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钦定四库全书
御制数理精蕴上编卷二
几何原本一
几何原本二
几何原本三
几何原本四
几何原本五
几何原本一
第一
凡论数度必始于一点自点引之而为线自线广之而为面自而积之而为体是名三大纲是以有长而无阔者谓之线有长与阔而无厚者谓之面长与阔厚俱全者谓之体惟点无长阔厚薄其间不能容分不可以数度然线之两端即点而线面体皆由此生点虽不入于数实为众数之本
第二
线有直曲两种其二线之一端相合一端渐离必成一角二线若俱直者谓之直线角一线直一线曲者谓之不等线角二线俱曲者谓之曲线角
第三
凡角之大小皆在于角空之寛狭出角之二线即如规之两股渐渐张去自然开寛是以命角不论线之长短止看角之大小如丙角两线虽长其开股之空狭遂为小角若丁角两线虽短其开股之空寛遂成大角矣
第四
凡命角必用三字为记如甲乙丙三角形指甲角则云乙甲丙角指乙角则云甲乙丙角指丙角则云甲丙乙角是也亦有单举一字者则其所举之一字即是所指之角也【如单言甲角乙角丙角之类】
第五
凡有一线以此线之一端为枢复以此线之一端为界旋转一周即成一圜如甲乙一线以甲端为枢乙端为界旋转复至乙处即成乙丙丁戊之圜此圜线谓之圜界圜界内所积之面度谓之圜面
第六
凡圜界不拘长短其分界之所即为弧线如乙丙丁戊之圜丙至丁丁至戊俱为弧线因其形似弧故名之
第七
凡圜自一界过圜心至相对之界画一直线将一圜为两平分则为圜径如乙丙丁戊之圜以甲为心自圜界乙处过甲心至丁或自圜界丙处过甲心至戊画乙甲丁及丙甲戊线皆为圜径也第八
凡自圜心至圜界作几何线皆谓之辐线其度俱相等因平分全径之半故又谓之半径线
第九
凡圜界皆以所对之角而命其弧而角又以所对之弧而命其度葢角度俱在圜界而圜界为角度之规也如乙角为心甲丙为界则乙角相对之界即甲丙弧而甲丙弧即乙角之度也
第十
凡角相对之弧得圜界四分之一者此角必直故谓之直角如甲丁丙戊之圜甲乙丙之径自中心乙至圜界丁画一半径将半圜界又分为两平分则成甲乙丁丙乙丁之二角此二角各得圜界四分之一则此二角为直角也若自丁界过乙心至圜界戊处画一直线又成丁乙戊之径复得甲乙戊丙乙戊两相等之直角矣故凡画一直线交于别线其所成之角若直此线谓之垂线葢因平分圜界为四其四弧相对之四角必相等而皆为直角则其二径相交必互为垂线可知矣
第十一
凡角相对之弧不足圜界四分之一者谓之鋭角若过四分之一者谓之钝角故自圜径中心复画一辐线而不平分半圜之界则成一鋭角一钝角如甲己丙庚之圜于甲乙丙之径自乙心至甲己丙之半圜界不两平分于丁处画一辐线遂成丙乙丁一鋭角甲乙丁一钝角再将丁乙线引于相对圜界戊处画一丁乙戊径线复成甲乙戊一鋭角丙乙戊一钝角合前二角总为四角矣故凡二角两尖相对谓之对角二角两尖相并谓之并角如甲乙戊丙乙丁二角之两尖相对即谓之对角丙乙戊甲乙丁二角之两尖亦相对故亦谓之对角也如丙乙戊甲乙戊之二角两尖相并而同出一线则谓之并角矣
第十二
