卷二十二 (1/2)

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    <子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴

    钦定四库全书

    御制数理精蕴卷二十二

    面部十二

    各等边形

    更面形

    各等边形

    设如五等边形每边一尺二寸问面积防何

    法以全圜三百六十度五分之每分得七十二度折半得三十六度爰以三十六度之正?五万八千七百七十九为一率半径十万为二率今所设之五等边形之每边一尺二寸折半得六寸为三率求得四率一尺零二分零七豪七丝二忽有余为五等边形外切圜之半径或用求圜内容五等边形之一边之定率比例以定率之圜内容五等边形之每边五八七七八五二五为一率圜径一○○○○○○○○为二率今所设之五等边形之每边一尺二寸为三率求得四率二尺零四分一厘五豪六丝一忽有余折半得一尺零二分零七豪八丝有余为五等边形外切圜之半径乃以此半径为?五等边形之每边折半为勾求得股八寸二分五厘八豪二丝七忽有余为五等边形之中心至每边正中之垂线或以三十六度之正?五万八千七百七十九为一率三十六度之余?八万零九百零二为二率今所设之五等边形之每边之半六寸为三率求得四率八寸二分五厘八豪二丝五忽有余为五等边形之中心至每边正中之垂线既得此垂线乃与每边折半之数相乗得四十九寸五十四分九十厘有余五因之得二尺四十七寸七十四分五十厘有余即五等边形之面积也如图甲乙丙丁戊五等边形试作一外切圜形则每边之弧皆为七十二度将甲乙边折半于己自圜心庚作庚己辛半径线遂平分甲乙弧于辛则甲辛弧为三十六度甲己即三十六度之正?庚己即三十六度之余?是故三十六度之正?与半径十万之比即如今所设之每边之半甲己与所得之半径甲庚之比又三十六度之正?与三十六度之余?之比即如今所设之每边之半甲己与所得之垂线庚己之比也【此即圜内容五等边形之法而转用之也】

    又法以三十六度之正切七万二千六百五十四为一率半径十万为二率今所设之五等边形之每边之半六寸为三率求得四率八寸二分五厘八豪三丝二忽有余为五等边形内容圜之半径或用求圜外切五等边形之一边之定率比例以定率之圜外切五等边形之每边七二六五四二五二为一率圜径一○○○○○○○○为二率今所设之五等边形之每边一尺二寸为三率求得四率一尺六寸五分一厘六豪五丝八忽有余折半得八寸二分五厘八豪二丝九忽有余为五等边形内容圜之半径即五等边形之中心至每边正中之垂线乃与每边折半之数相乗五因之得二尺四十七寸七十四分八十七厘有余为五等边形之面积也如图甲乙丙丁戊五等边形试作一内容圜形自甲角过圜心己作甲己庚线遂平分丙丁边于庚则丙庚即三十六度之正切故以三十六度之正切与半径十万之比同于今所设之每边之半丙庚与所得之内容圜半径己庚之比也【此即圜外切五等边形之法而转用之也】

    又法用连比例三率有中率求末率之法以每边一尺二寸为中率求得末率七寸四分一厘六豪四丝有余【中率求末率即如首率求中率也】乃以末率与中率相加得一尺九寸四分一厘六豪四丝有余为首率即五等边形两角相对之斜线乃以此斜线为?每边之半为勾求得股一尺八寸四方六厘六豪零九忽有余为五等边形中心至每边正中之垂线与分角线之和【即五等边形自一角至每边正中之垂线】复以此垂线为首率每边之半为中率求得末率一寸九分四厘九豪五丝二忽为五等边形中心至每边正中之垂线与分角线之较乃以此较数与先所得和数相加得二尺零四分一厘五豪六丝一忽有余折半得一尺零二分零七豪八丝有余为五等边形之分角线【即五等边形外切圜之半径】仍以此较数与先所得和数相减得一尺六寸五分一厘六豪五丝七忽有余折半得八寸二分五厘八豪二丝八忽有余为五等边形中心至每边正中之垂线【即五等边形内容圜之半径】乃以此垂线与每边之半相乗五因之得二尺四十七寸七十四分八十四厘有余即五等边形之面积也如图甲乙丙丁戊五等边形巳为五等边形之中心试自甲角至丙丁二角作甲丙甲丁二线成甲丙丁三角形又自丁角至乙角作丁乙线截甲丙线于庚则又成丁庚丙三角形此两三角形为同式形故甲丙线为首率【即理分中末线之全分】丙丁边为中率【即理分中末线之大分】而所截之甲庚一段与丙丁边等亦为中率庚丙一段即为末率【即理分中末线之小分】其比例为甲丙首率与丙丁中率之比即同于丙丁中率与庚丙末率之比故按连比例三率有中率求末率之法求得庚丙末率与甲庚中率相加即得甲丙首率为两角相对斜线爰用甲丙斜线为?丙辛每边之半为勾求得用辛股为己辛中心至边之垂线与甲己分角线之和既得甲辛线则用连比例有首率中率求末率之法以甲辛为首率丙辛为中率求得辛壬末率即己辛中心至边之垂线与甲己分角线之较既得辛壬与甲辛相加折半得甲己即分角线又为五等边形外切圜之半径以辛壬与甲辛相减折半得己辛即中心至每边之垂线又为五等边形内容圜之半径既得己辛垂线与丙丁每边之半丙辛相乗得己丙丁一三角形之面积五倍之即五等边形之面积也

