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<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴
钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷九
线部七
借衰互征
叠借互征
借衰互征
借衰互征者有总数而无分数或有分数而无总数或无总数分数之实率而但有其盈率则不得不别借一衰数以为比例然后可以得其真数故曰借衰然而所借之衰又各不同有借于本数之中者有借于本数之外者借彼征此借虚征实故曰互征葢先借各项衰数合而为总衰数以总衰数与总真数相比即若各项衰数与各项真数之比也或先借总衰数加减出各衰数之较以各衰数之较与真数之较相比即若总衰数与总真数之比也或以各衰数之较与真数之较相比即若各项衰数与各项真数之比也要之皆就比例之法而推广之耳
设如有银一千八百两命甲乙二人按分分之甲分比乙分有五倍问甲乙各得几何
法借一为乙衰五为甲衰并之得六为一率总银一千八百两为二率乙衰一为三率得四率三百两即乙所分之数与一千八百两相减余一千五百两即甲所分之数以三百两与一千五百两相较则甲有乙之五倍也此法既云甲有乙五倍则是甲有五分乙有一分故借一为乙衰五为甲衰倂之得六为总衰以总衰与总银之比卽若乙一衰与乙银一分之比也【此法卽和数比例因借衰之首故设一最易者以发明其理云】
设如有三官接任共歴一百年第二官比前官加一倍零六年第三官比 二官加一倍少二年问每官各该几年
法借一衰为第一官年数借二衰多六年为第二官年数借四衰多十年为第三官年数倂三官衰数得七为一率倂后二官共多十六年于总年数内减之余八十四年为二率第一官一衰为三率得四率十二年为第一官年数倍之加多六年得三十年为第二官年数又倍第二官年数减少二年得五十八年为第三官年数合三数而共为一百年也此法第一官既借一衰则第二官加一倍零六年者当借二衰多六年而第三官既比第二官又加一倍则当借四衰多十二年因少二年故借四衰多十年为第三官衰数也
设如有甲乙丙三人共银四十四两乙比甲银多一倍零四两丙比甲乙二人共数又多六两求各人银数几何
法借一为甲衰借二多四两为乙衰借三多十两为丙衰倂三衰得六为一率并乙丙二人多数为十四两于总银内减之余三十两为二率甲衰一为三率得四率五两卽甲银倍之加多四两得十四两为乙银并甲乙银又加多六两得二十五两即丙银也此法既以一为甲衰乙比甲加一倍零四两故借二多四两为乙衰也丙并甲乙共数多六两故借三多十两为丙衰也甲衰一乙衰二并之为三乙比甲多四两丙比甲乙共数又多六两并之为十两也
设如有甲乙二人入山采果共得三百枚但云甲数加六百枚乙数加二百枚则甲数比乙数多二倍问甲乙各得几何
法借三为甲衰借一为乙衰并之得四为一率以三百枚与六百枚二百枚相加得一千一百为二率乙衰一为三率得四率二百七十五卽乙一分之数减加数二百余七十五卽乙数以七十五与三百枚相减余二百二十五卽甲数以乙七十五与甲二百二十五相较则甲多二倍也此法既云甲比乙多二倍则甲为三分乙为一分故借三为甲衰一为乙衰并之为总衰作一率又以原果与两加数相并为总数作二率葢总衰与总数之比即乙一衰与乙果一分之比也
设如有银一百九十六两买驼四匹马六匹驴十头马比驴价加一倍零二两驼比马价加一倍零四两问各价银若干
法借一衰为驴价以驴十因之得十借二衰多二两为马价以马六因之得十二衰多十二两【一马多二两六马故多十二两】借四衰多八两为驼价以驼四因之得十六衰多三十二两【一驼多八两四驼故多三十二两】并三色衰数【驴十马十二驼十六】共三十八为一率又并驼马多价【驼三十二两马十二两】共四十四两于总银内减之余一百五十二两为二率驴一衰为三率得四率四两即驴一头之价倍之加多二两得十两即马一匹之价又倍之加多四两得二十四两即驼一匹之价也此法既借一衰为驴价马比驴加一倍零二两故借二衰多二两为马价也驼比马又加一倍当借四衰多四两再加多马四两则四衰多八两为驼价也乃以各数因之【驴十马六驼四】故得各项总衰数也
