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§87.我希望在本书中大致已经说明，算术定律是分析判断，因而是先验的。这样，算术就会仅仅是一种扩展形成的逻辑，每个算术句子就会是一条逻辑定律，然而是一条导出的定律。把算术用于对自然的解释，相当于对观察的事实[1]进行逻辑加工；计算就会成为推理。数规律不会像鲍曼[2]认为的那样，必须得到实际证明才能应用于外在世界，因为在外界中，即在空间事物的整体中，没有概念，没有概念性质，没有数。因此数规律实际上是不能用于外在事物的：它们不是自然规律。但是它们一定可以应用于对外界事物有效的判断：它们是自然规律的规律。它们断定的不是自然现象之间的联系，而是判断之间的联系；而且这些判断也包括自然规律。
§88.康德[3]显然低估了分析判断的价值————大概是由于过窄地确定这个概念————尽管他似乎想到了这里使用的这种较宽的概念。[4]如果以他的定义为基础，那么分析判断和综合判断的划分就不是穷尽的。他考虑到全称肯定判断的情况。在这种情况下，人们可以谈论一个主词概念，并且问————根据他的定义————它是否包含谓词概念。但是，如果主词是一个个别对象，又怎么办呢？如果涉及存在判断，又怎么办呢？在这种情况下，根本就不能在这种意义上谈论主词概念。康德似乎认为概念是通过指定的标志确定的；但是这属于最不富有成果的概念构造。看一看上面给出的所有定义，几乎找不到这样一种定义。对于数学中真正富有成果的定义也是如此，例如函数的连续性定义。那里没有一系列指定的标志，相反那些规定有一种紧密的，我想说是有机的联系。人们可以通过一个几何图形作出直观上的区别。如果人们通过一个平面的范围来表现这些概念（或它们的外延），那么与通过指定的标志而定义的概念相应的就是所有这些标志范围共同的那个范围；这个范围被那些范围的边界部分包围。因此在这样下定义时，就涉及————形象地说————以新的方式应用已经给出的线来划出一个范围。[5]但是这里本质上没有出现任何新东西。富有成果的概念规定划出以前还根本没有给定的界线。从它们可以推出什么，无法从一开始就认识到；这里，人们不是简单地从箱中把刚刚放入的东西又取出来。这些结论扩展了我们的认识，因此人们应该遵循康德把它们看作是综合的；然而，它们可以被纯逻辑地证明，因而它们是分析的。实际上它们包含在定义之中，但是恰如植物包含在种子之中，而不是像房梁包含在房屋之中。人们常常需要许多定义来证明一个句子，因此这个句子不包含在任何个别的定义中，然而却是从所有定义中纯逻辑地得出的。
§89.我必须也反驳康德[6]下述断言的普遍性：没有感觉，我们就不会得到任何对象。零、一是我们不能通过感觉而得到的对象。甚至将较小的数看作是直观的那些人也必须承认，他们无法直观地得到大于 的数，并且必须承认我们仍然知道许多这样的数。也许康德在某种不同的意义上使用“对象”一词；但是在这种情况下，零、一、我们的∞1就完全被排除在他的考虑之外；因为它们也不是概念，而且康德还要求人们把直观对象附加到概念上。
为了不使人们责怪我对一位我们只能满怀钦佩衷心景仰的思想巨匠有些吹毛求疵，我认为必须也强调我和他相一致的地方，而且这远远超过不一致的地方。如果仅仅提及首要的东西，我认为康德的伟大功绩在于他区别出综合判断和分析判断。他称几何学真命题为综合的和先验的，以此他揭示了它们的真正本质。而且现在仍然值得重复这一点，因为人们还常常认识不到它。如果说康德在算术方面搞错了，那么我认为，从根本上说这无损于他的功绩。在他看来，重要的是存在着先验综合判断；至于它们是只在几何中还是也在算术中出现，则不太重要。