凡一圜内设两角此一角相对之弧与彼一角相对之弧其限若等则此二角之度亦必相等如甲丁丙戊之圜丙乙丁角相对之丙丁弧甲乙戊角相对之甲戊弧其限相等故丙乙丁角甲乙戊角其度亦相等也
第十三
凡有一圜其径线之中心作相并之二角此二角之度必与二直角等如甲丙丁之圜自丁乙丙径线之中心作甲乙丙甲乙丁之相并二角此二角之度必与二直角相等也
第十四
凡一直线交于他直线其所成之二角或为二直角或与二直角等如丙乙丁直线上画一甲乙直线至于乙处即成甲乙丙甲乙丁之二直角也又或于丙乙丁直线上画一戊乙直线亦至乙处复成丙乙戊一鋭角丁乙戊一钝角此二角必与二直角相等也再申明之以乙为心丙为界旋转画一圜则丙乙丁线为圜之径线必将圜界平分为两平分矣此丙乙丁径线之中心所画之甲乙线又将半圜界平分为两平分则此二角各相对之弧皆为一圜界四分之一而各为一直角可知矣又如戊乙线将半圜界虽不两平分而成一鋭角一钝角然所成二角仍在丙乙丁径线所限半圜界度为全圜界四分之二故与二直角相等也
第十五
凡自一心画为众线其所成之角虽多止与四直角相等如自甲心至乙至丙至丁至戊至已画众辐线虽成众角其各角所函之度必与四直角等葢因甲防为心众辐线皆立一圜之界故众角所对之弧总不越一圜之全度前言一圜之界仅有四直角之弧线兹角虽多亦未尝出一圜之界故曰众角虽多止与四直角等也
第十六
凡两直线相交所成二对角之度必俱相等如甲乙丙丁二线交于戊处成甲戊丁丙戊乙之二对角斯二角之度必俱相等今以二线相交之处为心旋转画一全圜则甲乙丙丁二线俱为此圜之径线矣惟其俱为径线故将一圜为两平分而甲戊乙之径线为甲丙乙之半圜界丙戊丁之径线为丙甲丁之半圜界因两半圜界俱系全圜径线故相交成对角其度必等兹将甲丙乙之半圜界减去甲丙弧即余丙乙弧丙甲丁之半圜界亦减去丙甲弧又余甲丁弧凡两相等之弧减去一段相等之弧所余之弧必相等今甲丙乙丙甲丁二半圜之界内减去甲丙丙甲同体之弧则所余丙乙甲丁相对之弧亦必相等矣此二弧之度既俱相等则所对之甲戊丁丙戊乙二角之度亦必相等可知矣其余甲戊丙丁戊乙亦与甲戊丁丙戊乙同理故其所对之角度亦必相等也第十七
凡大小圜界俱定为三百六十度而一度定为六十分一分定为六十秒一秒定为六十防一防定为六十纤夫圜界定为三百六十度者取其数无竒零便于布算即徴之经传亦皆符合也【易曰凡三百有六十当期之日邵子曰三百六十中分之得一百八十为二至二分相去之数】度下皆以六十起数者以三百六十乃六六所成以六十度之可得整数也凡有度之圜界可度角分之大小如甲乙丙角欲求其度则以有度之圜心置于乙角察乙丙乙甲之相离可以容圜界之几度如容九十度即是甲乙丙直角【何以知为直角因九十度为全圜三百六十度之四分之一前言凡角得圜界四分之一者为直角故知其为直角也】若过九十度者为丁乙丙钝角不足九十度者为丙乙戊鋭角观此三角之度其余可类推矣第十八
凡二线之间寛狭相离之分俱等则此二线谓之平行线也
第十九
欲求平行线之间相距几何则自上一线不拘何处至下一线画二纵线则此二线为相距度分也如甲乙丙丁二线平行自上线甲乙二处至下线丙丁二处画二纵线则此二线为相等线其度必等然则甲乙丙丁相对之间其相距之远近不已见耶
第二十
