卷二 (1/2)

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    钦定四库全书

    御制数理精蕴下编卷二

    首部二

    命分

    约分

    通分

    命分

    凡归除分至最细而可以恰尽无余者谓之无竒零数若分至最细而屡除不尽者谓之有竒零数其竒零若畧去之则不能复还原数此命分之所以立也其法命为分母分子分母者即除数也分子者即除不尽之数也凡不尽之数得分母中之几分者即命为几分之几是以命分之一法正所以济归除之所不逮也

    设如有银十一两命三人分之问每人得若干法以三人分银十一两每人得银三两仍余二两所余二两再以三人分之每人得六钱六分六厘六豪如是每得六而仍余二数不尽故立命分法以三人为分母所余二两为分子命为每人得三两又三分两之二葢将每两剖作三分其所余二两则共剖作六分三人分之每人得二分故命为三分两之二也如因三分两之二求知原银数则以三人与分子二分相乘得六分葢每人得二分则三人共得六分也以六分用分母三分归之得二两葢初分一两为三分故终收三分为一两也再加入三人所得整数共九两【一人三两三人共得九两】则得十一两以合原数也

    设如有银一百八十七两命十八人分之问每人得若干

    法以十八人分银一百八十七两每人得银十两仍余七两分之不尽则以十八人为分母所余七两为分子命为每人得一十两又十八分两之七葢将每两剖作十八分其所余七两则共剖作一百二十六分十八人分之每人得七分故命为十八分两之七也如因十八分两之七求知原银数则以十八人与分子七分相乘得一百二十六分葢每人得七分则十八人共得一百二十六分也以一百二十六分用分母十八分归之得七两葢初分一两为十八分故终收十八分为一两也再加入十八人所得整数共一百八十两【一人十两十八人共得一百八十两】则得一百八十七两以合原数也

    约分

    约分者以所命之分约之以就整分也葢命分是随其数之多寡全而纪之而约分则即其多寡之数从而约之以求简易焉其法以分子分母两数辗转相减务期减余两数相同是为度尽两数之一数乃以此数为一分以除分母得几分者即约分母为几分又除分子得几分者即约为分母几分中之几凡诸法中有带分者皆由约法而得故设例于此所以明带分之根也

    设如古厯歳实命为三百六十五日又一百分日之二十五今以法约之求相当最小数

    法置日分一百以余分二十五减之余七十五分再以二十五减之余五十分再以二十五减之亦余二十五分两数齐等即以相等之数二十五转除日分一百得四即为四分又以二十五除余分二十五得一即为一分乃百分日之二十五约为

    四分之　　　　　　　　【凡约】　　　　　　　　　　　　　　【分法以分母分】一是歳实共得三百六十五【葢将一日剖作四分而得其四分之一也】日又四分日之一也子相减必得相等之数然后用之葢因此数可以度尽分母又可以度尽分子故也今以相等之数二十五为一分则日分一百有四倍二十五故为四分而余分二十五又恰足一分之数故为一分一百与二十五之比即同于四与一之比是四与一即一百与二十五之相当最小数也凡分母分子辗转相减不得相等之数终减至于一是分母分子俱无一数可以度尽之数即不用约分用命分志之可也

    设如有银二百一十两命一百四十七人分之每人得银一两仍余六十三两不尽以法约之求相当最小数

    法置一百四十七人以余银六十三减之余八十四再以六十三减之余二十一又置六十三转以二十一减之【因减数大于原数又不得两数齐等故以二十一转减之】余四十二再以二十一减之亦余二十一则两数齐等即以相等之数二十一转除一百四十七人得七即为七分又以二十一除银六十三两得三即为三

    分乃一百四十七人分余银六十三两约为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【也】七分之三是每人得银一两又七分两之三【葢将每两剖作七分而得其七分之三也】也此法以一百四十七人与六十三两辗转相减得相等之数二十一是二十一可以度尽一百四十七人又可以度尽六十三两故也既以二十一为一分则一百四十七有七倍二十一故为七分六十三有三倍二十一故为三分一百四十七与六十三之比即同于七与三之比是七与三即一百四十七与六十三之相当最小数

    通分

    凡竒零数目不以十递析者难以立算则用通分如斤通为两宫通为度度通为分之类是也又有整数而带零分者则必通之以从其类如化整为零收零作整之类是也或有零分而分母不同者则必通之以同其母如互乘之类是也通分之法立然后竒零数目得以归有余齐不足而带分之法皆根于此故为另设加减乘除之法以明其义焉

