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钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷四十
末部十
比例规解【分圆线 正?线 正切线 正割线 尽日晷法假数尺 正?假数尺 切线假数尺 割线假数尺】
分圆线【即圆内之通?线】
自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线依几何原本十二卷二十节之法分之即为分圆线也或用八线表三十分之正?倍之即一度之通?一度之正?倍之即二度之通?一度三十分之正?倍之即三度之通?至于九十度之正?倍之即一百八十度之通?以所得通?之数于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二线即成分圆线也
设如甲乙半径六寸丙乙弧二十九度问丙乙通?几何
法以比例尺分圆线六十度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次取分圆线二十九度两防相距之度于分厘尺上量之得三寸即丙乙通?之数也葢圆之半径与六十度之通?等六十度之通?既为六寸则二十九度相距之三寸即为二十九度之通?可知矣
设如甲乙半径六寸丙乙通?三寸问丙乙弧度几何
法以比例尺分圆线六十度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次取通?三寸之度于分圆线上寻至二十九度之两防其相距之度恰合即丙乙弧为二十九度也葢圆之半径与六十度之通?等通?六寸相当之度为六十度则丙乙通?三寸相当之二十九度即为丙乙弧之度可知矣
设如丙乙弧三十一度丙乙通?一寸零三厘问甲乙半径几何
法以比例尺分圆线三十一度之两防依通?一寸零三厘之度展开勿令移动次取六十度两防相距之度于分厘尺上量之得二寸即甲乙半径也葢六十度之通?与圆之半径等三十一度之通?为一寸零三厘则六十度之通?二寸即为圆之半径可知矣
设如圆径六寸内容五等边形问每一边几何法以比例尺分圆线六十度之两防依半径三寸之度展开勿令移动次以圆周三百六十度用五归之得七十二度即五等边形每边相当之弧乃取分圆线七十二度两防相距之度于分厘尺上量之得三寸五分有余即圆内五等边形之一边也葢圆内容五边形之每一边即七十二度之通?而半径又即六十度之通?六十度之通?为三寸则七十二度之通?三寸五分有余即为圆内容五等边形之一边可知矣
设如有甲乙丙三角形问乙角之度几何
法以乙角为心任以一处为界作丁戊弧则乙丁乙戊皆为圆之半径丁己戊爲乙角之通?乃以比例尺分圆线六十度之两防依乙丁半径之度展开勿令移动次取丁己戊通?之度于分圆线上寻至三十度之两防其相距之度恰合即乙角为三十度也
正?线
自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线用八线表正?线自一度至九十度之数【自八十度至九十度正?每度之较甚防若尺小不能分或隔一度而作一防或隔五度而作一防】于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二线即成正?线也
设如甲乙半径六寸丙乙弧二十一度问丙丁正?几何
法以比例尺正?线九十度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次取正?线二十一度两防相距之度于分厘尺上量之得二寸一分五厘即丙丁正?之数也葢圆之半径与九十度之正?等九十度之正?既为六寸则二十一度相距之二寸一分五厘即为二十一度之正?可知矣若用分圆线则以分圆线六十度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次以丙乙弧二十一度倍之得四十二度即取分圆线四十二度两防相距之度于分厘尺上量之得四寸三分为四十二度之通?折半得二寸一分五厘即丙丁正?之数也葢正?之弧为弧背之一半正?为通?之一半故求得倍弧之通?折半即半弧之正?此分圆线与正?线可以互相为用也
设如甲乙半径六寸乙丁正?三寸问乙丙弧之度几何
法以比例尺正?线九十度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次取正?三寸之度于正?线上寻至三十度之两防其相距之度恰合即乙丙弧为三十度也葢圆之半径与九十度之正?等正?六寸相当之度为九十度则正?三寸相当之三十度为丙乙弧之度可知矣若用分圆线则以分圆线六十度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次以正?三寸倍之得六寸于分圆线上寻之得六十度折半得三十度亦即乙丙弧之度也
设如甲乙弧三十二度甲丙正?一寸零六厘问乙丁半径几何
法以比例尺正?线三十二度之两防依正?一寸零六厘之度展开勿令移动次取九十度两防相距之度于分厘尺上量之得二寸即乙丁半径也盖九十度之正?与圆之半径等三十二度之正?为一寸零六厘则九十度之正?二寸即为圆之半径可知矣若用分圆线则以三十二度倍之得六十四度以正?一寸零六厘倍之得通?二寸一分二厘乃以分圆线六十四度之两防依通?二寸一分二厘之度展开勿令移动次取分圆线六十度两防相距之度于分厘尺上量之得二寸即乙丁半径也