设如问一人歳数答曰我比弟长二年父年倍我仍多两歳伯父兼我三人歳数再加四年整百歳问四人各得年数几何
法借一衰为其弟歳数借一衰零二年为本人歳数倍之得二衰零四年再加多两歳得二衰零六年为其父歳数总并之得四衰零八年为其伯之歳数即以四衰为一率八年四年相并得十二年与百歳相减余八十八年为二率其弟一衰为三率得四率二十二即其弟之歳数加长二年得二十四即本人之歳数倍本人歳数再加多两歳得五十即其父之歳数并三人歳数得九十六即其伯之歳数再加四年是为整百歳也此法既借一衰为其弟歳数本人较长二年故借一衰零二年为本人歳数也其父年比本人加倍又多两嵗故借二衰零六年为其父歳数也【加倍为二衰零四年又加多两歳故为二衰零六年也】将三人歳数相并得四衰零八年为其伯之歳数再加四年方整百嵗则减四年又减所零之八年余八十八年即四衰相当之数也
设如漏壶一具上有渴乌注水凡十二时而满下有一孔通天池泄水凡十八时而尽若上注下泄问几时可得水满
法以十二时与十八时相乘得二百一十六时卽借二百一十六分为壶水衰数又以十二时与十八时相减余六时卽借六分为一时水满分数乃以六分为一率一时为二率二百一十六分为三率得四率三十六卽是水满一壶之时也此法以十二时乘十八时者卽借一壶水作二百一十六分算也十二时满二百一十六分则一时满十八分十八时尽二百一十六分则一时泄十二分一时满十八分而泄十二分则壶中所存止得六分故以十二减十八余六分为一时所满之水也满水六分既得一时则壶中满二百一十六分而得三十六时矣
设如漏壶一座注水于内下有三孔大孔流水二时而尽中孔流水三时而尽小孔流水六时而尽若三孔齐开问水几时可尽
法以大孔之二时乘中孔之三时得六时又以小孔之六时乘之得三十六时卽借三十六分为壶水总衰数以大孔二时除之得十八分以中孔三时除之得十二分以小孔六时除之得六分并三数得三十六为一率一时为二率借衰三十六为三率得四率一时卽一时水可尽也此法葢以三色之数连乘为共分其大孔二时流尽则一时流十八分中孔三时流尽则一时流十二分小孔六时流尽则一时流六分故并三数而为一时所流者有三十六分今壶水止有三十六分故一时可以流尽也
设如有人自乡上城共一百二十里今行尚未到若以行过路六分之一与余路三分之一相加便是到城里数问该若干
法借十五衰为一率一百二十里为二率余路三分卽借三衰为三率得四率二十四里卽到城里数也此法借十五衰为一率者因余路取三分之一尚余二分又取行过路六分之一补足余路二分之数是行过路之一分卽抵余路之二分也今将余路一分借一衰则行过路一分当借二衰六分则当借十二衰再加余路三衰是共得十五衰故十五衰与一百二十里之比卽余路三分与二十四里之比也【每分该八里】
设如有井深至底二丈六尺不知水深若干但云自水面向上取三分之一从水面往下取四分之一相并便是水深数问该几何
法借十三衰为一率二丈六尺为二率自水面往下四分卽借四衰为三率得四率八尺卽水之深也此法借十三衰为一率者因水面往下取四分之一尚余三分又取水面向上三分之一补足水面下三分之数是水面上之一分卽准水面下之三分也今将水面下一分借一衰则水面上一分当借三衰一分借三衰则三分必当借九衰再加水面下四衰是共得十三衰故十三衰与二丈六尺之比卽水面下四分与八尺之比也
设如有人问此时系何时刻答曰自子正到此时时刻折半与自此时到午正三分之一相加便是此时时刻
法借二衰为自子正到此时衰数【时折半者定为一衰今用全数故借二衰】又借三衰为自此时到午正衰数【三分故借三衰因三分之一与折半之数相等故亦将一分借一衰】并之得五衰为子正到午正之分为一率又计子正到午正得十二小时因化为七百二十分为二率自子正到此时二衰为三率得四率二百八十八分收为四小时三刻三分即定为寅正三刻三分也此法因题言自子正到此时时刻折半故以折半数借为一衰今用全数为自子正起算故借二衰题又言到午正时刻三分之一与折半之数相加则是折半数即与三分之一之数相等故将三分亦借为三衰是子正到午正共为五衰矣计子正到午正时刻得七百二十分故五衰与七百二十分之比即二衰与二百八十八分之比既得二百八十八分收为四小时三刻三分即自子正到寅正三刻三分也
