两缎一疋纱四疋防七疋共价六十两缎三疋纱五疋防九疋共价九十两问缎纱防各价几何

    法先以缎二疋纱六疋防八疋共价八十四两列于上缎一疋纱四疋防七疋共价六十两列于下乃以上缎二疋遍乘下缎一疋纱四疋防七疋价银六十两得缎二疋纱八疋防十四疋价银一百二十两又以下缎一疋遍乘上缎二疋纱六疋防八疋价银八十四两仍得原数两下相较则缎各二疋彼此减尽纱八疋内减六疋余二疋防十四疋内减八疋余六疋价银一百二十两内减八十四两余三十六两卽为纱二疋防六疋价银三十六两也【缎既两下相平而减尽无余则所余纱二疋防六疋价银三十六两即为相当之数葢一百二十两内减去八十四两即减去缎二疋纱六疋防八疋之共价而所余三十六两为纱二疋防六疋之共价也】次以缎一疋纱四疋防七疋价银六十两列于上缎三疋纱五疋防九疋价银九十两列于下乃以下缎三疋遍乘上缎一疋纱四疋防七疋价银六十两得缎三疋纱十二疋防二十一疋价银一百八十两又以上缎一疋遍乘下缎三疋纱五疋防九疋价银九十两仍得原数两下相较则缎各三疋彼此减尽纱十二疋内减五疋余七疋防二十一疋内减九疋余十二疋价银一百八十两内减九十两余九十两即为纱七疋防十二疋价银九十两也【缎既两下相平而减尽无余则所余纱七疋防十二疋价银九十两即为相当之数葢一百八十两内减九十两即减缎三疋纱五疋防九疋之共价而所余九十两为纱七疋防十二疋之共价也】于是将两次所得之余作二色方程算之其纱二疋防六疋价银三十六两列于上纱七疋防十二疋价银九十两列于下以下纱七疋遍乗上纱二疋防六疋价银三十六两得纱十四疋防四十二疋价银二百五十二两以上纱二疋遍乗下纱七疋防十二疋价银九十两得纱十四疋防二十四疋价银一百八十两两下相较则纱各十四疋彼此减尽防四十二疋内减二十四疋余十八疋价银二百五十二两内减一百八十两余七十二两爰以余防十八疋除余银七十二两得四两即防每疋之价以防六疋乗之得二十四两为防六疋之共价于纱防共价三十六两内减二十四两余十二两为纱二疋之共价以纱二疋除之得六两即纱每疋之价也以缎二疋纱六疋防八疋共价八十四两计之则纱六疋共价三十六两防八疋共价三十二两纱防共价为六十八两于共价八十四两内减六十八两余十六两为缎二疋之共价以缎二疋除之得八两即缎每疋之价也

    设如有上中下三等人户纳粮上等五户中等十二户下等三户共纳粮一石二斗六升又上等四户二等二户共纳粮五斗二升又中等二十户下等二十五户共纳粮一石五斗问上中下三等每户各纳粮几何

