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<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴
钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷三十一
末部一
借根方比例【定位法 加法 减法乘法 除法】
借根方比例
借根方者假借根数方数以求实数之法也凡法必借根借方加减乘除令与未知之数比例齐等而本数以出大意与借衰叠借略同然借衰叠借之法止可以御本部而此法则线面体诸部皆可御之其中有借根借方之不同葢因根者方之边数即所谓线以根自乘得平方以根自乘再乘得立方以根累次乘即得累次多乘方故以线类爲问者则借根数以比之以面类爲问者则借平方长方以比之以体类爲问者则借立方或累次多乘方以比之至于借数又有一定之位与降位之法【定位降位法俱详后】要之此法设立虚数依所问之比例乘除加减务令根方之数与眞数相当适等而所求之数以出此亦借数之巧也
定位法
众数之经纬尽归乘除而乘除之条理又取准于定位况借数一法又用根方诸名一经乘除俱变爲几根几方之号而本数之比例由此而生其定位与常法稍异故变从简易设表如左
右表前行所列者借数之名后行所列者定数之位其借数者即比例也根与方数俱爲相连比例率如根爲二则平方爲四立方爲八以立方与平方之比同于平方与根数之比即爲八与四之比同于四与二之比也然必借方借根者何也葢以巳知未知之数权约爲几根几方以统御之加减后余几根几方即知眞数若干矣【如根爲二数其平方即爲四若余二平方即知其真数有八或余二根即知其真数有四也】其定位者即视根方所对之位也乘法定位以两数所对之位数相加其加数所对之方即乘出之方也除法定位以两数所对之位数相减其减余数所对之方即除出之方也【乘法以眞数乘根仍得根葢根对一而眞数对○无可加也如以根乘根即得平方葢根对一一与一相加得二二所对之表爲平方故定乘得之数爲平方也如以根乘平方即得立方葢根对一平方对二一二相加得三而三所对之表爲立方故定乘得之数爲立方也又如以平方乘平方则二与二相加爲四查所对之表得三乘方以平方乘立方则二与三相加爲五查所对之表得四乘方以立方乘立方则三与三相加爲六查所对之表得五乘方余皆仿此除法以真数除根仍得根葢根对一而真数对○无可减也如以根除根即得真数葢根对一一与一相减得○而○所对之表爲眞数故定除得之数爲真数也如以根除平方即得根葢根对一平方对二一二相减余一而一所对之表爲根故定除得之数爲根数也又如以平方除平方则二与二减尽爲○查所对之表得真数以平方除立方则二与三相减余一查所对之表得根数以立方除立方则三与三相减得○查所对之表亦得真数也余皆仿此】
定多少与相同号式
凡数有多者用此号一如一平方多二根则如此列之
凡数有少者用此号一如一立方少二平方则如此列之
凡数有相等者用此号一如二立方与十六相等则如此列之
至于数之多少不齐用号各异加减乘除之后有不变者有以多变少以少变多者俱详于本法
加法
凡多与多加得数仍爲多少与少加得数仍爲少多与少加少与多加则反相减爲所得数而多数大则得数亦爲多少数大则得数亦爲少其故何也葢因多数大少数小以其所多补其所少而其所多者尚有余也少数大多数小以其所多补其所少而其所少者仍不足也多少之号定而加法不淆矣
设如有三平方多四根与二平方多三根相加问得几何
法以三平方与二平方相加得五平方四根与三根相加得七根是爲五平方多七根即所求之数也此多与多加得数仍爲多也如以数明之以根爲二则一平方爲四上数三平方得十二多四根得多八是十二多八共二十下数二平方得八多三根得多六是八多六共十四上十二与下八相加得二十即五平方之数上多八与下多六相加得十四即多七根之数葢上数共二十下数共十四两数相加得三十四即二十多十四也
设如有四立方少一平方与三立方少二平方相加问得几何