    又既得五等边形两角相对之斜线与自一角至每边正中之垂线求面积捷法以所得末率七寸四分一厘六豪四丝有余加每边之半六寸得一尺三寸四分一厘六豪四丝有余与自一角至每边正中之垂线一尺八寸四分六厘六豪零九忽有余相乗得二尺四十七寸七十四分八十四厘有余即五等边形之面积也如图甲乙丙丁戊五等边形自甲角至丙丁二角作甲丙甲丁二线遂成甲丙丁甲乙丙甲戊丁三三角形又自甲至己作甲己垂线则甲己垂线与丙己每边之半相乗即得甲丙丁三角形面积又自乙角至甲丙线上作乙庚垂线则乙庚垂线与甲丙斜线相乗即得甲乙丙甲戊丁两三角形之共面积然无乙庚之数今试自丁角至乙角作丁乙斜线截甲丙斜线于辛则甲辛与丁辛等俱为中率乙辛与辛丙等俱为末率又成乙辛庚勾股形与甲丙己勾股形为同式形【丁辛丙三角形之辛角原与丙角等而与乙辛庚勾股形之辛角为对角其度亦等庚角与己角又同为直角其余一角亦必等所以为同式形】故甲丙为一率甲己为二率乙辛为三率乙庚为四率凡二率三率相乗与一率四率相乗之数等今以甲己垂线与乙辛末率相乗必与乙庚垂线与甲丙斜线相乗之积等是即甲乙丙甲戊丁两三角形之共积矣故以乙辛末率与丙己每边之半相加而与甲己垂线相乗即得甲乙丙丁戊五等边形之面积也

    又法用边线相等面积不同之定率比例以定率之正方面积一○○○○○○○○为一率五等边形面积一七二○四七七四一为二率今所设之五等边形之每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸为三率求得四率二尺四十七寸七十四分八十七厘有余即五等边形之面积也葢五等边形之每一边为一○○○○则其自乗之正方面积为一○○○○○○○○而五等边形之每一边一○○○○所得之五等边形面积为一七二○四七七四一故以子丑寅卯辰五等边形之寅卯一边一○○○○自乗之寅卯己午正方面积一○○○○○○○○与子丑寅卯辰五等边形面积一七二○四七七四一之比即同于今所设之甲乙丙丁戊五等边形之每一边一尺二寸自乗之丙丁己庚正方面积一尺四十四寸与今所得之甲乙丙丁戊五等边形面积二尺四十七寸七十四分八十七厘有余之比也

    又法用面积相等边线不同之定率比例以定率之五等边形之每边七六二三八七○五为一率正方形之每边一○○○○○○○○为二率今所设之五等边形之每边一尺二寸为三率求得四率一尺五寸七分四厘零三忽有余为与五等边形面积相等之正方形每边之数自乗得二尺四十七寸七十四分八十五厘有余即五等边形之面积也葢五等边形之每边为七六二三八七○五正方形之每边为一○○○○○○○○则两面积相等故以子丑寅卯辰五等边形之寅卯一边七六二三八七○五与己午未申正方形之午未一边一○○○○○○○○之比即同于今所设之甲乙丙丁戊五等边形之丙丁一边一尺二寸与今所得之己庚辛壬正方形之庚辛一边一尺五寸七分四厘零三忽有余之比既得庚辛一边自乗得己庚辛壬正方面积即与甲乙丙丁戊五等边形之面积为相等也