    法先以上等五户中等十二户下等三

    户　　　　　　　　　　　　　　　　　【上等四户下等二户纳】纳粮一石二斗【因无中等故作空位以存其分余仍对位列之】六升列于上粮五斗二升列于下乃以下层上等四户遍乗上层上等五户中等十二户下等三户纳粮一石二斗六升得上等二十户中等四十八户下等十二户纳粮五石零四升又以上层上等五户遍乗下层上等四户下等二户纳粮五斗二升得上等二十户下等十户纳粮二石六斗两下相较则上等各二十户彼此减尽中等四十八户无可减仍得四十八户下等十二户内减十户余二户纳粮五石零四升内减二石六斗余二石四斗四升即为中等四十八户下等二户共纳粮二石四斗四升也【上等既两下相平而减尽无余则所余中等四十八户下等二户纳粮二石四斗四升即为相当之数葢五石零四升内减二石六斗即减去上等二十户下等十户之共粮数而所余二石四斗四升为中等四十八户下等二户之共粮数也】既得中等四十八户下等二户之二色则中等二十户下等二十五户亦即为二色故即作二色方程算之其中等四十八户下等二户纳粮二石四斗四升列于上中等二十户下等二十五户纳粮一石五斗列于下乃以上层中等四十八户遍乗下层中等二十户下等二十五户纳粮一石五斗得中等九百六十户下等一千二百户纳粮七十二石又以下层中等二十户遍乘上层中等四十八户下等二户纳粮二石四斗四升得中等九百六十户下等四十户纳粮四十八石八斗两下相较则中等各九百六十户彼此减尽下等一千二百户内减四十户余一千一百六十户纳粮七十二石内减四十八石八斗余二十三石二斗爰以所余下等一千一百六十户除余粮二十三石二斗得二升即下等每户纳粮之数以下等二户乘之得四升为下等二户纳粮之共数于中等下等共纳粮二石四斗四升内减四升余二石四斗为中等四十八户纳粮之共数以中等四十八户除之得五升即中等每户纳粮之数以上等四户下等二户共纳粮五斗二升计之【因无中户故省一次】则下等二户共纳粮四升于五斗二升内减四升余四斗八升为上等四户纳粮之共数以上等四户除之得一斗二升即上等每户纳粮之数也

    设如有银赏四等人各不知数只云一等一人二等二人三等三人四等四人共赏银三十两又一等二人二等三人三等四人四等五人共赏银四十四两又一等四人二等五人三等七人四等八人共赏银七十七两又一等六人二等五人三等四人四等二人共赏银六十六两问每等人各赏银几何