§90.我并不要求使算术句子的分析性比可能的更多，因为人们总是能够怀疑，是否可以完全从纯逻辑规律进行算术句子的证明，是否在任何地方都没有悄悄地插入另一种论据。甚至通过我为证明一些句子而提出的提示，也没有完全打消这种疑虑；只有通过完善的推理串，其中不出现任何不符合少数几类公认的纯逻辑推理的步骤，才能消除这种疑虑。至今几乎还没有一个证明是以这种方式进行的，因为如果向一个新判断的每次过渡显然是正确的，数学家就会表示满意，而不问这种显然性是逻辑的还是直觉的。这样前进的一步常常是由许多步复合构成的，等价于许多简单的推论，而且除了这些推论，还可能带有一些来自直觉的东西。人们跳跃式地进行推论，由此在数学中形成了看上去极其多种多样的推理方式；因为，跳跃越大，它们所能体现的由简单推理和直觉公理的组合就越多样。然而在我们看来，这样一种过渡常常显然是直接的，我们意识不到其中间阶段，而且，由于它不呈现为任何一类公认的逻辑推理方式，我们随时准备把这种显然性看作一种直观的东西，把这种推论的真看作一种综合的真，即使在有效性范围显然超出直观范围的情况下，也是如此。
以这种方式不可能把基于直觉的综合和分析清晰地区别开。人们也不能成功地把直觉公理确切无疑地完全排列在一起，以致根据逻辑规律仅从这些公理就能够进行所有数学证明。
§91.因此，绝不能拒绝下面的要求：在推理过程中要避免一切跳跃。这一要求很难满足，因为一步一步地进行推理是很冗长乏味的。每个稍微有些复杂的证明恐怕都会长得吓人。此外，由于语言中明确形成的逻辑形式过于多样，这就使人很难划分出一类推理方式的界线，这类推理方式满足所有情况并且很容易被忽略。
为了克服这种弊病，我设计出我的概念文字。它应该使表达式更加简明清楚，并且能够像运算那样以少数几个固定的公式来进行，因而不出现与那些一劳永逸地建立起来的规则相悖的过渡。[7]这样，任何论据都不能悄悄地潜入进来。以这种方式，不必从直觉借用任何公理，我就证明了一个句子，[8]而这个句子，人们一眼看上去就想把它看作一个综合句，这里我要把它表述如下：
如果一个序列中每个项与其后继的关系是一一对应的，而且如果在这个序列中m和y跟着x,那么y在这个序列中就在m前面或与m重合或跟着m。
从这个证明可以看出，扩展了我们认识的句子可以包含分析判断[9]。
[1]观察活动本身已经包括一种逻辑活动。
[2]《论时间、空间和数学》，第2卷，第670页。
[3]同上书，第3卷，第39——40页。
[4]他在第43页上说，仅当假定另一个综合句子时，才能根据矛盾律看出一个综合句子。
[5]如果标志是由“或者”联结的，则也是这样。
[6]《论时间、空间和数学》，第3卷，第82页。
[7]然而它应该不仅能够表达像布尔表达方式那样的逻辑形式，而且应该表达一种内容。
[8]《概念文字》（Begriffsschrift，Halle a/S.1879）第86页，公式133。
[9]人们将发现这个证明还是过于冗长。这是一个缺点，它似乎抵消其几乎绝对避免错误或纰漏的可靠性。那时我的目的在于把一切化归为尽可能少的几条尽可能简单的逻辑规律。因此我只应用了唯一一种推理方式。但那时我在序（第Ⅶ页）中就已经指出，为了更广泛的应用，可以允许更多的推理方式。这可以在不损害推理串的联系的情况下进行，而且以此可以达到显著的简化。
其他的数
§92.到目前为止，我们的考虑限于数。现在让我们看看其他种类的数，并且尝试着把我们在狭窄范围所认识的东西应用于这更广泛的范围。
为了澄清问一个特定的数的可能性是什么意思，汉克尔说： [1]
