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钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷二十九
体部七
各等面体互容
更体形
各等面体互容
设如正方体每边一尺二寸求内容四面体之每一边几何
法以正方体每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸倍之得二尺八十八寸开平方得一尺六寸九分七厘零五丝六忽二微有余即正方体内容四面体之每一边也如图甲乙丙丁正方体内容丁甲戊己四面体以四面体之六棱切于正方体之六面则四面体之每一边即为正方体之每一面之对角斜线故用方边求斜?之法以一边自乗倍之开平方即得内容四面体之每一边也如有四面体之一边求外切正方体之一边则用斜?求方边法以四面体之一边自乗折半开平方即得外切正方体之每一边也
设如正方体每边一尺二寸求内容八面体之每一边几何
法以正方体每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸折半得七十二寸开平方得八寸四分八厘五豪二丝八忽一微有余即正方体内容八面体之每一边也如图甲乙丙丁正方体内容戊己庚辛壬癸八面体以八面体之六角切于正方体之六面则正方体之每一边即与内容八面体之对角斜线等【甲乙与戊庚等】故用斜?求方边之法以一边自乗折半开平方即得内容八面体之每一边也如有八面体之一边求外切正方体之一边则用方边求斜?法以八面体之一边自乗加倍开平方即得外切正方体之每一边也
设如正方体每边一尺二寸求内容十二面体之每一边几何
法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为一率小分三八一九六六○一为二率今所设之正方体每边一尺二寸为三率求得四率四寸五分八厘三豪五丝九忽二微有余即正方体内容十二面体之每一边也如图甲乙丙丁正方体内容戊己庚辛壬癸十二面体以十二面体之六棱切于正方体之六面则方正体之每边与十二面体之两边相对之线等【即十二面体中心至每边正中之斜线之倍】而正方体之每边之半即为十二面体中心至每边正中之斜线试将十二面体之正中截之则成十等边之面形而其所截之处皆正当每边之一半故其所截之子丑等线亦为戊己两角相对斜线之一半而为十等边形之一边其子寅外切圜之半径为中心至每边正中之斜线即正方体每边之一半子寅即如理分中末线之全分子丑即如理分中末线之大分而戊子每边之半即如理分中末线之小分【见球内容十二面体法】故全分与小分之比同于今所设之正方体每边之半与内容十二面体每边之半之比即同于今所设之正方体之一边与内容十二面体之一边之比也如有十二面体之一边求外切正方体之一边则以十二面体之一边为理分中末线之小分比例得全分即外切正方体之每一边也
设如正方体每边一尺二寸求内容二十面体之每一边几何
法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为一率大分六一八○三三九九为二率今所设之正方体每边一尺二寸为三率求得四率七寸四分一厘六豪四丝零七微有余即正方体内容二十面体之每一边也如图甲乙丙丁正方体内容戊己庚辛壬癸二十面体以二十面体之六棱切于正方体之六面则正方体之每边与二十面体之两边相对之线等即二十面体戊庚两角相对之斜线试自二十面体之戊庚二角类对角平截之则所截之面成戊己庚子丑五等边之面形戊庚两角相对斜线即如理分中末线之全分庚子【与己庚等】一边即如理分中末线之大分【见球内容二十面体法】故全分与大分之比即同于今所设之正方体之毎一边与内容二十面体之每一边之比也如有二十面体之一边求外切正方体之一边则以二十面体之一边为理分中末线之大分比例得全分即外切正方体之每一边也
设如四面体毎边一尺二寸求内容正方体之每一边几何
法以四面体每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸三归二因得九十六寸开平方得九寸七分九厘七豪九丝五忽八微有余为四面体自尖至底中心之立垂线折半得四寸八分九厘八豪九丝七忽九微有余为四面体内容圆【之】
球全径乃用 【一】求球内容正方体之每一边法以球径自乗三归开平方得二寸八分二厘八豪四丝二忽七微有余即四面体内容正方体之每一边也如图甲乙丙四面体内容丁戊己庚辛壬正方体以正方体之丁己辛癸四角切于四面体各面之中心则四面体中心至每一面中心之立垂线即正方体中