    加法

    凡竒零数相加两分母同者即并两分子为得数若相加之数大于母数则于所得数内减去母数为一整数纪其余为零数

    设如有九分丈之七【一丈分为九分而得其七分也】与九分丈之五【一丈分为九分而得其五分也】相加求总数

    法以九分之七与九分之五左右列之将两分子七与五相加得一十二因子数大于母数乃于一十二内减去母数九为一整数余三为零数即得整数一丈零九分丈之三为相加之数也此法因两分母同为九分而两分子亦同为九分中之零分故径并两零分之七与五得一十二又以母数九分收为一丈【葢初以一丈分为九分今满九分即收为一丈也】其所余三亦仍为九分中之三分故得一丈零九分丈之三为两零分之共数此分母相同之加法也【如以真数明之九分丈之七是将一丈分为九分得其九分中之七分一丈分为九分则每一分得一尺一寸一分一厘有余九分中之七分则为七尺七寸七分七厘有余也九分中之五分则为五尺五寸五分五厘有余也两数相加共得一丈三尺三寸三分三厘有余即一丈零九分丈之三也葢一尺一寸一分一厘有余既为九分中之一分则三尺三寸三分三厘有余即九分中之三分也如以九分除三分即得三尺三寸三分三厘不尽之数是九分与一丈之比即同于三分与三尺三寸三分有余之比也】

    凡竒零数相加两分母不同者则用互乘法以两分母相乘为共母数再以前分母乘后分子又以后分母乘前分子以所得两子数相加为共子数纪于共母数之下为共零数

    设如有三分丈之二【例亦等一丈分为三分而得其】与五分丈之三【二分也一丈分为五分而得其】相加求总数

    法以两分母三五相乘得一十五为共母数再以前分母三乘后分子三得九又以后分母五乘前分子二得十将两得数相加得十九为共子数因子数大于母数乃于十九内减去共母数十五为一整数余四为零数即得整数一丈零十五分丈之四为相加之数也此法用互乘者本为齐其分母也夫以两分母相乘得十五者乃以两分母俱变为十五分也【三分也因分母不同难以相加故变】以前分母三乘后分子三得九者乃以后分子变为十五分中之九也又以后分母五乘前分子二得十者是又以前分子亦变为十五分中之十也葢十五分之十与三分之二其比例等【为同等俱为五】而【倍比例】十五分之九与五分之三其比【俱为三倍比例】两分母既变为同等则两分子亦俱为同分母之子矣故相加如第一法此分母不同之加法也【如以真数明之三分丈之二既变为十五分丈之十则每一分为六寸六分六厘有余今得十分即六尺六寸六分六厘有余也又五分丈之三既变为十五分丈之九则每一分亦为六寸六分六厘有余今得九分即六尺也两数相加共得一丈二尺六寸六分六厘有余即一丈零十五分丈之四也葢六寸六分六厘有余即为十五分中之一分今二尺六寸六分六厘有余为四倍六寸六分六厘有余即十五分中之四分也如以十五分除四分即得二尺六寸六分不尽之数是十五分与一丈之比即同于四分与二尺六寸六分有余之比也】

    又或分母不同而可以加减之使同者则变而同之可省互乘

    设如有八分两之一与十二分两之三相加求总数法以十二分之三变为八分之二则与八分之一两分母相同故径并两分子二与一得三即八分两之三为相加之数也此法将十二分之三变为八分之二者乃分母分子各减三分之一也母数十二减三分之一余八子数三减三分之一余二葢十二分之三与八分之二其比例相等故变从简易如数有参

    【分】差者则当用下节之【如以真数明之八分两之一是将一两分为八分其一分即一钱二分五厘也又十二分两之三是将一两分为十二分其三分为二钱五分今变为八分两之二是将一两分为八分其二分亦为二钱五分也两数相加共得三钱七分五厘即八分两之三也葢一钱二分五厘为八分中之一分今三钱七分五厘即八分中之三分也如以八分除三分即得三钱七分五厘是八分与一两之比即同于三分与三钱七分五厘之比也】

    法设如有六分石之五与三分石之二相加求总数如依前法将六分之五折半为三分之二分半则两分母虽同而分子却有竒零若将三分之二加一倍作六分之四变少从多则与六分之五两分母相同乃径并两分子五与四得九因子数大于母数乃于九内减去母数六为一整数余三为零数即得整数一石零六石之三为相加之数也此法三分之二变为六分之四者乃分母分子各加一倍之比例也凡变分母分子或加或减务期所变之分数与原分数比例相同使其两分母同而两分子可并也此条与上条用加减虽各异而齐其分母以加之则同也【如以真数明之六分石之五是将一石分为六分则每一分得一斗六升六合六勺六撮六抄有余今得五分即八斗三升三合三勺三撮三抄有余也又三分石之二是将一石分为三分其二分为六斗六升六合六勺六撮六抄有余今变为六分石之四是将一石分为六分其四分亦为六斗六升六合六勺六撮六抄有余也两数相加共得一石四斗九升九合九勺九撮九抄有余收为五斗即一石零六分石之三也葢六分为一石则三分即五斗也】