法以四立方与三立方相加得七立方一平方与二平方相加得三平方是爲七立方少三平方即所求之数也此少与少加得数仍爲少也如以数明之以平方爲九则一立方爲二十七上数四立方得一百零八少一平方得少九是一百零八少九爲九十九下数三立方得八十一少二平方得少十八是八十一少十八爲六十三上一百零八与下八十一相加得一百八十九即七立方之数上少九与下少十八相加得二十七即少三平方之数葢上数九十九下数六十三两数相加得一百六十二即一百八十九少二十七也
设如有四平方多四根与二平方少三根相加问得几何
法以四平方与二平方相加得六平方四根与三根相加应得七根今多少两数不同故于多四根内反减去少三根余一根因多数大故得数爲多是爲六平方多一根即所求之数也此多少两数不同相加所多数大以其所多补足所少而所多仍有余葢以上数多四根补足下数少三根仍多一根也如以数明之以根爲二则一平方爲四上数四平方得十六多四根得多八是十六多八共二十四下数二平方得八少三根得少六是八少六爲二上十六与下八相加得二十四即六平方之数上多八补足下少六仍余二即多一根之数葢上数二十四下数二两数相加得二十六即二十四多二也
设如有二立方少三平方与一立方多二平方相加问得几何
法以二立方与一立方相加得三立方三平方与二平方相加应得五平方今多少两数不同故于少三平方内反减去多二平方余一平方因少数大故得数爲少是爲三立方少一平方即所求之数也此多少两数不同相加所少数大以其所多补其所少而所少仍不足葢于上数少三平方内增入下数多二平方仍少一平方也如以数明之以平方爲九则一立方爲二十七上数二立方得五十四少三平方得少二十七是五十四少二十七爲二十七下数一立方得二十七多二平方得多十八是二十七多十八共四十五上五十四与下二十七相加得八十一即三立方之数上少二十七内增入下多十八仍少九即少一平方之数葢上数二十七下数四十五两数相加得七十二即八十一少九也
设如有二立方多三平方少四根与一立方多二平方少三根相加问得几何
法以二立方与一立方相加得三立方三平方与二平方相加得五平方四根与三根相加得七根是爲三立方多五平方少七根即所求之数也此三位相加多少各自相同故多与多加仍爲多少与少加仍爲少也如以数明之以根爲二则一平方爲四一立方爲八上数二立方得十六多三平方得多十二少四根得少八是十六多十二又少八爲二十下数一立方得八多二平方得多八少三根得少六是八多八又少六爲十上十六与下八相加得二十四即三立方之数上多十二与下多八相加得二十即多五平方之数上少八与下少六相加得十四即少七根之数葢上数二十下数十两数相加得三十即二十四多二十又少十四也
设如有四立方多三平方少二根多五眞数与五立方少一平方多三根少二眞数相加问得几何法以四立方与五立方相加得九立方多三平方与少一平方相减余二平方多数大故爲多少二根与多三根相减余一根多数大故爲多多五眞数与少二眞数相减余三眞数多数大故爲多是爲九立方多二平方多一根多三眞数即所求之数也此四位相加而多少各自不同须各以所多补足所少故相减所余爲所得数也如以数明之以根爲二则一平方爲四一立方爲八上数四立方得三十二多三平方得多十二少二根得少四又多眞数五是三十二多十二少四又多五爲四十五下数五立方得四十少一平方得少四多三根得多六又少眞数二是四十少四多六又少二爲四十上三十二与下四十相加得七十二即九立方之数上多十二补足下少四仍余八即多二平方之数上少四增入下多六反多二即多一根之数上多五补足下少二仍余三即多三眞数葢上数四十五下数四十两数相加得八十五即七十二多八又多二又多三也
设如有一立方多三根与一平方少一根相加问得几何
法以一立方与一平方相加得一立方多一平方多三根与少一根相减余二根多数大故爲多是爲一立方多一平方多二根即所求之数也此相加两数位分不同须各按位列号补足位分始不相淆今上层无平方位而下层却有平方位故上层列一空平方位以补之凡法皆当如此也如以数明之以根爲三则一平方爲九一立方爲二十七上数一立方得二十七多三根得多九是二十七多九共三十六下数一平方得九少一根得少三是九少三爲六上二十七与下无可加仍得二十七即一立方之数下九与上空位亦无可加仍得九即一平方之数上多九补足下少三仍余六即多二根之数葢上数三十六下数六两数相加得四十二即二十七多九又多六也
减法