设如有人问到日落得几时答曰自日出到此时时刻取四分之一从此时到日落时刻折半两数相加即是此时时分
法借二衰为自此时到日落时衰数【衰时折半者借一衰今用全数故借二】又借四衰为自日出
【衰】到此时衰【四分故借四衰因四分之一与折半之数相等故亦将一分借一衰】数并之得六衰为一率又察昼夜长短如自日出至日落止有十小时卽化作六百分为二率自此时到日落二衰为三率得四率二百分收为三小时一刻五分即到日落之时分也此法因题言自此时到日落时刻折半故以折半数借为一衰今用全数则当借为二衰题又言自日出到此时四分之一与折半之数相加则是折半数即与四分之一之数相等故将四分亦借为四是日出到日落共为六衰矣如日出至日落时刻得六百分则六衰与六百分之比即二衰与二百分之比故以二百分收为三时一刻五分也
设如有羊一羣不知数目但云卖去三分之一又分四分之一另为一羣下余一千只问原共数几何法以两分母相乘得十二为总衰内减三分之一余八又减四分之一余五为一率一千为二率总衰十二为三率得四率二千四百即共数也此法因题言三分之一四分之一两分子同分母不同故以两分母相乘为总衰分内减三分之一又减四分之一所余五即如总数分十二分而一千为其五分也故五衰与一千之比即如十二衰与二千四百之比也
设如有羊一羣不知数目但云赏人七分之五又将所余者卖五分之三尚余八百只问原共数若干
法以两分母相乘得三十 【借】五为总羊衰数内去七分之五余一【衰将三十五分为七分每
分得五今去五分为二十五故仍余一十】十又将 【也】一十为所余羊衰数内去五分之三【将一十分为五分每分得二今去三分为六故仍余四也】余四卽以四为一率所余羊八百只为二率总衰三十五为三率得四率七千卽原羊共数也此法葢因共数为七千内去七分之五是去五千余二千又将二千去五分之三是去一千二百仍余八百故借总衰三十五内去七分之五所余又去五分之三而得余衰四以余衰四与余羊八百之比卽若总衰三十五与总羊七千之比也此法与前法防异者前法虽有三分四分之不同是于总数中计分故其为分则一此法赏人七分之五者是去总数内七分之五而卖五分之三者乃赏人后所余之五分之三也立法少异故中总分余分相减亦别至减余归四率其比例仍同也
设如有田七百四十二亩内有耕者种者耘者种者比耕者得十分之七耘者比种者得五分之三问每项各几何
法以两分母两分子互相连乘共得一千零五十为耕者衰数此数十分之取其七分得七百三十五为种者衰数此数五分之取其三分得四百四十一为耘者衰数并三衰数得二千二百二十六为一率七百四十二亩为二率以耕者衰数一千零五十为三率得四率三百五十亩即所耕之田以种者衰数七百三十五为三率得四率二百四十五亩即所种之田以耘者衰数四百四十一为三率得四率一百四十七亩即所耘之田也此法因分母分子皆不同恐借数有竒零故即以本题分数连乘之得数后仍依各项分之则衰数无竒零而各分各数俱可比例而得矣
设如逺望一塔上露三丈二尺中有林木遮去三分之二下尚露五分之一问共髙若干
法先借一数可分为三分五分者乃借三十为总衰此数三分之二得二十又五分之一得六两数相加得二十六与总衰三十相减余四为一率上露三丈二尺为二率总衰三十为三率得四率二十四丈卽塔之髙也此法以减余四衰与上露三丈二尺之比卽总衰三十与塔总髙二十四丈之比也二十四丈三分之二得十六丈五分之一得四丈八尺相加得二十丈零八尺又加上露三丈二尺则共二十四丈也
又法于借衰三十内减去三分之二【减去二十】又减五分之一【减去六】余四衰卽以四衰除塔露三丈二尺得八尺是一衰为八尺也一衰为八尺则三十衰自得二百四十尺矣
设如有木匠与瓦匠小工三项分工价瓦匠得木匠五分之二小工得木匠四分之一瓦匠比小工多一两二钱问每项工价若干