平行二线虽引至于无穷其端必不能相合葢二线相离之度各处逺近俱为相等故也如甲乙丙丁平行二线随意引于戊己又自戊至己画一纵线其度亦等于甲丙乙丁二纵线故曰平行线虽引至于无穷其端终不能相合也第二十一
凡平行二线或纵或斜画一直线交加于上则平行线上所成之二角必俱相等如甲乙丙丁二平行线上画一庚辛斜线其甲乙线之庚戊乙角丙丁线之戊己丁角皆相等假使庚戊乙角大于戊己丁角则戊乙线必离于庚戊线而向丙丁线甲乙丙丁二线不平行矣若甲乙丙丁二线毫无偏斜又得庚辛直线相交成二角则此二角必然相等矣第二十二
凡平行二线上画一斜线则成八角此八角度有相等者必是对角或内外角如庚戊乙甲戊己一角其度相等因其两尖相对谓之对角庚戊乙戊己丁二角其度亦相等因其在平行二线之内外故谓之内外角甲戊己戊己丁二角其度亦相等因其俱在平行二线之内而立斜线之左右故又谓之相对错角又如甲戊庚度戊乙二角其度不等因其立一线之界谓之并角庚戊甲丁己辛二角其度亦相等因其俱在平行二线之外故谓之外角乙戊己丙己戊二角其度亦相等因其又俱在平行二线之内故又谓之内角总之二平行线上交以斜线所成八角必两两相等也第二十三
平行线上一边之二内角或一边之二外角与二直角相等如丁己戊角与丙己戊角为并角则此二并角与二直角等前第十四节云凡一直线交于他直线所成二角必与二直角相等则此二角同出于一直线为并角故亦与二直角等矣又如甲戊庚庚戊乙虽为外角而亦为并角此二并角亦与二直角等也他如甲戊己乙戊己二并角丙己辛丁己辛二并角亦与二直角等也第二十四
有平行二线复与一线相平行者此三线互相为平行线也如甲乙丙丁二线之间有戊己线与之平行则甲乙丙丁戊己三线互相为平行线也照前第二十一节在此三线上画一庚辛壬斜线则所成之庚辛二角必相等而辛壬二角亦必等也三线之与斜线相交所成之角既各相等则三线互为平行可知矣
几何原本二
第一
凡各种界所成俱谓之形其直界所成者为直界形曲界所成者为曲界形凡直界所成各形未有少于三角形界者故三角形为诸形之首
第二
凡三角形一角直者为直角三角形一角钝者为钝角三角形三角俱鋭者为鋭角三角形
第三
凡三角形其三边线度等者为等边三角形两边线度等者为两等边三角形三边线度俱不等者为不等边三角形第四
凡三角形之三角度相并必与二直角度等如甲乙丙三角形自乙角与甲丙线平行画一乙丁线则成丙乙丁角与丙角为二尖交错之二角其度必相等【见首卷第二十二节】而甲角与甲乙丁角为甲丙乙丁二平行线内一边之二内角与二直角等【见首卷第二十三节】今于甲乙丁直角内减丙乙丁角所余为甲乙丙角丙乙丁角既与丙角度等则甲乙丙丙乙丁合成之一直角与甲角之一直角非二直角之度耶
第五
凡三角形自一界线引长成一外角此外角度与三角形内所有之二鋭角等如甲乙丙三角形自甲乙线引长至丁所成之丙乙丁角即为外角其度与三角形内甲丙二鋭角之度等葢甲乙丙三角形之三角度并之原与二直角等【如本卷第四节云】而甲丁直线与丙乙直线相交所成之甲乙丙丁乙丙内外角亦与二直角等【如首卷第十四节云】则此内外二角所并之度与三 形内三角所并之度亦必相等今于内外角所并之二直角内减去甲乙丙角则所余之丙乙丁一外角度与甲角丙角所并之度为相等可知矣