心至角之斜线四面体内 【边】容圆球径
即正方体 【也】外切圆球径故先求得四面体内容圆球径又求得球内容正方体之一边即四面体内容正方体又法以四面体每边一尺二寸自乗得一百四十四寸以十八归除之得八寸开平方得二寸八分二厘八豪四丝二忽七微有余即四面体内容正方体之每一边也此法与前法同盖四面体之自尖至底中心之立垂线自乗方为每边自乗方之三分之二【之每一即六】内容圆球径为立垂线之一半【分之四见球外切四】则内
容圆 【面】球径自乗方为立垂线自乗方之四分之一即为毎边自乗方之六分
之一而 【体】圆球内容正方体之每边自
乗方又 【法】为圆球径自乗方之三分之一故内容正方体之每边自乗方为四面体之每边自乗方之十八分之一也如有正方体之一边求外切四面体之一边则以正方体之毎边自乗以十八乗之开平方即得外切四面体之每
一边也设如四面体每边一尺二寸求内容八面体边几何
法以四面体每边一尺二寸折半得六寸即四面体内容八面体之每一边也如图甲乙丙四面体内容丁戊己庚辛壬八面体以八面体之四面切于四面体之各面以八面体之六角切于四面体之六棱其各角皆当各棱之一半故内容八面体之毎边亦为四面体每边之一半也如有八面体之一边求外切四面体之一边则以八面体之一边倍之即得外切四面体之每一边也
设如四面体每边一尺二寸求内容十二面体之每一边几何
法以四面体每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸三归二因得九十六寸开平方得九寸七分九厘七豪九丝五忽八微有余为四面体自尖至底中心之立垂线折半得四寸八分九厘八毫九丝七忽九微有余为四面体内容圆【面】
球全径乃用 【体】求球内容十二面体之一边法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为股小分三八一九六六一为勾求得?一○七○四六六二六为一率小分三八一九六六○一
为二率今所得 【内】之圆球径四寸八分九厘八豪九丝七忽九微为三率求得四率一寸七分四厘八豪零三忽九微有余即四面体内容十二面体之每一边也如图甲乙丙四面体内容丁戊己庚辛壬十二面体以十二面体之戊庚壬癸四角切于四面体各面之中心则四面体中心至毎一面中心之立垂线即十二面中心至各角之斜线四面体
【容】内容圆球径即十二面 【十】体外切圆
球径故先求得四面体内容圆球径又求得球内容十二面体之每一边即四二面体之每一边也如有十二面体之一边求外切四面体之每一边则先求得十二面体外切圆球径又求得球外切四面体之每一边即十二面体外切四面体之每一边也
设如四面体每边一尺二寸求内容二十面体之每
一边几何
法以四面体毎边一尺二寸求得内容
圆 【丝】球全径四寸八分九厘八豪九丝
七忽九微有【六忽法见】余乃用 【前】求球外切二十面体之一边法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为一率小分三八一九六六○一为二率今所得
【题】之圆球全径折半得半径二寸四分
四厘九豪四丝八忽有微有余为三率求得四率九分三厘五豪六丝二忽一微有余为二十面体毎一面中心至边之垂线三因之得二寸八分零六豪八三微有余为二十面体每一面自角至对边之垂线自乘三归四因开平方得三寸二分五厘二豪六丝三忽三微有余即四面体内容二十面体之每一边也如图甲乙丙四面体内容丁戊己庚辛壬二十面体以二十面体之丁戊癸己庚子丑丑辛寅卯辰之四面切于四面体各面之中心则四面体中心至每一面中心之立垂线即二十面体中心至每一面中心之立垂线四面体内容
圆 【面】球径即二十面体内容 【体】圆球径
故先求得四面体内 【之】容圆球径 【一】又求得球外切二十面体之一边即四面体内容二十面体之一边也如有二十面体之一边求外切四面体之一边则
求得二十面 【边】体内容圆 【也】球径又求得球外切四面体之一边即二十面体外切四
设如八面体每边一尺二寸求内容正方体之每一边几何
法以每边一尺二寸三归之得四寸自乘得一十六寸倍之得三十二寸开平方得五寸六分五厘六豪八丝六忽四微有余即八面体内容正方体之每一边也如图甲乙丙丁八面体内容戊己庚辛正方体以正方体之八角切于八面体各面之中心试自八面体之壬角至对边作壬癸一面中垂线又自一面中心辛与甲丁边平行作子丑线则壬辛为壬癸三分之二子丑亦为甲丁三分之二辛丑即为甲丁三分之一与丑庚等辛丑丑庚与内容正方体之辛庚一边遂成辛丑庚勾股形辛丑既与丑庚等故以辛丑自乘倍之开平方即得辛庚为八面体内容正方体之每一边也如有正方体之一边求外切八面体之一边则以正方体之一边自乘折半开平方得数三因之即外切八面体之一边也