    如有五等边形之面积二尺四十七寸七十四分八十七厘求每边之数则用边线相等面积不同之定率比例以定率之五等边形之面积一七二○四七七四一为一率正方形之面积一○○○○○○○○为二率今所设之五等边形之面积二尺四十七寸七十四分八十七厘为三率求得四率一尺四十四寸开方得一尺二寸即五等边形之每一边也此法葢因五等边形之每边与正方形之每边相等五等边形之面积与正方形之面积不同故先定为面与面之比例既得面积而后开方得线也

    又法用面积相等边线不同之定率比例以定率之正方形之每边一○○○○○○○○为一率五等边形之每边七六二三八七○五为二率今所设之五等边形之面积二尺四十七寸七十四分八十七厘开方得一尺五寸七分四厘零三忽有余为三率求得四率一尺二寸即五等边形之每一边也此法葢因五等边形之面积与正方形之面积相等五等边形之每边与正方形之每边不同故以五等边形之面积先开方既得方边而后为线与线之比例也

    设如六等边形每边一尺二寸问面积几何

    法因六等边形之每边与分角线【即六等边形外切圜之半径】相等故即以每边一尺二寸为?每边之半六寸为勾求得股一尺零三分九厘二豪三丝有余为六等边形中心至每边正中之垂线【即六等边形内容圜之半径】乃以此垂线与每边之半相乗六因之得三尺七十四寸一十二分二十八厘有余即六等边形之面积也如图甲乙丙丁戊己六等边形庚为六等边形之中心其庚丙分角线与丙丁类每边等故以庚丙为?每边之半丙辛为勾求得庚辛股即六等边形中心至每边正中之垂线既得垂线与丙丁之半丙辛相乗得庚丙丁一三角形面积六倍之即六等边形之面积也

    又法用边线相等面积不同之定率比例以定率之正方面积一○○○○○○○○为一率六等边形面积二五九八○七六二○为二率今所设之六等边形之每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸为三率求得四率三尺七十四寸一十二分二十九厘有余即六等边形之面积也葢六等边形之每一边为一○○○○则其自乗之正方面积为一○○○○○○○○而六等边形之每一边一○○○○所得之六等边形面积为二五九八○七六二○故以子丑寅卯辰己六等边形之寅卯一边一○○○○自乗之寅卯午未正方面积一○○○○○○○○与子丑寅卯辰己六等边形面积二五九八○七六二○之比即同于今所设之甲乙丙丁戊己六等边形之每一边一尺二寸自乗之丙丁庚辛正方面积一尺四十四寸与今所得之甲乙丙丁戊己六等边形面积三尺七十四寸一十二分二十九厘有余之比也

    又法用面积相等边线不同之定率比例以定率之六等边形之每边六二○四○三二四为一率正方形之每边一○○○○○○○○为二率今所设之六等边形之每边一尺二寸为三率求得四率一尺九寸三分四厘二豪二丝五忽有余为与六等边形面积相等之正方形每边之数自乗得三尺七十四寸一十二分二十六厘有余即六等边形之面积也葢六等边形之每边为六二○四○三二四正方形之每边为一○○○○○○○○则两面积相等故以子丑寅卯辰己六等边形之寅卯一边六二○四○三二四与午未申酉正方形之未申一边一○○○○○○○○之比即同于今所设之甲乙丙丁戊己六等边形之丙丁一边一尺二寸与今所得之庚辛壬癸正方形之辛壬一边一尺九寸三分四厘二豪二丝五忽有余之比既得辛壬一边自乗得庚辛壬癸正方面积即与甲乙丙丁戊己六等边形之面积为相等也

    如有六等边形之面积三尺七十四寸一十二分二十九厘求每边之数则用边线相等面积不同之定率比例以定率之六等边形之面积二五九八○七六二○为一率正方形之面积一○○○○○○○○为二率今所设之六等边形之面积三尺七十四寸一十二分二十九厘为三率求得四率一尺四十四寸开方得一尺二寸即六等边形之每一边也此法葢因六等边形之每边与正方形之每边相等六等边形之面积与正方形之面积不同故先定为面与面之比例既得面积而后开方得线也

    又法用面积相等边线不同之定率比例以定率之正方形之每边一○○○○○○○○为一率六等边形之每边六二○四○三二四为二率今所设之六等边形之面积三尺七十四寸一十二分二十九厘开方得一尺九寸三分四厘二豪二丝五忽有余为三率求得四率一尺二寸即六等边形之每一边也此法葢因六等边形之面积与正方形之面积相等六等边形之每边与正方形之每边不同故以六等边形之面积先开方既得方边而后为线与线之比例也