第六
凡两三角形其两边线之度相等二线所合之角又等则二形底线之度必等二形之式亦等其底线之二角亦皆等也如甲乙丙一三角形丁戊己一三角形此二形之甲角丁角若等甲丙丁戊二线甲乙丁己二线又互相等则乙丙戊己之二底线必等其二形之三角式亦必等而乙角己角相等丙角戊角亦相等若将二形之甲角丁角相合则甲丙丁戊二线甲乙丁己二线各度必等因其俱等故丙乙线之二角与戊己线之二角俱恰相符而无偏侧矣若谓乙丙底与戊己底不符必是戊己线上斜于庚或下斜于辛不成直线形矣第七
两三角形其三边线之度若等则三角之度亦必相等而此形内所函之分亦俱等也如甲乙丙丁戊己两三角形之甲乙线丁戊线甲丙线丁己线乙丙线戊己线两两相等则甲角与丁角乙角与戊角丙角与己角必各相等而甲乙丙三界所函之分丁戊己三界所函之分亦俱相等葢因此两三角形之各线俱恰相符故所函之分亦俱恰相符也第八
凡两三角形有一线相等其相等线左右所生之二角又相等则其他线他角俱相等而二形之分亦相等也如甲乙丙丁戊己两三角形之甲乙线丁戊线若等而此二线左边所成之甲角丁角右边所成之乙角戊角亦相等则甲丙线度与丁己线度等丙乙线度与己戊线度等而丙角与己角亦等甲丙乙形所函之分与丁己戊形所函之分自然相等矣若将甲乙线与丁戊线相较再将甲角与丁角乙角与戊角相较此二线二角之度必俱相符此二线二角既俱相符其他线他角亦必各相符矣若谓一线不符则相等之角亦必不符必其一线斜出或一线偏入以致各角俱不相等角既不相等而形式亦必不同矣
第九
三角形之两边线若等其底线之两角度亦必等如甲乙丙三角形其甲乙丙乙两边线之度等则其甲丙底线之甲角丙角之度亦俱等也若以甲丙底平分于丁处自丁至乙角画一直线遂成甲乙丁丙乙丁两三角形此两形之甲乙线与丙乙线既相等而甲丙底线平分之甲丁丙丁线度亦等则乙丁为两三角形所共用之各一边线然则此两三角形之各三边线度必俱相等可知矣三角形之三线既各相等则其各角之度亦必相等因其各角之度相等故甲角丙角之度亦必等也
第十
有两边相等之三角形自上角至底线画一直线将底线为两平分则此线为上角之平分线又为底线之垂线也如甲乙丙乙两边线度相等之甲乙丙三角形自上角乙至底线丁画一直线将甲丙底线为两平分则为乙角之平分线又为甲丙底线之垂线也葢乙丁线将乙甲丙三角形平分为甲乙丁丙乙丁两三角形此两三角形之各界线度必各相等而各角之度又俱相等则甲乙丁角丙乙丁角将乙角为两平分矣而甲丁乙角丙丁乙角又为相等之两直角因其为两直角故乙丁线为平分甲丙底线之垂线也
第十一
凡三角形内长界所对之角必大短界所对之角必小如甲乙丙三角形之乙丙界长于甲丙界故其相对之甲角大于乙角而甲乙界短于甲丙界故其所对之丙角小于乙角也试依甲丙界度截乙丙于丁复自甲至丁作甲丁线即成甲丙丁两界相等之三角形夫甲丙丁丙两界度既相等则甲丁丙丁甲丙两角亦相等今甲丁丙角相等之丁甲丙角原自乙甲丙角所分则乙甲丙角必大于甲丁丙角矣然此甲丁丙角为甲乙丁小三角形之外角与小三角形内之甲乙二角相并之度等【见本卷第五节】既与甲乙二角之度等则大于乙角可知矣夫甲丁丙角既大于乙角则乙甲丙角必更大于乙角矣丙角之小于乙角其理亦同