    法先以一等一人二等二人三等三人四等四人共银三十两列于上一等二人二等三人三等四人四等五人共银四十四两列于下乃以下一等二人遍乗上一等一人二等二人三等三人四等四人共银三十两得一等二人二等四人三等六人四等八人共银六十两又以上一等一人遍乗下一等二人二等三人三等四人四等五人共银四十四两仍得原数两下相较则一等各二人彼此减尽二等两下相减余一人三等两下相减余二人四等两下相减余三人共银两下相减余一十六两即二等一人三等二人四等三人共银十六两也【葢六十两内减四十四两即减去一等二人二等三人三等四人四等五人之共银数故所余之十六两为二等一人三等二人四等三人之共银数也】次以一等二人二等三人三等四人四等五人共银四十四两列于上一等四人二等五人三等七人四等八人共银七十七两列于下乃以下一等四人遍乗上一等二人二等三人三等四人四等五人共银四十四两得一等八人二等十二人三等十六人四等二十人共银一百七十六两又以上一等二人遍乗下一等四人二等五人三等七人四等八人共银七十七两得一等八人二等十人三等十四人四等十六人共银一百五十四两两下相较则一等各八人彼此减尽二等两下相减余二人三等两下相减余二人四等两下相减余四人共银两下相减余二十二两即二等二人三等二人四等四人共银二十二两也【葢一百七十六两内减一百五十四两即减去一等八人二等十人三等十四人四等十六人之共银数故所余之二十二两为二等二人三等二人四等四人之共银数也】次以一等四人二等五人三等七人四等八人共银七十七两列于上一等六人二等五人三等四人四等二人共银六十六两列于下乃以下一等六人遍乘上一等四人二等五人三等七人四等八人共银七十七两得一等二十四人二等三十人三等四十二人四等四十八人共银四百六十二两又以上一等四人遍乘下一等六人二等五人三等四人四等二人共银六十六两得一等二十四人二等二十人三等十六人四等八人共银二百六十四两两下相较则一等各二十四人彼此减尽二等两下相减余十人三等两下相减余二十六人四等两下相减余四十人共银两下相减余一百九十八两即二等十人三等二十六人四等四十人共银一百九十八两也【葢四百六十二两内减二百六十四两即减去一等二十四人二等二十人三等十六人四等八人之共银数故所余之一百九十八两为二等十人三等二十六人四等四十人之共银数也】于是将三次所得之余作三色方程算之先以二等一人三等二人四等三人共银十六两列于上二等二人三等二人四等四人共银二十二两列于下乃以下二等二人遍乗上二等一人三等二人四等三人共银十六两得二等二人三等四人四等六人共银三十二两又以上二等一人遍乗下二等二人三等二人四等四人共银二十二两仍得原数两下相较则二等各二人彼此减尽三等两下相减余二人四等两下相减余二人共银两下相减余十两即三等二人四等二人共银十两也【葢三十二两内减二十二两即减去二等二人三等二人四等四人之共银数故所余之十两为三等二人四等二人之共银数也】次以二等二人三等二人四等四人共银二十二两列于上二等十人三等二十六人四等四十人共银一百九十八两列于下乃以下二等十人遍乗上二等二人三等二人四等四人共银二十二两得二等二十人三等二十人四等四十人共银二百二十两又以上二等二人遍乗下二等十人三等二十六人四等四十人共银一百九十八两得二等二十人三等五十二人四等八十人共银三百九十六两两下相较则二等各二十人彼此减尽三等两下相减余三十二人四等两下相减余四十人共银两下相减余一百七十六两即三等三十二人四等四十人共银一百七十六两也【葢三百九十六两内减二百二十两即减去二等二十人三等二十人四等四十人之共银数故所余之一百七十六两为三等三十二人四等四十人之共银数也此间两层相减虽下层数多于上层然俱系反减故不用变号】于是又将两次所得之余作二色方程算之其三等二人四等二人共银十两列于上三等三十二人四等四十人共银一百七十六两列于下乃以下三等三十二人遍乗上三等二人四等二人共银十两得三等六十四人四等六十四人共银三百二十两又以上三等二人遍乗下三等三十二人四等四十人共银一百七十六两得三等六十四人四等八十人共银三百五十二两两下相较则三等各六十四人彼此减尽四等两下相减余十六人共银两下相减余三十二两即四等十六人之共银数以四等十六人除之得二两即四等每一人所应得之数也以四等二人因之得四两为四等二人之共银数于三等二人四等二人共银十两内减之余六两为三等二人之共银数以三等二人除之得三两即三等每一人所应得之数也以二等一人三等二人四等三人共银十六两计之则三等二人应得六两四等三人应得六两共十二两于共银十六两内减之余四两即二等每一人所应得之数也再以一等一人二等二人三等三人四等四人共银三十两计之则二等二人应得八两三等三人应得九两四等四人应得八两共二十五两于共银三十两内减之余五两即一等每一人所应得之数也

    较数类

    设如砚七方比笔三枝价多四百八十文又砚三方比笔九枝价少一百八十文问砚笔价各若干法以砚七为正笔三为负价多四百八十文为正【多为砚比笔之所多与砚同类故亦为正】列于上又以砚三为正笔九为负价少一百八十文为负【少为砚比笔之所少即为笔比砚之所多与笔同类故亦为负】列于下乃以下砚三遍乘上砚七笔三价多四百八十文得砚二十一为正笔九为负价多一千四百四十文为正又以上砚七遍乗下砚三笔九价少一百八十文得砚二十一为正笔六十三为负价少一千二百六十文为负两下相较则砚各二十一彼此减尽笔九枝与六十三枝两层皆负故相减余五十四枝价多一千四百四十文与少一千二百六十文一正一负故相加得二千七百文乃笔五十四枝之共价以减余笔五十四除之得五十文即笔每一枝之价以三因之得一百五十文为笔三枝之共价与砚多四百八十文相加得六百三十文为砚七方之共价以砚七除之得九十文即砚每一方之价也此法用互乗则上层为砚二十一方比笔九枝价多一千四百四十文下层为砚二十一方比笔六十三枝价少一千二百六十文夫砚既皆二十一方则其共价必相等然比笔九枝之价则多比笔六十三枝之价则少是多与少相加之二千七百文即笔九枝与笔六十三枝相差之五十四枝之价也笔五十四枝共价为二千七百文则笔一枝价五十文而笔三枝价为一百五十文矣砚七方比笔三枝价既多四百八十文则于一百五十文加四百八十文共六百三十文即砚七方之共价故以砚七除之得九十文为砚每一方之价也

