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对于每一种形式的人类活动，我们都必需不时地问一问，它的目的和目标是什么？它在什么方面促进人类存在的美？关于那些通过提供生命机理而只是远距离地产生促进作用的研究活动，提醒人们注意以下这一点是合适的：在思考重要的事物时，并非活单纯的活着的事实而是关于如何活着的艺术才是值得我们想望的。对于那些在自身之外没有目的的业余活动，以及那些因实际增加了这个世界永久财富之总量而将得到正当性证明————假如终究能被证明————的业余活动，则更需要始终以某种方式知悉它们的目标，而此种知悉即在于清晰地预见创造性想象体现于其中的殿堂。
很遗憾，在与形成那种惯常决定用来训练年轻人头脑的材料的学科有关的东西中，这种要求的满足实际上几乎是不可能的，甚至于单纯陈述这样一种主张都显得荒谬。一些伟大的人物充分意识到沉思活动之美，毕生致力于提供此种美的服务，并希望其他人可以分享他们的快乐；他们说服人类向后代传授机械性的知识，没有这种知识就不可能跨过门槛。干瘪的学究自身占有灌输这种知识的特权：他们忘记了这种知识只能用作打开殿堂之门的钥匙；虽然他们把生命都耗在向上通往那些神圣之门的台阶上，但他们掉头不顾这座殿堂，并且态度坚决，以至于完全忘记了其真正的存在，而那些肯奋力向前并初步看到其屋顶及拱门的热切的年轻人，则被吩咐转过身来去数这些台阶。
数学已遭遇这种它在文明中的应有地位被人遗忘的情形，而且它的这种处境甚至也许比希腊与罗马学科还糟糕。尽管传统要求绝大多数受过教育的人至少要知道这门学科的基本原理，但传统因之产生的理由却被人遗忘了，并被埋葬在一个由迂腐和浅薄之物构成的巨大的垃圾堆下。对于那些追问数学目的的人来说，通常的答案将是它促进了机器的制造、从一地到另一地的旅行，以及不管在战争中还是在贸易中针对外邦的胜利。假如有人反对说，这些目标————它们全都具有不明确的价值————没有受到那些并未成为专业数学家的人所不得不接受的纯粹基础课程的促进，那么答复确实很可能在于数学训练推理能力。然而，恰恰是作出这种答复的人多半不愿意放弃某些明确的谬误推理的传授，而每一个聪明的学习者的朴素思维都知道那些谬误推理，并会本能地拒绝它们。那些强调培养推理能力的人通常把这种能力本身构想为单纯的避免陷阱的手段以及发现实际生活指导准则的帮手。不可否认，所有这些都是可归于数学名下的重要成就；然而，这些当中无一能让数学有资格在每一种自由教育中占有一席之地。我们知道，柏拉图认为人们若思考数学真理就拥有了神性；而且，关于人类生活中在天国拥有一席之地的那些成份是什么，他或许比任何其他个人都有更多的认识。柏拉图说，在数学中“有某种必然的且不能弃之不问的东西……，假如我没有弄错的话，那就是具有神的必然性的东西；因为，至于许多人在这方面所谈及的人的必然性，再没有比这样应用这些词更可笑不过了。【克列尼亚斯】那么，陌生人，知识中这些神的而非人的必然性是什么呢？【雅典人】对于有些东西，一个人若不以某种方式使用或知晓它们，他就不能成为世界的一个神，也不能成为一个精灵，甚至不能成为一个英雄，不能热切思考并关心人类；所谓神的必然性就是这样的一些东西”（《法律篇》第818页）注23。这就是柏拉图对数学的判断；但是，数学家们不读柏拉图，而那些读柏拉图的人又不懂数学，并认为他在这个问题上的意见只是一种离奇的偏离常轨的东西。