第十二
凡三角形内必有二鋭角葢三角形之三角并之与二直角等【见本卷第四节】如甲乙丙三角形之乙角为直角则所余甲角丙角并之始与乙角相等二角并之仅与一直角等则此二角独较之必小于直角矣故此甲丙二角为鋭角也又如丁戊己三角形之戊角为钝角则所余之丁角己角愈小于直角而为鋭角矣第十三
凡自一防至一横线画众线而众线内有一垂线必短于他线而他线与垂线相离愈逺则愈长也如自甲防至乙丙线画甲乙甲丁甲戊几线此内甲乙为垂线较之甲丁甲戊线则其度最短而甲戊线与甲乙线相离既远于甲丁故更长于甲丁线也葢甲乙为垂线则乙角必为直角【见首卷第十节】而甲乙丁三角形内丁角甲角必俱为鋭角而小于乙角矣因乙角大于丁角故此乙角相对之甲丁线必长于丁角相对之甲乙线又甲丁戊外角原与甲乙丁乙甲丁二内角相并之度等【见本卷第五节】则此甲丁戊一外角必大于甲乙丁一内角矣甲丁戊之外角既大于甲乙丁之内角则甲丁戊角相对之甲戊线必长于甲乙丁角相对之甲丁线可知矣
第十四
凡三角形将二界线相并必长于所余之一界线如甲乙丙三角形将甲乙甲丙二界线并之则长于所余之乙丙界线也试以丙甲线引之至丁作丁甲线与甲乙等则丁丙线为甲丙甲乙二界线之共度矣复自丁至乙作丁乙线成乙甲丁两界相等之三角形其丁乙甲角与丁角等【见本卷第九节】则丁乙丙角必大于丁角夫丁乙丙角既大于丁角则其所对之丁丙线必长于丁角相对之乙丙线可知矣【见本卷第十一节】
几何原本三
第一
凡四边线函四角者其形有五四边线度等而角度亦等者为正方形四角直而两边线短两边线长者为长方形四边线度等而角度不等者为等边斜方形两边线长两边线短而角度又不等者为两等边斜方形以上四形俱自平行线出如四边线不等亦不平行而四角度又不等者为不等边斜方形第二
凡四平行线所成方形其所函之角成两对角必两两相等如甲乙丙丁平行线方形其甲角度丙角度等而乙角度丁角度亦等若以丙丁线引长至戊作一线成一丁外角与甲角为二尖交错之角其度相等【见首卷第二十二节】而丁外角与丙角又为一边之内外角其度亦等【见首卷第二十二节】夫甲丁二角既等丁丙二角又等则甲角与丙角必自相等而丁乙两对角之相等不言可知矣
第三
凡平行四边形自一角至相对之角作一对角线必平分四边形为两三角形如甲丙乙丁四边形作甲乙对角线即成丙甲乙丁甲乙两相等三角形葢此四边形之丙丁二角为对角其度必等【见本卷第二节】而对角线所分之丙甲乙丁乙甲二角丙乙甲丁甲乙二角俱为二尖交错之角其度又两两相等【见首卷第二十二节】夫此两三角形原自一四边形而分各角又俱相等则其所函之分必等而四边形平分为两平分无疑矣
第四
凡平行线所成方形其两两平行线度俱相等如甲丙乙丁四边形之丙甲线与乙丁线度等丙乙线与甲丁线度等此即如前节作一对角线成两三角形而两形之各角必俱相等则丙甲乙丁二线丙乙甲丁二线俱为各相等角所对之线其度亦必相等矣【见二卷第八节】第五