    设如有甲丙二马羣各不知数只云甲三羣比丙二羣多一千五百三十匹甲二羣与丙七羣相等问甲丙每羣马数各几何

    法以甲三羣为正丙二羣为负多一千五百三十匹为正列于上又以甲二羣为正丙七羣为负相等作一空位【相等无数可列故作一○以存其位】列于下乃以下甲二羣遍乗上甲三羣丙二羣多一千五百三十匹得甲六羣仍为正丙四羣仍为负多三千零六十匹亦仍为正又以上甲三羣遍乗下甲二羣丙七羣得甲六羣仍为正丙二十一羣为负相等无可乘亦仍为空位两下相较则甲各六羣彼此减尽丙四羣与丙二十一羣两层皆负故相减余十七羣多三千零六十匹与相等无可加减仍得三千零六十匹乃丙十七羣之共数以减余丙十七羣除之得一百八十匹为丙每羣之数七因之得一千二百六十匹为丙七羣之共数甲二羣既与丙七羣相等则一千二百六十匹亦即为甲二羣之共数以甲二羣除之得六百三十匹即甲每羣之数也此法用互乗则上层为甲六羣比丙四羣多三千零六十匹下层为甲六羣与丙二十一羣相等甲六羣既与丙二十一羣相等则丙二十一羣比丙四羣多三千零六十匹两下各减丙四羣则为丙十七羣共马三千零六十匹矣丙十七羣既为共马三千零六十匹则丙一羣得马一百八十匹而丙七羣为马一千二百六十匹甲二羣既与丙七羣相等则一千二百六十匹用甲二羣除之得六百三十匹即甲每羣之数也