设如简平仪下盘作节气线问其法若何
法自甲圆心作乙丙径线
又自甲平分作赤道线即
为春分秋分线乃以比例
尺正?线九十度之两防
依甲乙半径之度展开勿
令移动次取二十三度半
两防相距之度【二至黄赤道大距度】于赤道线左右丙乙径上
作识如丁戊依识与赤道
平行作线即为夏至冬至
线【丁为夏至戊为冬至】复以正?线
九十度之两防依甲戊二
十三度半之正?线度展
开勿令移动而取十五度
三十度四十五度六十度七
十五度之各两防相距之度
于赤道左右作识悉与赤道
平行作线即成二十四节气
线也葢赤道即春分秋分距
二分十五度之线左为惊蛰
寒露右为清明白露距二分
三十度之线左为雨水霜降
右为谷雨处暑距二分四十
五度之线左为立春立冬右
为立夏立秋距二分六十度
之线左为大寒小雪右为小
满大暑距二分七十五度之
线左为小寒大雪右为芒种
小暑距二分九十度之线左
即冬至右即夏至也
设如简平仪下盘欲作时刻线问其法若何
法如前作径线及赤道二
至线乃以比例尺正?线
九十度之两防依半径【即春
秋分线之半】之度展开勿令移
动次取十五度三十度及
四十五度六十度七十五
度之各两防相距之度自
圆心于赤道线上下作识
即春秋分时之二十四时
刻也又以比例尺正?线
九十度之两防依冬夏至
线之半展开勿令移动取
十五度三十度四十五度
六十度七十五度之各两
防相距之度自圆径与二
至线相交之处于二至线
上下作识即二至时之二
十四时刻也乃用三防串圆
之法将二至及二分之防连
为一线即成时刻线矣葢中
心横线为卯正酉正距中心
十五度之线上为辰初酉初
下为卯初戌初距中心三十
度之线上为辰正申正下为
寅正戌正距中心四十五度
之线上为巳初申初下为寅
初亥初距中心六十度之线
上为巳正未正下为丑正亥
正距中心七十五度之线上
为午初未初下为丑初子初
距中心九十度之线即圆周
上为午正下为子正也
正切线
自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线用八线表正切线自一度至四十五度之数于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二线即成正切线也至于四十五度以后则与四十五度以前相为正余葢四十五度之正切线与半径等四十五度以前之正切线即四十五度以后之余切线而半径与正切之比同于余切与半径之比故切线止用四十五度即足九十度之用也
设如甲乙半径六寸乙丙弧三十五度问丁乙切线几何
法以比例尺正切线四十五度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次取正切线三十五度两防相距之度于分厘尺上量之得四寸二分即丁乙切线之数也葢圆之半径与四十五度之切线等四十五度之切线既为六寸则三十五度相距之四寸二分即为三十五度之切线可知矣
设如甲乙半径六寸乙丙弧五十八度问丁乙切线几何
法以五十八度与九十度相减余三十二度为余弧乃以比例尺正切线三十二度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次取四十五度两防相距之度于分厘尺上量之得九寸六分即丁乙切线之数也葢圆之半径与四十五度之切线等而三十二度之正切即为五十八度之余切夫半径与正切之比既同于余切与半径之比故以三十二度相距之六寸当半径而四十五度相距之九寸六分即为五十八度之切线也凡过四十五度者皆仿此
设如甲乙半径六寸丙乙切线四寸二分问丁乙弧之度几何法以比例尺正切线四十五度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次取切线四寸二分之度
于正切线上寻至三十五度之两防其相距之度 恰合即丁乙弧为三十五度也葢圆之半径与四十五度之切线等切线六寸相当之度为四十五度则切线四寸二分相当之三十五度即为乙丁弧之度可知矣设如
甲乙弧三十五度丙乙切线一寸零五厘问丁乙半径几何法以比例尺正切线三十五度之两防依切线一寸零五厘之度展开勿令移动次取正切线四十五度两防相距之度于分厘尺上量之得一寸五分即丁乙半径也葢四十五度之切线与圆之半径等三十五度之切线为一寸
零五厘则四十五度之切线一寸五分即为
丁乙半径可知矣
设如地平上立表髙四尺日中影长三尺六寸零二厘问日髙度几何
法以比例尺正切线四十五度之两防依分厘尺四寸之度展开勿令移动次取分厘尺三寸六分零二豪之度于正切线上寻至四十二度之两防其相距之度恰合乃以四十二度与九十度相减得四十八度为日距地平之髙度也盖地平上立表取影以表为半径则影为日距地平之余切线如甲乙表髙为半径乙丙影长为切线求得乙丁弧为甲角之度故与九十度相减得丙角始为日距地平之度也
设如壁上立横表四尺日中影长二尺四寸零三厘问日髙度几何
法以比例尺正切线四十五度之两防依分厘尺四寸之度展开勿令移动次取分厘尺二寸四分零三豪之度于正切线上寻至三十一度之两防其相距之度恰合即日距地平之髙为三十一度也葢壁上立横表取影以表为半径则影即日距地平之正切线如甲乙横表为半径甲丙影长为切线求得甲丁弧为乙角之度与乙丙戊角之度等故即为日距地平之髙度也
正割线