从正确的角度看，数学不仅拥有真理，还拥有至上的美；有如雕塑之美，这是一种冷静的、简朴的美。这种美无须诉诸我们较弱的天性的任何部分；而且它虽没有绘画或音乐的那种绚丽装饰，却有一种令人崇敬的纯粹，并能表现出一种唯有伟大的艺术才能显示出来的严格意义上的完美。作为最卓越的东西的试金石，真正的快乐心境、兴奋及超出人的存在的感觉，肯定都会在数学中发现；这与在诗中的情形是一样的。数学中最好的东西不仅值得作为一种任务来学习，而且亦值得作为日常思想的一部分来吸收，并通过持续不断的鼓励时时记于心间。对于绝大多数人来说，真实的生活是一种长久的居第二位的东西；它是理想与可能之间的一种连续不断的妥协的产物。但是，纯粹理性的世界并不知道什么是妥协，并不知道什么是实际的限度，并不知道什么是创造性活动的障碍；创造性活动把人们对完美的热情追求都具体化为一座座辉煌的大厦，而一切伟大的作品都是从此种追求中产生的。远离人的热情，甚至远离大自然的可怜的事实，一代又一代的人已逐渐创造一个有序的宇宙。在这个宇宙中，纯粹的思想，就像在其天然之家一样，能够栖息下来；而且在这里，我们的高贵冲动中至少有一种可以逃避现实世界的令人沮丧的放逐。
然而，数学家们极少追求美，以至于他们的工作中几乎没有什么东西具有这种自觉的意图。由于一些不可抗拒的本能（这些本能曾比被公开声称的信念更有效），许多工作都已被一种不自觉的趣味模型化了，但亦有许多工作已为在什么是适当的这个问题上的错误观念所损害。仅在出现严格意义上的逻辑推理的地方，数学特有的卓越之处才会被发现；逻辑规则之于数学正如构造规则之于建筑学。在最出色的工作中，会呈现出一个证明的链条；在此链条中，每一个环节从其自身来说就是重要的，并且整个链条自始至终都有一种自然而又清晰的外观。此外，在证明中，通过一些看似自然而又不可不用的方法，从前提中引出的东西将比原先认为可能会得到的东西更多。文学把一般的东西具体化于特殊的事实，而这些特殊事实的普遍意义显露并贯穿于其个体化的外观中；但是，数学努力呈现任何一种纯粹意义上的极其一般的东西，而无任何不相关的装饰。
应该如何进行数学教学，以便向学习者传授尽可多的这种高级理想呢？这里，经验必须在很大程度上作为我们的指南；但是，一些基本原理可以从我们对将要获得的终极意图的思考中产生。
当以正确的方式传授时，数学所服务的主要目标之一，就在于唤醒学习者对理性的信念和他对被证明之物的真理性及证明之价值的确信。现行的教育活动并没有满足这种意图；但是，我们容易看到它在其中可能被满足的一些方面。当前，在涉及算术的教学中，儿童被给予一组规则；这些规则自身既未表现为对的东西，亦未表现为错的东西，而只表现为教师的意志，即表现为教师因某种难以理解的理由而偏爱游戏得以开展的方式。从某种程度上讲，在具有这样的明确的实际功用的课程中，这种情况无疑是不可避免的；但是，应该尽早通过任何一种最容易对儿童产生吸引力的方法来阐述关于规则的理由。在几何学中，不应再有以靠不住的方式证明显而易见的自明之理时所出现的那种冗长乏味的装置；这些自明之理构成欧几里得几何学的开端。学习者应该首先被允许去假定一切显而易见的东西的真理性，并应该在对某些定理的证明中得到训练；所说的那些定理，指的是会立即让人感到吃惊并容易通过实际画图而得以证实的定理，比如可以表明三条线或更多条线相交于一点的那些定理。通过这种方式，信念就产生了；我们看到，推理可以导致一些令人吃惊的结论，然而事实又将证实它们。因此，对任何抽象的或理性的东西的本能上的不信任，就逐渐地被克服了。在出现深奥定理的地方，那些定理应该首先在几何画图时作为习题教给学习者，直至他们彻底熟悉图形；然后，教之以所出现的各种线或圆的逻辑联系就会是一种令人愉快的进步。同样值得期望的是，阐明一个定理的图形应该画在所有可能的例子与形态中，而且几何学所关心的抽象关系，因此可自动作为如此巨大而又明显的差异中的相似性之残余而出现。通过这种方式，抽象证明应该只形成教学活动的一小部分，而且当学习者通过熟悉具体的例子而意识到抽象证明是可见事实的自然体现时，我们就应该给出这样的证明了。在此早期阶段，当进行证明时，我们不应该追求学究式的完美。一些明显错误的方法，比如叠加法，应该严格地从第一阶段排除；但是，当因为没有这样的方法而导致证明将会非常困难时，我们应该通过与证明形成清晰对比的论证和说明来让结论变得可接受。