    设如有钱买桃苹果梨三色各不知价只云桃三个比苹果二个梨二个价多二十四文桃二个梨三个比苹果五个价少十二文桃四个苹果三个比梨八个价多一百零八文问桃苹果梨各价几何法先以桃三为正苹果二梨二为负价多二十四文为正列于上又以桃二为正苹果五为负梨三为正价少十二文为负列于下乃以下桃二遍乗上桃三苹果二梨二价多工十四文得桃六仍为正苹果四为负梨四为负价多四十八文为正【负即桃六比苹果四梨四价多四十八文比原数加二】又以上桃三遍乗下桃二苹果五梨三价少十二文得桃六仍为正苹果十【倍】五为负梨九为正价少三十六文为【即桃六梨九比苹果十五价少三十六文比原数加三倍】于是任以上层为主两下相较则桃各六彼此减尽苹果两层皆负故相减余十一本层少反减故变负为正且为首一色减尽其次一色即转而为首故亦变负为正梨一正一负故相加得十三仍依本层为负多四十八文与少三十六文相加得八十四文仍依本层为正即为苹果十一比梨十三价多三十四文也【葢桃彼此减尽苹果上层少四下层少十五是下层比上层所少为十一即上层比下层多十一也梨上层少四下层多九下之所多即上之所少是上层比下层少十三也钱上层多四十八文下层少三十六文下之所少即上之所多是上层比下层多八十四文也苹果多十一梨少十三钱即多八十四文故为苹果十一比梨十三价多八十四文也】复以桃二为正苹果五为负梨三为正价少十二文为负列于上又以桃四苹果三为正梨八为负价多一百零八文为正列于下乃以上桃二遍乗下桃四苹果三梨八价多一百零八文得桃八仍为正苹果六亦仍为正梨十六为负价多二百一十六文为正【即桃八苹果六比梨十六价多二百一十六文比原数加二倍】又以下桃四遍乗上桃二苹果五梨三价少十二文得桃八仍为正苹果二十为负梨十二为正价少四十八文为负【即桃八梨十二比苹果二十价少四十八文比原数加四倍】于是仍以上层为主两下相较则桃各八彼此减尽苹果一正一负故相加得二十六仍依本层为正梨一正一负故相加得二十八仍依本层为负多二百一十六文与少四十八文相加得二百六十四文亦仍依本层为正即为苹果二十六比梨二十八价多二百六十四文也【葢桃彼此减尽苹果上层多六下层少二十下之所少即上之所多是上层比下层多二十六也梨上层少十六下层多十二下之所多即上之所少是上层比下层少二十八也钱上层多二百一十六文下层少四十八文下之所少即上之所多是上层比下层多二百六十四文也苹果多二十六梨少二十八钱即多二百六十四文十之共价故为苹果二十六比梨二十八价多二百六】爰将两次所得之余作二色方程算之其苹果十一为正梨十三为负价多八十四文为正列于上苹果二十六为正梨二十八为负价多二百六十四文为正列于下乃以上苹果十一遍乘下苹果二十六梨二十八价多二百六十四文得苹果二百八十六为正梨三百零八为负价多二千九百零四文为正【十四文也即苹果二百八十六比梨三百零八价多二千九百零四文比原数】又以下苹果二十六遍乗上苹果十一梨十三价多八十四文得苹果二百八十六为正梨三百三十八为负价多二千一百八十四文为正【加十一倍即苹果二百八十六比梨三百三十八价多二千一百八十四文比原数加】两下相较则苹果各二百八十六彼此减尽梨两层皆负故相减余三十两多数相同故亦【二十六倍】相减余七百二十文乃梨三【葢苹果皆二百八十六则其共价必相等然比梨三百三十八之价则多二千一百八十四文比梨三百零八之价则多二千九百零四文是两多相差之七百二十文即梨相差三十之共价也】以梨三十除之得二十四文即梨每个之价以梨十三乗之得三百一十二文为梨十三之共价苹果十一既比梨十三价多八十四文则于三百一十二文加八十四文得三百九十六文为苹果十一之共价以十一除之得三十六文即苹果每个之价以桃三比苹果二梨二价多二十四文计之则梨二价四十八文苹果二价七十二文共价一百二十文加桃三多二十四文共一百四十四文即为桃三之共价以三除之得四十八文即桃每个之价也

    设如有银买铜锡铅铁各不知价只云铜三斤比锡二斤铅二斤铁四斤价多一钱又铜二斤铅一斤比锡二斤铁二斤价多二钱又铜一斤锡二斤与铅三斤铁八斤价相等又铜五斤铁三十斤比锡四斤铅二十四斤价少二钱问铜锡铅铁各价几何