设如八面体每边一尺二寸求内容四面体之每一边几何
八面体之每边即内容四面体之每一边也何以知之盖甲乙丙丁八面体内容戊乙丙己四面体以乙丙己底面合于八面体之一面则上尖戊切于八面体甲庚丁一面之中心【其戊乙边恰与乙丙边等】故八面体之每一边即内容四面体之每一边也
设如八面体每边一尺二寸求内容十二面体之每一边几何
法以八面体每边一尺二寸自乘得一尺四十四寸三归二因得九十六寸开平方得九寸七分九厘七豪九丝五忽八微有余为八面体内容圆球全径乃
用求 【体】球内容十二面体之一边法以全径自乘三归开平方得五寸六分五厘六豪八丝五忽四微有余为十二面体每一面两角相对斜线又以理分中末线之全分一○○○○○○○○为一率大分六一八○三三九九为二率今所得之每一面两角相对斜线为三率求得四率三寸四分九厘六豪一丝二忽八微有余即八面体内容十二面体之每一边也如图甲乙丙丁八面体内容戊己庚辛十二面体以十二面体之戊己庚辛壬癸子丑八角切于八面体各面之中心则八面体中心至每面中心之立垂线即内容十二面体中心
至各角之斜线八面体内容 【之】圆球径
即十二面体外 【一】切圆球径故先求得八面体内容圆球径又求得球内容十二面体之一边即八面体内容十二面边也如有十二面体之一边求外切八面体之一边则先求得十二面体外切圆球径又求得球外切八面体之一边即十二面体外切八面体之一边也
设如八面体每边一尺二寸求内容二十面体之每一边几何
法以八面体毎边一尺二寸自乘得一尺四十四寸六归之得二十四寸开平方得四寸八分九厘八豪九丝七忽九
微有余为八面体内容圆 【豪】球半径乃
用 【七】求球外切二十面体之一边法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为一率小分三八一九六六○一
为二率今所得 【丝】之圆球半径四寸八分九厘八豪九丝七忽九微为三率求得四率一寸八分七厘一豪二丝四忽三微有余为二十面体毎一面中心至边之垂线三因之得五寸六分一厘三二忽九微有余为毎一面自角至对边之垂线自乗三归四因开平方得六寸四分八厘二豪一丝七忽五微有余即八面体内容二十面体之每一边也如图甲乙丙丁八面体内容戊己庚辛壬癸二十面体以二十面体之戊丑子丑庚寅寅辛壬子壬癸戊己卯己庚辰己辰辛卯巳癸八面切于八面体各面之中心则八面体中心至每面中心之立垂线即内容二十面体中心至每面中
心之立垂线八面体内容圆 【之】球径即
二十面体内容 【一】圆球径故先求得八
面体内 【边】容圆球径 【也】又求得球外切二十面体之一边即八面体内容二十面体之一边也如有二十面体之一边求外切八面体之一边则先求得二十面体内客圆球径又求得球外切八面体之一边即二十面体外切八面体
设如十二面体每边一尺二寸求内容正方体之每一边几何
法以理分中末线之大分六一八○三三九九为一率全分一○○○○○○○○为二率今所设之十二面体每边一尺二寸为三率求得四率一尺九寸四分一厘六豪四丝零七微有余即十二面体内容正方体之每一边也如图甲乙丙丁戊己十二面体内容庚乙辛丁壬己正方体以正方体之十二棱切于十二面体之各面则正方体之每一边即十二面体之每一面两角相对斜线故用五等边面形有边求对角斜线法算之即得十二面体内容正方体之每一边也如有正方体之一边求外切十二面体之一边则正方体之一边即外切十二面体之每一面两角相对斜线用五等边面形有对角斜线求边法算之即得正方体外切十二面体之一边也
设如十二面体每边一尺二寸求内容四面体之每一边几何
法以十二面体每边一尺二寸用求十
二面体外切圆 【寸】球径法以理分中末线之小分三八一九六六○一为一率全分一○○○○○○○○为二率今所设之十二面体每边一尺二寸折半得六寸为三率求得四率一尺五寸七分零八豪二丝零三微有余为十二面体中心至每边正中之斜线以此斜线为股每边之半六寸为勾求得?一尺六寸八分一厘五豪一丝零二微有余倍之得三尺三寸六分三厘零二丝零
四微有余为十二面体外切 【四】圆球全径乃用求球内容四面体之一边法以球径自乗三归二因开平方得二尺七分五厘八豪九丝四忽六微有余即十二面体内容四面体之每一边也如图甲乙丙丁戊己十二面体内客庚辛壬癸四面体以四面体之四角切于十二面体之四角则十二面体中心至各角之... -->>
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