在代数学的开端，连最聪明的儿童通常也会感到有很大的困难。字母的使用是一种神秘；除了使其神秘化外，这种使用没有任何目的。起初，儿童几乎不可能不这样想：每一个字母都代表某个特殊的数目，但愿老师会泄露它代表什么数目。事实上，在代数学中，心灵首先被教导去思考一般真理，即被断言不只对于这种或那种特殊事物而是对整个一组事物中任何一个都有效的真理。正是理解并发现这样的真理的能力，才体现着智力对由现实的或可能的事物所构成的整个世界的掌控；而且处理一般本身的能力是数学教育应该赠予的礼物之一。但是，代数学老师对把代数学从算术中分离出来的裂缝所能做出的解释通常少得可怜，而且学习者在探索性地寻求理解时所得到的帮助也是少得可怜。一般说来，算术中已被采纳的方法会被继续使用：一些规则是在其根据未得到充分解释的情况下被陈述的；小学生们盲目地学习使用这些规则，而且不久，当他们能够获得老师想要的答案时，他们觉得自己已征服了这门学科的困难。但是，在如何内在地理解所使用的这些步骤的问题上，他很可能几乎什么也没有习得。
当既已学习代数学时，在我们开始接触那些运用无穷概念的课程即微积分和整个高等数学之前，一切都将很顺利。针对围绕在数学上的无穷概念周围的困难而提出的解决方案，很可能是我们自己这个时代引以为自豪的最伟大成就。从希腊思想的开端，这些困难就已被人认识到了；每一个时代具有最非凡才智的人，都在徒劳地尝试回答由爱利亚的芝诺所提出的那些显然回答不了的问题。最后，格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）发现了问题的答案，并为智力征服了一片原已交给混乱及古老黑夜的新的巨大领域。假如从任意事物集合中拿走一些事物，那么剩余事物的数目一定总是少于原先的事物的数目；在康托尔和戴德金（Dedekind）确立相反的命题之前，这一点曾被假定为自明的。事实上，这个假定只对有限的集合有效；而且人们已经表明，在涉及无限的地方，若摈弃这个假定，就将清除在这个问题上迄今一直让人类理性感到困惑的所有困难，并使得创造一种精确的关于无限的科学成为可能。这一令人惊叹的事实应该在高级数学教学中引起一场革命；它已将自身不可估量地添加到了这门科目的教育价值中，并且最终为用逻辑的精确性处理许多课程提供了手段，而那些课程直到不久前还笼罩在谬误与晦暗之中。那些依据旧的思路接受教育的人认为，这项新的工作是极其费力的、难解的、模糊的，以至于让人觉得害怕。此外，我们必须承认，发现者自己常常也几乎没有从他的才智之光正在驱散的雾霭中现身。但本质上，对于所有坦诚而又爱探究的心灵来说，新的无限学说已经促进了对高等数学的掌控，这是因为，迄今为止，对于有些论证，我们虽在初次接触时就正确地判断它们是混乱和错误的，但一直都必须通过一个长期的复杂过程，去学习如何同意它们。既然如此，我们远未产生一种对理性的无畏的信念，即远不能勇敢地拒绝任何不能满足最严格的逻辑要求的东西；由于这一点，在过去的两个世纪中，数学训练助长了这样的信念，即对于许多东西，一种严格的探究会把它们作为谬误加以拒绝，但因为它们在数学家所谓的“实践”中起作用，所以仍然必须被接受。通过这种方法，一种胆小的妥协的精神，要不就是一种为俗人所无法理解的对神迹的神父式信念，已经在单独由理性主宰的地方得到了培育。现在是清除掉所有这一切的时候了；让我们立即把真实的理论教给那些希望洞察数学秘密的人，而且这种教学要在相关实际存在物的真... -->>
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