    法先以铜三斤为正锡二斤铅二斤铁四斤俱为负价多一钱为正列于上又铜二斤为正锡二斤为负铅一斤为正铁二斤为负价多二钱为正列于下乃以下铜二斤遍乗上铜三斤锡二斤铅二斤铁四斤价多一钱得铜六斤为正锡四斤铅四斤铁八斤俱为负价多二钱为正又以上铜三斤遍乗下铜二斤锡二斤铅一斤铁二斤价多二钱得铜六斤为正锡六斤为负铅三斤为正铁六斤为负价多六钱为正于是以上层为主两下相较则铜各六斤彼此减尽锡两层皆负故相减余二斤本层少乃变负为正铅一正一负故相加得七斤仍依本层为负铁两层皆负故亦相减余二斤仍依本层为负价两层皆正故亦相减余四钱本层少乃变正为负即锡二斤比铅七斤铁二斤价少四钱也【葢铜彼此减尽锡上层少四斤下层少六斤是下层比上层所少为二斤即上层比下层多二斤也铅上层少四斤下层多三斤下之所多即上之所少是上层比下层少七斤也铁上层少八斤下层少六斤是上层比下层所少为二斤也价上层多二钱下层多六钱是下层比上层所多为四钱即上层比下层少四钱也锡多二斤铅少七斤铁少二斤价即少四钱故为锡二斤比铅七斤铁二斤价少四钱也】次以铜二斤为正锡二斤为负铅一斤为正铁二斤为负价多二钱为正列于上又铜一斤锡二斤为正铅三斤铁八斤为负相等作一空位列于下乃以下铜一斤遍乗上铜二斤锡二斤铅一斤铁二斤价多二钱仍得原数又以上铜二斤遍乗下铜一斤锡二斤铅三斤铁八斤得铜二斤锡四斤仍为正铅六斤铁十六斤仍为负相等无可乗仍为空位于是以上层为主两下相较则铜各二斤彼此减尽锡一正一负故相加得六斤仍依本层为负铅一正一负故亦相加得七斤仍依本层为正铁两层皆负故相减余十四斤本层少乃变负为正价多二钱与相等无可加减仍得二钱为正即铅七斤铁十四斤比锡六斤价多二钱也【铁十四斤价少二钱也次葢铜彼此减尽锡上层少二斤下层多四斤下之所多即上之所少是上层比下层少六斤也铅上层多一斤下层少六斤下之所少即上之所多是上层比下层多七斤也铁上层少二斤下层少十六斤是下层比上层所少为十四斤即上层比下层多十四斤也铅多七斤铁多十四斤锡少六斤而价即多二钱故为铅七斤铁十四】因首色铜数减尽则锡即转而为首应为正今锡六斤为负则重列三色之际不能一体须俱变其号然后为顺故将锡六斤变负为正而以铅七斤铁十四斤价多二钱俱变正为负葢原铅七斤铁十四斤比锡六斤价多二钱

    今变为锡　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【斤比锡六斤价多二钱也】六斤比铅七【若以下层为主则相加应依下层为正即不用变】斤以铜一斤锡二斤为正铅三斤铁八斤为负相等作一空位列于上又铜五斤为正锡四斤铅二十四斤为负铁三十斤为正价少二钱为负列于下乃以下铜五斤遍乗上铜一斤锡二斤铅三斤铁八斤得铜五斤锡十斤为正铅十五斤铁四十斤为负相等无可乗仍为空位又以上铜一斤遍乗下铜五斤锡四斤铅二十四斤铁三十斤价少二钱仍得原数于是以上层为主两下相较则铜各五斤彼此减尽锡一正一负故相加得十四斤仍依本层为正铅两层皆负故相减余九斤本层少乃变负为正铁一正一负故相加得七十斤仍依本层为负价少二钱与相等无可加减仍得二钱本层无数乃变负为正即锡十【四斤铅九斤比铁七十斤价多二钱也葢铜彼此减尽锡上层多十斤下层少四斤下之所少即上之所多是上层比下层多十四斤也铅上层少十五斤下层少二十四斤是下层比上层所少为九斤即上层比下层多九斤也铁上层少四十斤下层多三十斤下之所多即上之所少是上层比下层少七十斤也价下层少二钱即上层多二钱也锡多十四斤铅多九斤铁少七十斤价即多二钱故为锡十四斤铅九斤比铁七十斤价多二钱也】爰将三次所得之余作三色方程算之先以锡二斤为正铅七斤铁二斤价少四钱俱为负列于上又锡六斤为正铅七斤铁十四斤价少二钱俱为负列于下乃以下锡六斤遍乗上锡二斤铅七斤铁二斤价少四钱得锡十二斤为正铅四十二斤铁十二斤价少二两四钱俱为负又以上锡二斤遍乗下锡六斤铅七斤铁十四斤价少二钱得锡十二斤为正铅十四斤铁二十八斤价少四钱俱为负于是以上层为主两下相较则锡各十二斤彼此减尽铅两层皆负故相减余二十... -->>

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