    凡子母数有三四种相加者其分母分子俱不同则用互乘以齐其分母按前法加之【三种者以第一数与第二数依前互乘法相加得数又与第三数依前互乘法相加四程者以第一数第二数互乘相加得数与第三数互乘相加得数复与第四数互乘相加】如两分母相同者即并其两分子而与所余之分母不同者用互乘以加之又或有两分母相乘后所得之数与所余之分母相同者则直以所得之分子与所余之分子相加为得数即不用互乘矣

    设如有三分斤之一又四分斤之二又五分斤之三相加求总数

    法以前两分子分母按互乘法相加得十二分斤之十【五种相加者俱仿此以两分母三与四相乘得十二为共母数以前分母三乘后分子二得六又以后分母四乘前分子一得四相加得一十为共子数】乃以十二分斤之十与第三子母分用互乘法相加得六十分斤之八十六【是为十二分斤之十以第三分母五与前两分母互乘所得之十二相乘得六十为共母数以前两分母所得十二乘第三分子三得三十六又以第三分母五乘前两分子所得十得五十相加得八十六为共子数是为】因子数大于母数乃于共子数八十六内减去共母数六十为一整数余二十六为零数即得一斤零六十分斤之二十六为总数也【六十分斤之八十六】凡子母分有四种【如以真数明之三分斤之一是将一斤分二十分丈之一为总数也为三分其一分即五两三钱三分三厘有余也四分斤之二是将一斤分为四分则每一分为四两今得二分即八两也五分斤之三是将一斤分为五分则每一分为三两二钱今得三分即九两六钱也三数相加共得二十二两九钱三分三厘有余内收十六两为一斤余六两九钱三分三厘有余即六十分斤之二十六也葢以十六两分为六十分每分得二钱六分六厘有余今六两九钱三分三厘有余有二十六倍二钱六分六】

    设如有五分丈之三又四分丈之一又五分丈之一相加求总数

    法因五分丈之三与五分丈之一两分母相同故直并其两分子三与一为五分丈之四再以五分丈之四与四分丈之一依互乘法相加得二十分丈之二十一【厘有余即为二十六分也以前分母五与后分母四相乘得二十为共母数以前分母五乘后分子一得五又以后分母四乘前分子四得十六相加得二十一】因子数大于母数乃于共子数二十一内减去共母数二十为一整数余一为零数【是为二十分丈之二十一】即得一丈零【如以真数明之其五分丈之三即六尺也其四分丈之一即二尺五寸也其五分丈之一即二尺也三数相加得一丈零五寸即一丈零二十分丈之一葢一丈分为二十分每分得五寸也】

    设如有三分两之二又四分两之三又十二分两之四相加求总数

    法以三分之二与四分之三用互乘法相加得十二分两之十七【以前分母三与后分母四相乘得十二为共母数以前分母三乘后分子三得九又以后分母四乘前分子二得八相加得十七是为十二分两之十七】此所得之十二分两之十七与第三分母相同即以前两分所得共子十七与后一分子四相加得二十一是为十二分两之二十一因子数大于母数乃于共子数二十一内减去共母数十二为一整数余九为零数即得一两零十二分两之九为总数也【如以真数明之其三分两之二即六钱六分六厘有余也其四分两之三即七钱五分也其十二分两之四即三钱三分三厘有余也三数相加得一两七钱四分九厘有余收作七钱五分即一两零十二分两之九葢十二分两之九即七钱五分也】

    减法

    凡竒零数相减两分母同者即将两分子相减为余数

    设如有十一分丈之七减十一分丈之五求余数法以十一分丈之七与十一分丈之五左右列之将两分子五与七相减余二即得十一分丈之二为余数也葢因两分母同为十一分则两分子亦同为十一分中之零分故径将两分子相减余二亦仍为十一分中之二分是以定为