    设如七等边形每边一尺二寸问面积几何

    法以全圜三百六十度七分之每分得五十一度二十五分四十二秒有余折半得二十五度四十二分五十一秒有余爰以二十五度四十二分五十一秒有余之正?四万三千三百八十八为一率半径十万为二率今所设之七等边形之每边一尺二寸折半得六寸为三率求得四率一尺三寸八分二厘八豪七丝有余为七等边形外切圜之半径或用求圜内容七等边形之一边之定率比例以定率之圜内容七等边形之每边四三三八八三七四为一率圜径一○○○○○○○○为二率今所设之七等边形之每边一尺二寸为三率求得四率二尺七寸六分五厘七豪一丝七忽有余折半得一尺三寸八分二厘八豪五丝八忽有余为七率边形外切圜之半径乃以此半径为?七等边形之每边折半为勾求得股一尺二寸四分五厘九豪二丝五忽有余为七等边形之中心至每边正中之垂线或以二十五度四十二分五十一秒有余之正?四万三千三百八十八为一率二十五度四十二分五十一秒有余之余?九万零九十七为二率今所设之七等边形之每边之半六寸为三率求得四率一尺二寸四分五厘九豪二丝五忽有余为七等边形之中心至每边正中之垂线既得此垂线乃与每边折半之数相乗得七十四寸七十五分五十五厘有余七因之得五尺二十三寸二十八分八十五厘有余即七等边形之面积也如图甲乙丙丁戊己庚七等边形试作一外切圜形则每边之弧皆为五十一度二十五分四十二秒有余将甲乙边折半于辛自圜心壬作壬辛癸半径线遂平分甲乙弧于癸则甲癸弧为二十五度四十二分五十一秒有余甲辛即二十五度四十二分五十一秒有余之正?壬辛即二十五度四十二分五十一秒有余之余?是故二十五度四十二分五十一秒有余之正?与半径十万之比即如今所设之每边之半甲辛与所得之半径甲壬之比又二十五度四十二分五十一秒有余之正?与二十五度四十二分五十一秒有余之余?之比即如今所设之每边之半甲辛与所得之垂线壬辛之比也【此即圜内容七等边形之法而转用之也】

    又法以二十五度四十二分五十一秒有余之正切四万八千一百五十七为一率半径十万为二率今所设之七等边形之每边之半六寸为三率求得四率一尺二寸四分五厘九豪二丝四忽有余为七等边形内容圜之半径或用求圜外切七等边形之一边之定率比例以定率之圜外切七等边形之每边四八一五七四六二为一率圜径一○○○○○○○○为二率今所设之七等边形之每边一尺二寸为三率求得四率二尺四寸九分一厘八豪二丝五忽有余折半得一尺二寸四分五厘九豪一丝二忽有余为七等边形内容圜之半径即七等边形之中心至每边正中之垂线乃与每边折半之数相乗七因之得五尺二十三寸二十八分三十厘有余即七等边形之面积也如图甲乙丙丁戊己庚七等边形试作一内容圜形自甲角过圜心辛作甲辛壬线遂平分丁戊边于壬则丁壬即二十五度四十二分五十一秒有余之正切故以二十五度四十二分五十一秒有余之正切与半径十万之比同于今所设之每边之半丁壬与所得之内容圜半径辛壬之比也【此即圜外切七等边形之法而转用之也】又法用边线相等面积不同之定率比例以定率之正方面积一○○○○○○○○为一率七等边形面积三六三三九一二四○为二率今所设之七等边形之每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸为三率求得四率五尺二十三寸二十八分三十三厘有余即七等边形之面积也葢七等边形之每一边为一○○○○则其自乗之正方面积为一○○○○○○○○而七等边形之每一边一○○○○所得之七等边形面积为三六三三九一二四○故以子丑寅卯辰己午七等边形之卯辰一边一○○○○自乗之卯辰未申正方面积一○○○○○○○○与子丑寅卯辰己午七等边形面积三六三三九一二四○之比即同于今所设之甲乙丙丁戊巳庚七等边形之每一边一尺二寸自乗之丁戊辛壬正方面积一尺四十四寸与今所得之甲乙丙丁戊己庚七等边形面积五尺二十三寸二十八分三十三厘有余之比也