“今天，数再也不是一个事物，一个在思维主体之外和推动主体的对象之外独立存在的实体，一条独立的原则，譬如毕达哥拉斯定理中的原则。因而有关数是否存在的询问，仅仅与思维主体或被思考的对象有关，数不过是体现了它们之间的关系。严格地说，在数学家看来，不可能的东西仅仅是逻辑上不可能的东西，即自相矛盾的东西。无需证明，绝不允许有这种意义上的不可能的数，但是，如果有关的数是逻辑上可能的，它们的概念得到清晰明确的定义，因而是无矛盾的，那么问数是否存在，可能仅仅是问：在现实领域或直观现实世界领域，即实际事物领域中，是否存在数的基础，是否有一些对象，在它们身上表现出数，因而表现出某种理性关系。”
§93.第一个句子可以令人们产生怀疑，根据汉克尔的思想，数究竟是存在于思维主体之中，还是存在于推动主体的对象之中，还是存在于二者之中。在空间的意义上，数无论如何既不在主体之内，也不在主体之外，既不在一个对象之内，也不在一个对象之外。但是数不是主观的，也许在这种意义上它在主体之外。每个人只能感到自己的痛苦，自己的欲望，自己的饥饿，只能有自己对声音和颜色的感觉，而数却可以是许多人的共同对象，而且数恰恰是所有人相同的对象，而不是不同人的仅仅或多或少相似的内心状态。当汉克尔想把数是否存在这个问题与思维主体联系起来时，他似乎以此把它变成一个心理学问题，但它绝不是心理学问题。数学不探讨我们的心灵本性，而且对数学来说，如何回答任何心理学的问题，肯定是完全无关紧要的。
§94.甚至，只有在数学家看来自相矛盾的东西才是不可能的这一说法也必须受到指摘。即使一个概念的标志包含着矛盾，这个概念也是容许的；只是人们绝不能预先假定某种东西处于它之下。但是从概念不包含矛盾这一点还不能推论某种东西处于它之下。顺便问一下，人们应该如何证明一个概念不包含矛盾呢？这绝非总是直接显然的；从人们看不到矛盾得不出不存在矛盾，而且定义的明确性绝不为此提供保证。汉克尔证明， [2] 比普通的数系统更高阶的限定的复数系统，若是服从所有加法和乘法规律，就包含矛盾。这一点恰恰必须被证明；人们直接看不出它。在证明这一点之前，总有人可以利用这样一个数的系统达到一些奇妙的结果，它们的论证不会比汉克尔 [3] 借助变化的数给出的关于行列式句子的论证差；因为谁能担保在这些变化的数的概念中不包含着隐藏的矛盾呢？而且，即使可以排除任意多变化的单位这样一个普遍矛盾，也不会总是先得出，存在这样的单位。而且这恰恰是我们所需要的。让我们以欧几里得的《几何基础》第一卷的第18条定理为例：
在每个三角形中，较大的角与较大的边相对。
为了证明这一点，欧几里得从较大的边AC截掉与较小的边AB相等的线段AD，并且在这里引用了前面的一个构图。如果没有诸如D这样的点，这个证明就会垮掉，而且，在“在AC上的一个点，它与A的距离等于AB”这个概念中没发现任何矛盾，这是不够的。现在B与D连结起来，甚至存在这样一条直线，也是这个证明所依据的一个句子。
§95.大概只有证明了某物处于一个概念之下，才能严格地确立这个概念的无矛盾性，反过来则会是错误的。当汉克尔谈及x+b=c这个方程式时， [4] 他就陷于这种错误。他说：
“显然，如果b>c，那么在1、2、3……这个序列中就没有解决该问题的数x：在这种情况下，减法是不可能的。然而没有任何东西阻碍我们在这种情况下把（c-b）这个差看作解决该问题的符号，并且用它进行运算，好像它恰怡是1、2、3……这个序列中用数表明的数一样。”
尽管如此，却有某种东西阻碍我们立刻把（2-3）看作表示该问题的解的符号；因为一个空符号恰恰解决不了这个问题；如果没有内容，它只是纸上的墨迹或印迹，作为这样的印迹，它有物理性质，但是没有加2得3的性质。这实际上根本不会是符号，把它们当作符号使用在逻辑上会是错误的。甚至在c>b这种情况下，这个问题的解也不是（“c-b”）这个符号，而是它的内容。