凡多与多减原数大于减数则减余仍爲多少与少减原数大于减数则减余仍爲少若多与多减减数大于原数则反减而减余即变爲少葢减数之所多既大于原数之所多则原数之所多内减尽与原数之所多相等之数仍须于原数之整分内多减去所大之几何则所余之整分内即少几何矣若少与少减减数大于原数则反减而减余即变爲多葢减数之所少既大于原数之所少则原数之所少内减尽与原数之所少相等之数仍须于原数之整分内少减所大之几何故所余之整分内即多几何矣至于多与少减少与多减则反相加爲减余数而原数多则减余仍爲多原数少则减余仍爲少其故何也葢因原数多减数少则原数已多在彼而减数又少于此是所余益多也原数少减数多则原数已少在彼而减数又多于此是所余益少也多少之号明而减法不淆矣
设如有四平方多五根内减二平方多二根问所余几何
法以四平方减二平方余二平方五根减二根余三根是爲二平方多三根即所求之数也此多与多减原数大于减数故减余仍爲多也如以数明之以根爲三则一平方爲九上数四平方得三十六多五根得多十五是三十六多十五共五十一下数二平方得十八多二根得多六是十八多六共二十四上三十六内减下十八余十八即二平方之数上十五内减下六余九即三根之数葢上数共五十一下数共二十四两数相减余二十七即十八多九也
设如有四立方少三平方内减三立方少二平方问所余几何
法以四立方减三立方余一立方三平方减二平方余一平方是爲一立方少一平方即所求之数也此少与少减原数大于减数故减余仍爲少也如以数明之以平方爲九则一立方爲二十七上数四立方得一百零八少三平方得少二十七是一百零八少二十七爲八十一下数三立方得八十一少二平方得少十八是八十一少十八爲六十三上一百零八内减下八十一余二十七即一立方之数上二十七内减下十八余九即少一平方之数葢上数八十一下数六十三两数相减余十八即二十七少九也
设如有七平方多三根内减四平方多五根问所余几何
法以七平方减四平方余三平方三根内不能减五根乃于下数多五根内反减上数多三根余二根即变爲少是爲三平方少二根即所求之数也此多与多减减数大于原数故反减而减余即变爲少葢原数多三根减数多五根是减数比原数大二根如于原数三根内减去减数三根则减数仍余二根此二根必须于原数平方内减之原数既多减二根则余数即少二根也如以数明之以根爲三则一平方爲九上数七平方得六十三多三根得多九是六十三多九共七十二下数四平方得三十六多五根得多十五是三十六多十五共五十一上六十三内减下三十六余二十七即三平方之数下十五内反减上九余六即少二根之数葢上数共七十二下数共五十一两数相减余二十一即二十七少六也
设如有六平方少三根内减二平方少四根问所余几何
法以六平方减二平方余四平方三根内不能减四根乃于下数少四根内反减上数少三根余一根即变爲多是爲四平方多一根即所求之数也此少与少减减数大于原数故反减而减余即变爲多葢原数少三根减数少四根是减数比原数大一根如于原数三根内减去减数三根则减数仍余一根此一根系原数平方内所少减之一根原数既少减一根则余数即多一根也如以数明之以根爲四则一平方爲十六上数六平方得九十六少三根得少十二是九十六少十二爲八十四下数二平方得三十二少四根得少十六是三十二少十六爲十六上九十六内减下三十二余六十四即四平方之数下十六反减上十二余四即多一根之数葢上数八十四下数十六两数相减余六十八即六十四多四也
设如有三平方多四根内减二平方少一根问所余几何
法以三平方减二平方余一平方四根减一根应余三根今多少两数不同故反相加得五根因原数多故得数仍爲多是爲一平方多五根即所求之数也此多少两数不同相减原数多减数少原数已多而减数又少则所余者愈多葢原数多四根减数少一根是原数比减数已多五根故减余即爲多五根也如以数明之以根爲四则一平方爲十六上数三平方得四十八多四根得多十六是四十八多十六共六十四下数二平方得三十二少一根得少四是三十二少四爲二十八上四十八内减下三十二余十六即一平方之数上多十六加下少四得二十即多五根之数葢上数六十四下数二十八两数相减余三十六即十六多二十也
设如有五平方少二根内减三平方多三根问所余几何