    十一分丈之二此分母相同之减　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【也】法【如以真数明之十一分丈之七是将一丈分为十一分则每一分得九寸零九厘零九丝有余其中之七分即六尺三寸六分三厘六豪三丝有余也其中之五分即四尺五寸四分五厘四豪五丝有余也相减余一尺八寸一分八厘一豪八丝有余即十一分中之二分也葢九寸零九厘零九丝有余为一分则一尺八寸一分八厘一豪八丝有余即为二分也如以十一分除二分亦得一尺八寸一分八厘一豪八丝不尽之数是十一分与一丈之比即同于二分与一尺八寸一分八厘一豪八丝有余之比也】

    凡竒零数相减两分母不同者则用互乘法以两分母相乘为共母数再以前分母乘后分子又以后分母乘前分子以所得两子数相减为余数

    设如有三分丈之二减五分丈之三求余数

    法以两分母三五相乘得一十五为共母数再以前分母三乘后分子三得九又以后分母五乘前分子二得一十将所得两分子相减余一即得十五分丈之一为余数也此法用互乘齐其分母将三分丈之二变为十五分丈之十将五分丈之三变为十五分丈之九两分母既同为十五分故两分子十与九相减余一为十五分丈之一也此分母不同之减法也如两分母不同可以加减之使其相同者减之亦如加法中例故不重设【如以真数明之其三分丈之二即六尺六寸六分六厘有余也其五分丈之三即六尺也相减余六寸六分六厘有余即十五分丈之一也葢一丈分为十五分每一分得六寸六分六厘不尽也】

    凡零数与整数相减者即以分子与分母相减为余数

    设如有米一石内减七分石之五求余数

    法以整数一石变为七分为分母与分子五相减余二即得七分石之二为余数也葢将一石分为七分而于此七分内减去五分则所余即七分石之二【五】此整数中减零数法【如以真数明之将一石分为七分则每一分得一斗四升二合八勺五撮七抄有余其五分即七斗一升四合二勺八撮五抄有余也与一石相减余二斗八升五合七勺一撮四抄有余即七分石之二也葢一斗四升二合八勺五撮七抄有余为一分则二斗八升五合七勺一撮四抄有余自为二分也】

    也凡整数带零分相减者将两零分用互乘法变为同母然后减

    之设如有银八两零五分两之四内减五两零七分两之三求余

    数法以八两之零数五分之四与五两之零数七分之三用互乘法两分母七相乘得三十五为共母数再以五两之分母七乘八两之分子四得二十八为八两所变之子数又以八两之分母五乘五两之分子三得十五为五两所变之子数乃以八两五两二整数相减余三两以两子数二十八与十五相减余十三即得三两又三十五分两之十三为余数也葢既将两子数变为同母则八两者为八两零三十五分两之二十八五两者为五两零三十五分两之十五分母既同故以子数相减而得余数此整数带零分相减之法也【如以真数明之其八两零五分两之四即八两八钱也其五两零七分两之三即五两四钱二分八厘五豪七丝有余也相减余三两三钱七分一厘四豪二丝有余其三两为整数其三钱七分一厘四豪二丝有余即三十五分中之十三分也葢将一两分为三十五分则每一分得二分八厘五豪七丝有余其十三分即三钱七分一厘四豪二丝有余也】

    凡子母数三四种相减者其分母分子俱不同则用互乘以齐其分母按前法减之如两分母相同者即将其两分子相减而与所余之分母不同者用互乘以减之又或有两分母相乘后所得之数与所余之分母相同者则直以所得之分子与所余之分子相减即得余数其理与加法同

    设如有铜九斤零八分斤之七内减二斤零四分斤之一又减八分斤之三求余数

    法以九斤内减去二斤余七斤为整数乃以八分斤之七与四分斤之一用互乘法将八分斤之七变为三十二分斤之二十八将四分斤之一变为三十二分斤之八两数相减余三十二分斤之二十又以三十二分斤之二十与第三零数八分斤之三用互乘法将三十二分斤之二十变为二百五十六分斤之一百六十将八分斤之三变为二百五十六分斤之九十六两数相减余二百五十六分斤之六十四合前整数共得七斤又二百五十六分斤之六十四为余数也如用约法则为七斤零四分斤之一葢二百五十六为四倍六十四今以六十四为一分则二百五十六自得四分也其余几种零分内有两分母相同或两分母乘出之数与余一分母相同俱照同分母之例减之故不再设或零分有四种五种者亦俱仿此此几种零分相减之法也【如以真数明之其九斤零八分斤之七即九斤十四两也内减二斤零四分斤之一是减去二斤四两又减去八分斤之三是又减去六两也余七斤零四两即七斤零四分斤之一也葢一斤分为四分则每一分得四两今七斤零四两故谓七斤零四分斤之一也】

    乘法

    零分与零分相乘者两分母两分子各相乘所得之数即乘出之分也

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