§96.人们同样可以说：在迄今已知的数中，没有同时满足
x+1=2和x+2=1
这两个方程式的数；但是没有什么东西阻碍我们引入一个解决这个问题的符号。人们会说：这个问题确实有矛盾。如果人们要求以一个实数或普遍的复数作为它的解，当然会这样；但是我们确实扩展了我们的数系统，我们确实创造出满足这些要求的数。让我们拭目以待，看谁为我们指出一个矛盾！谁能知道，在这些新数中什么是可能的呢？在这种情况下，我们当然不能保持减法的单值性；但是如果我们想引入负数，我们甚至必须也放弃根号的单值性；由于复数，对数也变为多值的。 让我们再创造一些允许把离散的序列聚合起来的数！不！即使是数学家，也不能任意创造某种东西，就像地理学家不能任意创造某种东西一样；他只能发现存在什么，并且为它命名。
这种错误损害了分数、负数、复数的形式理论。 [5] 人们要求，为新引入的数尽可能保留已知的运算规则，并且由此推导出普遍的性质和关系。如果在任何地方都不遇到矛盾，那么，新数的引入就被看作是合理的，就好像矛盾依然无处藏身，就好像无矛盾性已经存在。
§97.很容易犯这种错误，原因大概在于没有把概念与对象明确地区别开来。没有任何东西阻碍我们使用“-1的平方根”这个概念；但是我们没有理由为它直接加上定冠词，并把“-1的这个平方根”这个表达式看作是一个有意义的表达式。假定了i2＝-1，我们就可以证明这样的公式，它以α角的正弦和余弦表达出角α的某个倍数的正弦；但是我们不能忘记，在这种情况下，这个句子就带有i2＝-1这种我们不能直接消除的条件。如果根本没有任何东西，它的平方为-1，那么这个方程式就不必根据我们的证明而是正确的， [6] 因为i2=-1这种条件从未被满足，而这个方程式的有效性似乎依赖于这种条件。结果就好像我们在一个几何证明中利用了一条根本就不能划出来的辅助线一样。
§98.汉克尔 [7] 引入了两种运算。他把它们叫作lytische运算和thetische运算，而且他通过这些运算应该具有的一些性质确定了它们。对此，只要人们不假定存在这样的运算和可以是其结果的对象，就无可非议。 [8] 后来， [9] 他通过（a+b）表达了一种thetische、完全单值的、结合的运算，并通过（a-b）表达了相应的同样单值的lytische运算。一种这样的运算吗？哪一种？一种任意的吗？在这种情况下，这就不是（a+b）的定义；而且，如果现在不存在任何定义呢？如果“加法”这个词还没有任何意谓，那么在逻辑上就允许说：我们愿意称这样一种运算为一种加法；但是在确定了有一种并且只有唯一一种加法之前，不能说这样一种运算应该叫作这种加法并由（a+b）表示。人们不能在一个定义等式的一边使用不定冠词，而在另一边使用定冠词。然后汉克尔接着说到“运算模型”，而没有证明存在一种并且只存在一种模型。
§99.简言之，这种纯形式的理论是不充分的。它有价值的东西仅仅在于：人们证明，如果一些运算有一定的性质，譬如结合性和交换性，那么关于这些运算的某个句子就是有效的。现在人们表明，人们已经知道的加法和乘法有这些性质，而且人们能够立即说出那些关于加法和乘法的句子，而不必详尽地重复每个个别情况下的证明。只有通过把这种纯形式理论应用到以其他方式给定的运算，才能达到已知的算术句子。但是绝不允许以为能够以这种方式引入加法和乘法。人们给出的仅仅是对定义的说明，而不是定义本身。人们说... -->>
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