自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线用八线表正割线自初度至七十度之数【初度割线即圆之半径自一度至十度其每度之较甚防若尺小不能分或隔五度作一防自七十度以上渐与切线平行其数甚大尺上不能容故止取七十度也】于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二线即成正割线也
设如甲乙半径六寸乙丙弧四十一度问甲丁割线几何
法以比例尺正割线初度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次取正割线四十一度两防相距之度于分厘尺上量之得七寸九分五厘即甲丁割线之数也葢初度尚无切线故其割线即圆之半径初度之割线既为六寸则四十一度相距之七寸九分五厘即为四十一度之割线可知矣
设如甲乙半径六寸甲丙割线一尺二寸问丁乙弧之度几何
法以比例尺正割线初度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次取割线一尺二寸之度于正割线上寻至六十度之两防其相距之度恰合即丁乙弧为六十度也葢初度之割线即圆之半径割线六寸相当之度为初度则割线一尺二寸相当之六十度即为丁乙弧之度可知矣
设如甲乙弧四十四度半丙丁割线二寸一分零三豪问丁乙半径几何
法以比例尺正割线四十四度半之两防依割线二寸一分零三豪之度展开勿令移动次取初度两防相距之度于分厘尺上量之得一寸五分即丁乙半径之数也葢初度之割线即圆之半径四十四度半之割线为二寸一分零三豪则初度之割线一寸五分即为丁乙半径可知矣
作地平日晷法【以北极出地四十度为准】
法先作南北东西线相交于
甲各成直角次作甲乙丙晷
表取甲角五十度为赤道髙
丙角四十度为北极高而乙
角为直角次取晷表之甲乙
度截南北线于丁为半径作
圜用比例尺分圆线比得十
五度三十度四十五度六十
度七十五度之各分分圜界
作识乃自丁圜心引出各界
作线至东西线上即得午正
前后各初正时刻或以甲乙
为半径用比例尺正切线比
得十五度三十度四十五度
六十度七十五度之各切线
自甲左右作以北极出地四
十度为准
识于东西线上亦即午正
前后各初正时刻【甲为午正距甲
十五度前为午初后为未初距甲三十度前为巳正
后为未正距甲四十五度前为巳初后为申初距甲
六十度前为辰正后为申正距甲七十五度前为辰
初后为酉初也】乃以晷表之丙为
晷心至各防作线即时刻
线也卯正酉正各距午正
前后九十度故自丙晷心
与东西线平行作线即卯
正酉正线卯正以前酉正
以后则日转在北影转在
南故与辰初酉初反对作
线即卯初戌初线也次按
刻细分则自午正甲防每
加三度四十五分而得一
刻葢十五度当四刻而三
度四十五分则当一刻也
此法葢因北极为天之枢赤
道为天之带太阳虽由黄道
而行时刻皆以赤道而定故
以晷表之甲乙指赤道丙乙
指北极而东西线即为赤道
线丙乙即为过极经圈甲乙
即为半径午正太阳在正南
则影在正北若偏东偏西若
干度则其切线即其影之长
故以甲乙为半径作圜而分
圜界者即所以求切线至于
用比例尺正切线者正以切
线分时刻也地平日晷作节
气线法法以甲乙
丙晷表之甲角与丙乙
平行作戊己线而以甲乙为
半径用比例尺
正切线比得二十三度三
十分二十二度四十分二
十度十二分十六度二十
三分十一度三十分五度
五十五分之各切线自甲
左右作识于戊己线上即
得各节气日影界【春秋分为赤道
冬至距赤道南夏至距赤道北各二十三度三十分
小寒大雪距赤道南芒种小暑距赤道北各二十二
度四十分大寒小雪距赤道南小满大暑距赤道北
各二十度十二分立春立冬距赤道南立夏立秋距
赤道北各十六度二十三分雨水霜降距赤道南谷
雨处暑距赤道北各十一度三十分惊蛰寒露距赤
道南清明白露距赤道北各五度五十五度】或
以二十三度三十分之正
切线甲戊为半径作圜将
甲乙线引长平分为四象
限用比例尺分圆线比得
十五度三十度四十五度
六十度七十五度之各圜
界又以乙戊为半径作戊
己弧而依所分甲戊小圜
界各与甲乙平行作线截
戊己弧界又自乙至戊己
各弧界作线截戊甲己线
亦即得各节气日影界【甲为
春秋分距甲十五度左为惊蛰寒露右为清明白露
距甲三十度左为雨水霜降右为谷雨处暑距甲四
十五度左为立春立冬右为立夏立秋距甲六十度
左为大寒小雪右为小满大暑距甲七十五度左为
小寒大雪右为芒种小暑】乃自乙至各
防作线与午正时刻线相
交其相交之防即午正各
节气日影界也若求未初
节气线则先以丙乙为半
径作圜又依甲乙度截午
正线于庚而以未初线与赤
道相交之辛防至庚相距之
度截圜界于壬作壬辛线乃
与壬辛取直角作癸子十字
线以壬辛为半径如前法比
得二十三度三十分等距纬
之各切线于辛左右作识于
癸子线乃自壬至各防作线
与未初时刻线相交其相交
之防即未初各节气日影界
也仿此类推则得各时刻之
各节气日影界或用捷法另
取一纸画甲乙丙表式将乙
甲乙戊乙己类各节气线俱
画长些如求未初节气线则
以丙合于晷心丙而以甲乙
春秋分线
合于未初时刻线与赤道相
交之辛防乃于各节气线与
未初时刻线相交之处俱作
防识之即得... -->>
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