平行线方形内两对角线其相交处必平分二线之正中如甲乙丙丁二线相交于戊则所成甲戊戊乙二线丙戊戊丁二线俱等葢因丙戊乙甲戊丁两三角形之丙乙甲丁二线为平行线其度等【见本卷第四节】而丙乙戊丁甲戊二角乙丙戊甲丁戊二角皆为平行线内相对之错角其度俱等【见首卷第二十二节】夫丙乙甲丁二线既等各相对之错角又等则丙乙戊丁甲戊二等角相对之戊丙戊丁二线度与甲丁戊乙丙戊二等角相对之戊甲戊乙二线度必皆相等可知矣【见二卷第八节】
第六
凡平行线方形内于对角线上或纵或横正中截开即将此形为两平分如甲丙乙丁之方形其甲乙对角线上画一戊己线于庚处截开则平分甲丙乙丁方形为丙戊己乙一段甲戊己丁一段此二段内之戊甲庚己乙庚两三角形之甲庚乙庚二线相等而戊甲庚己乙庚之两角又为平行线内二尖交错之角其度相等而甲庚戊乙庚己二尖相对之角其度又等则此两三角形度亦必相等又如甲乙对角线将甲丙乙丁方形为两平分则其甲丙乙甲丁乙两三角形度必等将此两相等之三角形以戊己线截开于甲丙乙形内减甲戊庚于甲丁乙形内减乙己庚则所余之甲庚己丁乙庚戊丙二形度必等今所分各形既俱两两相等则甲丙乙丁之方形为戊己线所截自为两平分可知矣
第七
凡四边形于对角线不拘何处复作相交二平行线即成四四边形设如甲丙乙丁四边形于对角线之戊处复作一壬戊己一辛戊庚相交之二平行线即成甲戊戊乙丙戊戊丁四四边形此四形中之甲戊戊乙二形为对角线上所成之形丙戊戊丁二形为对角线旁所成之形此对角线旁所成两形必俱相等如丙壬戊庚戊辛丁己两形之分是己葢甲丙乙丁之全形因甲乙对角线平分为两平分所成之甲丙乙甲丁乙两大三角形之分必等其对角线上所成之一小方形复为甲戊对角线平分为两平分成甲庚戊甲己戊两小三角形此两小三角形之分亦必等而对角线上所成之一大方形又为戊乙对角线平分为两平分成戊壬乙戊辛乙两中三角形此两中三角形之分亦必等今将甲丙乙甲丁乙两大三角形内减去甲庚戊甲己戊之两相等小三角形再减去戊壬乙戊辛乙之两相等中三角形所余对角线旁所成之丙壬戊庚戊辛丁己两四边形此两四边形自然相等矣
第八
凡两平行线内同底所成之四边形其面积必等如甲己乙辛两平行线内于乙丙底作甲乙丙丁一长方四边形戊乙丙己一斜方四邉形此两形虽不同而所容之分必相等何也试以两三角形考之如甲乙戊一三角形丁丙己一三角形此两三角形之甲乙丁丙二线等甲戊丁己二线亦等【甲丁戊己二线俱与乙丙平行而度分相等若于甲丁戊己二线各加一丁戊线即成甲戊丁己线其度自然相等】而戊甲乙己丁丙二角为甲乙丁丙平行线一边之内外角其度又等则此两三角形自然相等可知矣今于两三角形内各减去丁戊庚则所余之甲乙庚丁戊庚丙己二形之分必等复于此二形内毎加一庚乙丙形则成甲乙丙丁戊乙丙己之两四边形其面积必然相等也
第九
两平行线内无论作几四边形其底度若等则面积必俱等如甲乙丙丁二平行线内作甲丙己戊庚辛丁乙两平行线四边形其丙己辛丁两底度相等则其积亦等试自丙己底至庚乙画二直线即成一庚丙己乙斜四边形此斜四边形既与甲丙己戊四边形同出于丙己之底即同前节两形面积俱等矣至于庚辛丁乙与庚丙己乙又同出于庚乙之底故此两形面积亦俱等观此两两相等则甲丙己戊庚辛丁乙两形之面积相等明矣
第十