法以五平方减三平方余二平方二根不能减三根且多少两数不同故反相加得五根因原数少故得数仍爲少是爲二平方少五根即所求之数也此多少两数不同相减原数少减数多原数已少减数又多则所余者愈少葢原数少二根减数多三根是原数比减数已少五根故减余即爲少五根也如以数明之以根爲五则一平方爲二十五上数五平方得一百二十五少二根得少十是一百二十五少十爲一百一十五下数三平方得七十五多三根得多十五是七十五多十五共九十上一百二十五内减下七十五余五十即二平方之数上少十加下多十五得二十五即少五根之数葢上数一百一十五下数九十两数相减余二十五即五十少二十五也
设如有四立方多六平方内减二立方多三平方多三根问所余几何
法以四立方减二立方余二立方六平方减三平方再减三根余三平方少三根是爲二立方多三平方少三根即所求之数也此相减两数位分不同须各按位列号补足位分始不相淆今上层无根位而下层却有根位故上层作一空根位以补之是原根位无数而减数多三根故所余即少三根也如以数明之以根爲二则一平方爲四一立方爲八上数四立方得三十二多六平方得多二十四是三十二多二十四共五十六下数二立方得十六多三平方得多十二多三根得多六是十六多十二又多六爲三十四上三十二内减下十六余十六即二立方之数上二十四内减下十二余十二即三平方之数下六无可减仍爲六即少三根之数葢上数五十六下数三十四两数相减余二十二即十六多十二又少六也
设如有五立方多四平方多三根少八眞数内减四立方多二平方多二根少九眞数问所余几何法以五立方减四立方余一立方四平方减二平方余二平方多与多减原数大故爲多多三根减二根余一根多与多减原数大故爲多八眞数不能减九眞数乃于下数少九内反减上数少八余一即变爲多是爲一立方多二平方多一根多一眞数即所求之数也如以数明之以根爲三则一平方爲九一立方爲二十七上数五立方得一百三十五多四平方得多三十六多三根得多九又少眞数八是一百三十五多三十六又多九又少八爲一百七十二下数四立方得一百零八多二平方得多十八多二根得多六又少眞数九是一百零八多十八又多六又少九爲一百二十三上一百三十五内减下一百零八余二十七即一立方之数上三十六内减下十八余十八即多二平方之数上九内减下六余三即多一根之数下九反减上八余一即多一眞数葢上数一百七十二下数一百二十三两数相减余四十九即二十七多十八又多三又多一也
设如有二立方多三根内减一平方少一根问所余几何
法以二立方减一平方余二立方少一平方三根减一根应余二根今多少两数不同故反相加得四根因原数多故得数仍爲多是爲二立方少一平方多四根即所求之数也如以数明之以根爲三则一平方爲九一立方爲二十七上数二立方得五十四多三根得多九是五十四多九共六十三下数一平方得九少一根得少三是九少三爲六上五十四无可减仍爲五十四即二立方之数下九无可减仍爲九即少一平方之数上多九与下少三相加得十二即多四根之数葢上数六十三下数六两数相减余五十七即五十四少九又多十二也
乘法
凡乘法各按位分上下横列自末位起逐位遍乘与常法同其书乘出之数以类相从【如乘出之数爲根俱书于根之下乘出之数爲平方俱书于平方之下皆依定位表例】其定多少之号则临期互有转移葢法实俱止一位者其乘出之数爲多不必言矣法实不止一位俱系多者【如几平方多几根或几根多几眞数又或几平方多几根又多几眞数之类】其乘出之数亦俱爲多葢以多乘多则多者益多也法实两数俱系少者其爲首一位已系整数爲多【如几平方少几根或几根少几眞数或几平方少几根又少几眞数之类】故乘出之数则有多少之分如爲首一位相乘系多与多乘其乘出之数爲多而次位爲少者与首位乘是爲少与多乘或首位与次位爲少者乘是爲多与少乘则其乘出之数俱爲少葢少与多乘多与少乘则少者益少而得数固少也【如防平方少几根与几眞数相乘以眞数乘平方即爲多与多乘以眞数乘根即爲多与少乘也】至于少与少乘其乘出之数反变爲多【如几立方少几平方与几根少几眞数相乘以眞数乘平方即爲少与少乘也】其故何也葢法实首位爲多次位以后爲少则乘出之数首位内少次位之数必多末位之数须于乘出首位数中减去次位之数加入末位之数始与实数相合【除首位上下两整数相乘以后次位皆系少与少乘爲多而次位对首位乘必爲少与多乘或多与少乘则此两数俱爲少合之爲首位数内少次位之数而多末位之数葢因次位所少数内有两分末位之数首位数内... -->>
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