法以两分母两分子连乘共得四十为木匠衰数此数五分之二得十六为瓦匠衰数四分之一得十为小工衰数又将十六衰与十衰相减余六为一率多一两二钱为二率木匠衰数四十为三率得四率八两卽木匠价取五分之二得三两二钱卽瓦匠价取四分之一得二两卽小工价以二两与三两二钱相减余一两二钱卽瓦匠多于小工之数也此法亦以题中分母分子连乘作衰数但用瓦匠比小工所多衰数银数与木匠衰数银数为比例何也葢各项衰数与各项银数之比皆同今瓦匠衰数与小工衰数之比卽瓦匠银数与小工银数之比也又瓦匠衰数多于小工衰数之六与瓦匠银数多于小工银数一两二钱之比卽同于小工衰数与小工银数之比又即同于木匠衰数与木匠银数之比故直以六衰与多一两二钱为一率二率也
设如有金不足色欲炼成上等好金第一次入炉煅去三分之一第二次入炉煅去四分之一第三次入炉煅去五分之一第四次入炉煅去六分之一方净剩上等好金二十七两问原金几何
法借三分四分五分六分俱分得尽之六十为原金总衰此数三分之一得二十四分之一得十五五分之一得十二六分之一得十四数相并得五十七与原借数六十相减余三为一率净剩金二十七两为二率总衰六十为三率得四率五百四十两卽原金数也此法因原金中镕销四次所余二十七两故借衰中亦减去四次之数所余为三衰以三衰与二十七两之比卽六十衰与五百四十两之比也
设如有铜不知斤数但云取七分之三作上等仪器又取所余之五分之二作中等仪器又取所余之四分之一作三等仪器仍余五十四斤问原铜共数几何
法以三分母连乘得一百四十为总铜衰数取其七分之三余八十为二次余铜衰数【一百四十分为七分每分二十今去三分为六十仍余八十也】又将所余八十取其五分之二余四十八为三次余铜衰数【八十分为五分每分十六今去二分为三十二仍余四十八也】又将所余四十八取其四分之一余三十六为所余衰数【四十八分为四分每分十二今去一分十二仍余三十六也】即以三十六为一率余铜五十四斤为二率总衰一百四十为三率得四率二百一十斤卽原铜共数也葢二百一十斤内去七分之三是去九十斤余一百二十斤又将一百二十斤内去五分之二是去四十八斤余七十二斤又将七十二斤内去四分之一是去十八斤余五十四斤而与原剩数合也此法亦是按节次另定分数与均分者不同故立衰数亦按节次减去取其余衰三十六与余铜五十四斤之比卽若总衰一百四十与总铜二百一十斤之比也
设如问一老人嵗数但云加三分之二减四分之一得一百三十六歳求其嵗数几何
法借十二为总衰数此数三分之二为八四分之一为三于总衰十二内加八减三得十七为一率一百三十六嵗为二率总衰十二为三率得四率九十六嵗即老人嵗数也此法借十二衰即三分与四分相乘之数三分四分俱可以分尽也于总衰十二内加八即加三分之二也又减三即减四分之一也所得十七即加减衰数也以加减衰数与加减年数之比即若所借总衰与所得歳数之比也
设如有一数但云其数二分之一三分之一四分之一五分之一六分之一共并为五百二十二问原数几何
法先借一数可分为二分三分四分五分六分者乃借六十为总衰数此数依法剖之其二分之一为三十其三分之一为二十其四分之一为十五其五分之一为十二其六分之一为十并之得八十七为一率共并数五百二十二为二率总衰六十为三率得四率三百六十即原数也此法借数六十与原数为比者因原数隐而未露故虚借一数作比例以互征之葢并数八十七者原数为六十并数五百二十二者原数为三百六十其比例同也
设如有马一羣但云加一倍又加二分之一又加三分之一又加四分之一又加一并原数共一百一十二匹问原数几何
法先借一数可分为二分三分四分者乃借十二为衰数此数加一倍得二十四又加二分之一为六又加三分之一为四又加四分之一为三共得三十七为一率共数一百一十二减一余一百一十一为二率衰数十二为三率得四率三十六即原数也此法与前法同但题中又加一匹是真数也故于总数内减去一匹为比例盖加分所得衰数三十七与加分所得共数一百一十一之比即若所借原衰十二与原数三十六之比也