凡两平行线内同底所成之各种三角形其面积俱等如甲乙丙丁两平行线内于丙丁底作甲丙丁一三角形己丙丁一三角形此两三角形之面积必等何也自丁至戊作一直线与甲丙平行再自丁至乙作一直线与己丙平行即成甲丙丁戊己丙丁乙两四边形此二形既同出于丙丁底其面积相等而甲丙丁己丙丁两三角形为平分两四边形之一半其面积亦必相等矣
第十一
两平行线内无论作几三角形其底度若等其面积亦俱等如甲乙丙丁二平行线内作甲丙戊庚戊己两三角形其丙戊戊己两底度相等故其面积亦等今自戊至辛作一直线与甲丙平行又自己至乙作一直线与庚戊平行即同前节成面积相等之两四边形而此甲丙戊庚戊己两三角形为面积相等两四邉形之各一半则此两三角形之面积必等可知矣
第十二
凡有几三角形其底若俱在一直线而各底相对之角又共遇于一处则其众三角形必在二平行线之间如甲乙丙甲丙丁甲丁戊甲戊己四三角形其乙丙丙丁丁戊戊己各底俱在一庚辛直线上而各底相对之角又皆遇于甲处则此四三角形俱同在庚辛壬癸二平行线之间矣
第十三
凡等边等角各形内五边者为五角形六边者为六角形边愈多角愈多者俱随其边与角而名之焉
第十四
多边多角形自角至心作线凡有几界即成几三角形设如辛七边形自心至邉七角作七线即成七三角形而此各三角形之分俱相等也
第十五
欲知众边形各边角之度将边数加一倍得数减四其所余之数即为各边角度也如辛七邉形以七边数加一倍共为十四十四内减四所余之十即为十直角数为此七边形之各边角之总度也何也假如辛形自心至七角作七线成七三角形凡三角形之三角与二直角等【见二卷第四节】则此七三角形之各三角度共与十四直角等其七三角形之辛心所有之七角又与四直角等【见首卷第十五节】若将十四直角内减四直角乃余十直角则此十直角与众边形之各边角之总度相等可知矣
几何原本四
第一
凡有直线切于圜界而不与圜界相交者谓之切线如甲乙丙线切于丁圜乙界其线虽自甲过乙至丙而与圜界不出入相交此甲乙丙线即为圜之切线也又如一圜与一圜界相切而不相交则谓之切圜假如戊圜与己圜于庚界相切二界总未相交故又谓之切圜也第二
凡一直线横分圜之两界谓之?线其所分圜界之一段谓之弧此弧与?相交所成之二角谓之弧分角如甲丙线横分甲乙丙丁圜界于甲丙则甲丙线为?其所分之甲丁丙一段甲乙丙一段皆谓之弧而甲丙?与甲乙丙弧相交所成之甲丙乙丙甲乙二角即谓之弧分之角焉
第三
凡自一圜?线之两头复作二直线相遇于圜界之一处其所成之角谓之圜分内角又谓之弧分相对之界角也如甲乙丁丙圜之甲乙丙一段自乙丙?线之两头各作一直线于甲处相遇其所成之乙甲丙角即圜分内角然此甲角与乙丁丙弧相对故又为弧分相对之界角也
第四
凡一圜有二辐线截弧之一段所成之三角形谓之分圜面形如甲圜自甲心至圜界乙丙二处作甲乙甲丙二辐线所成之甲丙乙三角形即为分圜面形也
第五
凡自圜之辐线之末与圜界相切作一垂线则此垂线与辐线之末在圜界仅一防相切其他全在圜外即如甲圜之甲乙辐线于乙末作一丙乙垂线则此丙乙垂线与甲乙辐线俱在圜界乙处之一防相切而此垂线之丁等处俱在圜外也若自圜之甲心至丁作一甲戊丁线此线必长于甲乙辐线【如二卷第十三节云】因其长于辐线必出于圜界之外此甲戊丁线既出于圜界之外则丙乙线全在圜外可知矣
第六