    又法用面积相等边线不同之定率比例以定率之七等边形之每边五二四五八一二六为一率正方形之每边一○○○○○○○○为二率今所设之七等边形之每边一尺二寸为三率求得四率二尺二寸八分七厘五豪三丝八忽有余为与七等边形面积相等之正方形每边之数自乗得五尺二十三寸二十八分三十厘有余即七等边形之面积也葢七等边形之每边为五二四五八一二六正方形之每边为一○○○○○○○○则两面积相等故以子丑寅卯辰己午七等边形之卯辰一边五二四五八一二六与未申酉戌正方形之申酉一边一○○○○○○○○之比即同于今所设之甲乙丙丁戊己庚七等边形之丁戊一边一尺二寸与今所得之辛壬癸干正方形之壬癸一边二尺二寸八分七厘五豪三丝八忽有余之比既得壬癸一边自乗得辛壬癸干正方面积即与甲乙丙丁戊己庚七等边形之面积为相等也

    如有七等边形之面积五尺二十三寸二十八分三十三厘求每边之数则用边线相等面积不同之定率比例以定率之七等边形之面积三六三三九一二四○为一率正方形之面积一○○○○○○○○为二率今所设之七等边形之面积五尺二十三寸二十八分三十三厘为三率求得四率一尺四十四寸开方得一尺二寸即七等边形之每一边也此法葢因七等边形之每边与正方形之每边相等七等边形之面积与正方形之面积不同故先定为面与面之比例既得面积而后开方得线也

    又法用面积相等边线不同之定率比例以定率之正方形之每边一○○○○○○○○为一率七等边形之每边五二四五八一二六为二率今所设之七等边形之面积五尺二十三寸二十八分三十三厘开方得二尺二寸八分七厘五豪三丝八忽有余为三率求得四率一尺二寸即七等边形之每一边也此法葢因七等边形之面积与正方形之面积相等七等边形之每边与正方形之每边不同故以七等边形之面积先开方既得方边而后为线与线之比例也

    设如八等边形每边一尺二寸问面积几何

    法以全圜三百六十度八分之每分得四十五度折半得二十二度三十分爰以二十二度三十分之正?三万八千二百六十八为一率半径十万为二率今所设之八等边形之每边一尺二寸折半得六寸为三率求得四率一尺五寸六分七厘八豪八丝九忽有余为八等边形外切圜之半径或用求圜内容八等边形之一边之定率比例以定率之圜内容八等边形之每边三八二六八三四三为一率圜径一○○○○○○○○为二率今所设之八等边形之每边一尺二寸为三率求得四率三尺一寸三分五厘七豪五丝一忽有余折半得一尺五寸六分七厘八豪七丝五忽有余为八等边形之切圜之半径乃以此半径为?八等边形之每边折半为勾求得股一尺四寸四分八厘五豪二丝七忽有余为八等边形之中心至每边正中之垂线或以二十二度三十分之正?三万八千二百六十八为一率二十二度三十分之余?九万二千三百八十八为二率今所设之八等边形之每边之半六寸为三率求得四率一尺四寸四分八厘五豪四丝一忽有余为八等边形之中心至每边正中之垂线既得此垂线乃与每边折半之数相乗得八十六寸九十一分二十四厘有余八因之得六尺九十五寸二十九分九十二厘有余即八等边形之面积也如图甲乙丙丁戊己庚辛八等边形试作一外切圜形则每边之弧皆为四十五度将甲乙边折半于壬自圜心癸作癸壬子半径线遂平分甲乙弧于子则甲子弧为二十二度三十分甲壬即二十二度三十分之正?癸壬即二十二度三十分之余?是故二十二度三十分之正?与半径十万之比即如今所设之每边之半甲壬与所得之半径甲癸之比又二十二度三十分之正?与二十二度三十分之余?之比即如今所设之每边之半甲壬与所得之垂线癸壬之比也【此即圜内容八等边形之法而转用之也】又法以二十二度三十分之正切四万一千四百二十一为一率半径十万为二率今所设之八等边形之每边之半六寸为三率求得四率一尺四寸四分八厘五豪四丝有余为八等边形内容圜之半径或用求圜外切八等边形之一边之定率比例以定率之圜外切八等边形之每边四一四二一三五六为一率圜径一○○○○○○○○为二率今所设之八等边形之每边一尺二寸为三率求得四率二尺八寸九分七厘零五丝六忽有余折半得一尺四寸四分八厘五豪二丝八忽有余为八等边形内容圜之半径即八等边形之中心至每边正中之垂线乃与每边折半之数相乗八因之得六尺九十五寸二十九分三十四厘有余为八等边形之面积也如图甲乙丙丁戊己庚辛八等边形试作一内容圜形自圜心壬作壬癸中心至每边正中之垂线遂平分丁戊边于癸则丁癸即二十二度三十分之正切故以二十二度三十分之正切与半径十万之比同于今所设之每边之半丁癸与所得之内... -->>

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