设如一人为商三次第一次得利比本为三分之二将利加入本银第二次得利比本为四分之三又将此利加入本银第三次得利比本为五分之三三次本利共银一千四百两问原本银若干法借六十为本银衰数取其三分之二得四十与六十相加得一百又将一百取其四分之三得七十五与一百相加得一百七十五又将一百七十五取其五分之三得一百零五与一百七十五相加得二百八十为一率本利共银一千四百两为二率原借衰数六十为三率得四率三百两即原本银数也葢三百两三分之二得二百与本银相加得五百于五百内取四分之三得三百七十五仍与五百相加得八百七十五于八百七十五内取五分之三得五百二十五仍与八百七十五相加得一千四百以合原数其借六十为本银衰数加三分之二得一百即第一次本利共衰也又加四分之三得一百七十五即第二次本利共衰也又加五分之三得二百八十即第三次本利共衰也以本利共衰与本利共银之比即如本银借衰与原有本银之比也
叠借互征
叠借互征者因原问内设数隐伏一次借衰尚不能得其真数故不得不借两数以比较之先借一数与原数相较复借一数与原数相较然后据两较以立算而真数可得故曰叠借葢以叠借之数比原问之数或多或少乃作盈朒法算之以求两借数之较也故其较之一多一少者用加或两较俱多两较俱少者用减一如盈朒之例以两差数之较与两借数之较为比而得借数与真数之较或以两借数互乘两差数以两差数之较与互乘所得两差数之较为比而得所求之真数其法虽繁实有条理亦借数之巧也
设如有银一百两命甲丙丁三人分之甲比丙多一倍丙比丁多二倍问毎人应得几何
法先借十二两为甲银衰数则丙应得六两【比甲少一倍】丁应得二两【比丙少二倍】并三数得二十两与原银一百两相较少八十两再借二十四两为甲银衰数则丙应得十二两【比甲少一倍】丁应得四两【比丙少二倍】并三数得四十两与原银一百两相较仍少六十两乃以前借数十二两少八十两书于右后借数二十四两少六十两书于左作两不足法算之于是两少数相减余二十两为一率两借数相减余十二两为二率前借数与原数相较之少八十两为三率得四率四十八两加入前借数十二两共得六十两即甲银数或以后借数与原数相较之少六十两为三率得四率三十六两加入后借数二十四两亦得六十两为甲银数既得甲银数减一倍得三十两即丙银数再取丙银三分之一得十两即丁银数也【因丙银比丁银多二倍故于丙银中取三分之一即丁银】此法先借一人银数加减出三人银数与原总银相较得其差数又借一人银数加减出三人银数又与原总银相较复得一差数爰将两借数相减是得甲一人两借数之较也又将两差数相减【因两差俱少故相减如一多一少则相加】是得三人两差数之较也乃以比例求之以三人两差数之较比一人两借数之较即同于三人共数与原总银之差比一人借数与本银之差也故以二十两与十二两之比同于八十两与四十八两之比为借数十二两少于甲本银之差数或以二十两与十二两之比同于六十两与三十六两之比为借数二十四两少于甲本银之差数各与借数相加皆得甲本银数也【因其为少故与借数相加若差数为多则与借数相减】此即盈朒先求适足之法葢两少数相差二十两由于两借数之相差十二两如欲补足所少之八十两则应加四十八两或欲补足所少之六十两则应加三十六两也
又如欲借两数所得差数一多一少用相加立算则先借四十八两为甲银衰数丙应得二十四两丁应得八两并三数得八十两与原银一百两相较少二十两再借六十六两为甲银衰数丙应得三十三两丁应得十一两并三数得一百一十两与原银一百两相较则多十两乃以前借数四十八两少二十两书于右后借数六十六两多十两书于左作一盈一朒法算之于是一多数一少数相加得三十两为一率两借数相减余十八两为二率前借数与原数相较之少二十两为三率得四率十二两加入前借数四十八两共得六十两即甲银数如以后借数与原数相较之多十两为三率得四率六两与后借数六十六两相减亦得六十两为甲银数既... -->>
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