圜?线上自圜心作一垂线则将?线为两平分如乙丙?自圜心甲至?线丁作一垂线必将乙丙?为两平分成乙丁丁丙二段若自甲心至?线乙丙二末作二辐线成一甲乙丙三角形此三角形之甲乙甲丙二线为一圜之辐线其度必等此二辐线既等则甲乙丙三角形内甲丁垂线所分之乙丁丁丙二段亦必等矣若将垂线引长至弧界戊作线则又将乙丙弧界为两平分矣第七
凡自圜外一处至圜界两边作二切线此二线之度必等如自圜外甲至圜界乙丙两边作甲乙甲丙二切线此二线之度相等今于圜心丁至圜界乙丙二切线之末作二辐线则此二辐线为甲乙甲丙之垂线矣【如本卷第五节云】因其为垂线则甲乙丁甲丙丁之二角必同为直角【见首卷第十节】再自丙至乙作一?线即成丁乙丙甲乙丙两三角形丁乙丙三角形之丁乙丁丙二线同为圜之辐线其度必等因其相等故丁乙丙丁丙乙二角亦必等夫甲乙丁甲丙丁二角原相等此二角内减去丁乙丙丁丙乙二角则所余之甲乙丙甲丙乙二角亦自相等此二角既俱相等则甲乙甲丙二切线为等角傍之两界线自然相等无疑矣
第八
凡圜内两?线若等其分圜弧面之积必等自心至两?所作垂线亦必等如甲圜之丙乙丁戊二?之度若等则所分丙己乙辛丁庚戊壬二弧面积必等自此圜之甲心至丙乙丁戊二?各作甲壬甲辛垂线其度亦必等何也如自甲心至丙乙丁戊二?之末各作辐线即成甲丙乙甲丁戊两三角形此两三角形之各界线必两两相等则此两三角形内相等线所对之角亦必相等【见二卷第七节】角既相等则等角相对弧界之丙己乙丁庚戊二段亦必相等【见首卷第十二节】丙己乙丁庚戊二弧线既等丙乙丁戊二?线又等则丁庚戊壬之弧面积与丙己乙辛之弧面积自然相符矣又甲辛甲壬二垂线将丙乙丁戊二?为两平分则丙辛乙辛丁壬戊壬之四线亦俱等三角形之各界线既两两相等而三角形内各角又两两相等则平分丙乙丁戊二?之甲辛甲壬之度自然相等矣
第九
凡?线之所属有三种一为弧之切线一为弧之割线一为弧之?线欲取弧界各角之度用此三线求之必得也如甲圜之甲乙辐线于乙末作丙乙垂线复自圜心甲至圜界戊割出至丙乙垂线丁分作甲丁线又从圜界戊至甲乙辐线作戊己垂线则成三种线此三线内丁乙线为乙戊弧之切线甲丁线为乙戊弧之割线戊己线为乙戊弧之正?凡欲得各角弧界之度必于此三种线取之如欲取乙甲戊角相对弧度则自与甲角相对乙戊弧之丁乙切线取之或自乙戊弧之甲丁割线取之或自乙戊弧之戊己正?取之皆得乙戊弧之度数焉
第十
一圜界内任于圜界一段至圜心作二线至圜界作二线即成二角在圜心者为心角在圜界者为界角设如甲乙丁圜自甲乙一段至丙心作甲丙乙丙二线仍自甲乙至丁界作甲丁乙丁二线成甲丙乙甲丁乙二角其甲丙乙角为心角甲丁乙角为界角也
第十一
圜内之心角界角同立圜界之一段而各角之二线所成之式又分为三种有界角心角同用一线者有界角心角不同用一线者有界角二线跨心角二线者总之此三种心角皆大于界角一倍如有三图圜心之甲丙乙角皆自圜界甲乙一段作甲丙乙丙二线圜界之甲丁乙角亦自圜界甲乙一段作甲丁乙丁二线则第一圗之甲丁乙界角之乙丁线同立于甲丙乙心角之乙丙线... -->>
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